1（2025徐州期中）如图，在直角三角形纸片$ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=3$，$AC=4$，折叠$△ ABC$，使$C,B$两点重合，折痕为$DE$，$D,E$分别在$BC,AC$上，连接$BE$，求$BE$的长.

1. 解:因为折叠$△ ABC$使$C,B$两点重合,折痕为$DE$,
所以$BE=CE$.
设$BE=CE=x$,则$AE=4-x$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理,得$AB^2+AE^2=BE^2$,
所以$3^2+(4-x)^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,所以$BE=\frac{25}{8}$.

【分析】
遇到折叠问题首先考虑折叠的轴对称性质，折叠后重合的点对应的线段相等，本题中C、B重合，可得BE=CE，由此可将BE与已知边AC建立联系，把AE用含BE的代数式表示；再结合△ABE是直角三角形，满足勾股定理，即可通过设未知数列方程求出BE的长度。
【解析】
解：
∵折叠△ABC使C、B两点重合，折痕为DE，
∴根据折叠的性质可得BE=CE。
设BE=CE=x，则AE=AC-CE=4-x，
∵∠A=90°，
∴△ABE是直角三角形，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2+AE^2=BE^2$，
代入数值可得：$3^2+(4-x)^2=x^2$，
展开计算：$9+16-8x+x^2=x^2$，
化简得：$25-8x=0$，
解得$x=\frac{25}{8}$，即BE的长为$\frac{25}{8}$。
【答案】
$\frac{25}{8}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型基础题，解题核心是利用折叠性质得到相等线段，将未知量和已知量集中到同一个直角三角形中，再借助勾股定理建立方程求解，体现了数形结合与方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

2（2025连云港海州期中）如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，若点$P$从点$A$出发，以$1\ \mathrm{m/s}$的速度沿射线$AC$运动，设运动时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$。
（1）是否存在$t$值，使得$△ ABP$为等腰三角形？若存在，求出$t$的值；若不存在，请说明理由；
（2）现把$△ ABC$沿着直线$BP$翻折，当$t$为何值时，点$C$翻折后的对应点$C'$恰好落在直线$AB$上。

2. 解:(1) 在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=5\ \mathrm{m}$,$BC=3\ \mathrm{m}$,
由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m})$.
当$△ ABP$为等腰三角形时,有以下三种情况:
①如图1,当$AP=AB$时,此时点$P$在$AC$的延长线上,
所以$AP=AB=5\ \mathrm{cm}$,此时运动的时间$t=5÷1=5(\mathrm{s})$;
②当$AP=BP$时,此时点$P$在$AC$上,如图2,
所以$CP=AC-AP=4-AP$.
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中,由勾股定理,得$BP^2=BC^2+PC^2$,
即$AP^2=3^2+(4-AP)^2$,解得$AP=\frac{25}{8}\ \mathrm{cm}$,
此时运动的时间$t=\frac{25}{8}÷1=\frac{25}{8}(\mathrm{s})$;
③当$BP=AB$时,此时点$P$在$AC$的延长线上,如图3,
由等腰三角形的性质,得$PC=AC=4\ \mathrm{cm}$,
所以$AP=PC+AC=8\ \mathrm{cm}$,
此时运动的时间$t=8÷1=8(\mathrm{s})$.
综上,$t$的值为$5$或$\frac{25}{8}$或$8$.

(2) 由题意可知有以下两种情况:
①当点$C$在线段$AB$上时,此时点$P$在线段$AB$上,如图4,
由翻折性质,得$BC'=BC=3$,$PC'=PC=AC-AP=4-AP$,$∠ PC'B=∠ ACB=90°$,
所以$∠ AC'P=90°$,$AC'=AB-AC'=5-3=2$.
在$\mathrm{Rt}△ AC'P$中,由勾股定理,得$AP^2=AC'^2+PC'^2$,
所以$AP^2=2^2+(4-AP)^2$,解得$AP=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$,
此时运动的时间$t=\frac{5}{2}÷1=\frac{5}{2}(\mathrm{s})$;
②当点$C'$在$AB$的延长线上,此时点$P$在$AB$的延长线上,如图5,
由翻折性质,得$BC'=BC=3$,$PC'=PC=AP-AC=AP-4$,$∠ PC'B=∠ ACB=90°$,
所以$∠ AC'P=90°$,$AC'=AB+BC'=5+3=8(\mathrm{cm})$.
在$\mathrm{Rt}△ AC'P$中,由勾股定理,得$AP^2=AC'^2+PC'^2$,
所以$AP^2=8^2+(AP-4)^2$,解得$AP=10(\mathrm{cm})$,
此时运动的时间$t=10÷1=10(\mathrm{s})$.
综上,$t$的值为$\frac{5}{2}$或$10$.

【分析】
首先利用勾股定理先求出AC的长度。(1)判断△ABP为等腰三角形时，需分三种情况分类讨论：①AP=AB；②AP=BP；③BP=AB，结合点P在射线AC上的位置，分别用勾股定理或等腰三角形的性质求出AP的长度，再结合运动速度计算对应时间t。(2)折叠后点C的对应点C'落在直线AB上，也分两种情况：①C'在线段AB上；②C'在AB的延长线上，利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，在直角三角形中用勾股定理列方程求出AP的长度，进而得到t值。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=5\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，
由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(\mathrm{m})$。
(1) 当$△ ABP$为等腰三角形时，有以下三种情况：
① 如图1，当$AP=AB$时，此时点$P$在$AC$的延长线上，
所以$AP=AB=5\ \mathrm{m}$，运动速度为$1\ \mathrm{m/s}$，此时$t=5÷1=5(\mathrm{s})$；
② 当$AP=BP$时，此时点$P$在$AC$上，如图2，
所以$CP=AC-AP=4-AP$，
在$\mathrm{Rt}△ BPC$中，由勾股定理，得$BP^2=BC^2+PC^2$，
即$AP^2=3^2+(4-AP)^2$，解得$AP=\frac{25}{8}\ \mathrm{m}$，
此时运动的时间$t=\frac{25}{8}÷1=\frac{25}{8}(\mathrm{s})$；
③ 当$BP=AB$时，此时点$P$在$AC$的延长线上，如图3，
由等腰三角形三线合一的性质，得$PC=AC=4\ \mathrm{m}$，
所以$AP=PC+AC=8\ \mathrm{m}$，
此时运动的时间$t=8÷1=8(\mathrm{s})$。
综上，$t$的值为$5$或$\frac{25}{8}$或$8$。

(2) 点C翻折后对应点$C'$落在直线$AB$上，有以下两种情况：
① 当点$C'$在线段$AB$上时，此时点$P$在线段$AC$上，如图4，
由翻折性质，得$BC'=BC=3$，$PC'=PC=AC-AP=4-AP$，$∠ PC'B=∠ ACB=90°$，
所以$∠ AC'P=90°$，$AC'=AB-BC'=5-3=2\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AC'P$中，由勾股定理，得$AP^2=AC'^2+PC'^2$，
所以$AP^2=2^2+(4-AP)^2$，解得$AP=\frac{5}{2}\ \mathrm{m}$，
此时运动的时间$t=\frac{5}{2}÷1=\frac{5}{2}(\mathrm{s})$；
② 当点$C'$在$AB$的延长线上，此时点$P$在$AC$的延长线上，如图5，
由翻折性质，得$BC'=BC=3$，$PC'=PC=AP-AC=AP-4$，$∠ PC'B=∠ ACB=90°$，
所以$∠ AC'P=90°$，$AC'=AB+BC'=5+3=8(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ AC'P$中，由勾股定理，得$AP^2=AC'^2+PC'^2$，
所以$AP^2=8^2+(AP-4)^2$，解得$AP=10(\mathrm{m})$，
此时运动的时间$t=10÷1=10(\mathrm{s})$。
综上，$t$的值为$\frac{5}{2}$或$10$。

【答案】
(1) $t$的值为$\boldsymbol{5}$或$\boldsymbol{\frac{25}{8}}$或$\boldsymbol{8}$；

(2) $t$的值为$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$或$\boldsymbol{10}$。

【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，折叠的性质
【点评】
本题为动点与折叠结合的几何综合题，解题的核心是合理进行分类讨论，避免漏解。等腰三角形存在性问题需要考虑三条边分别为腰的三种情况，折叠问题要紧扣折叠前后对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理列方程即可求解。
【难度系数】
0.6

3（2025徐州沛县期中）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点$D'$处，折痕为EF.
（1）求证：$△ AEF$是等腰三角形；
（2）若$AB=4\ \mathrm{cm}$，$EF=5\ \mathrm{cm}$，求$AE$和$BC$的长.

3. (1) 证明:由折叠的性质,得$∠ AEF=∠ CEF$.
因为四边形$ABCD$是长方形,所以$AD// BC$,
所以$∠ AFE=∠ CEF$,即$∠ AEF=∠ AFE$,
所以$△ AEF$是等腰三角形.
(2) 解:如图,过点$F$作$FH⊥ BC$,垂足为$H$.
由折叠的性质,得$AE=CE$,$AD'=CD$,$D'F=DF$,$∠ D'=∠ D=90°$,$∠ EAD'=∠ C=90°$.
因为四边形$ABCD$是长方形,
所以$AB=AD'$,$∠ B=∠ D'=90°$,$∠ BAD=∠ EAD'=90°$,
所以$∠ BAE=∠ D'AF$,所以$△ ABE≌ AD'F(\mathrm{ASA})$,
所以$BE=D'F=CH$.
在$\mathrm{Rt}△ EFH$中,$EH=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$.
设$BE=x$,则$AE=CE=3+x$,
所以$4^2+x^2=(3+x)^2$,解得$x=\frac{7}{6}$,
所以$AE=3+\frac{7}{6}=\frac{25}{6}(\mathrm{cm})$,$BC=3+\frac{7}{6}+\frac{7}{6}=\frac{16}{3}(\mathrm{cm})$.

【分析】
（1）要证△AEF为等腰三角形，可通过证明两角相等推导两边相等。首先由折叠性质可得∠AEF=∠CEF，再结合长方形对边平行的性质得到内错角∠AFE=∠CEF，等量代换即可得到∠AEF=∠AFE，从而得证。
（2）求边长时，先过F作FH⊥BC构造Rt△EFH，利用勾股定理求出EH的长度；再由折叠性质得AE=CE，通过角的推导证明△ABE≌△AD'F，得到BE=CH；设BE为未知数，将AE、BE放在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解，最后根据线段和的关系求出BC的长度。
【解析】
（1）证明：由折叠的性质，得∠AEF=∠CEF。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形。
（2）解：过点F作FH⊥BC，垂足为H。
由折叠的性质，得AE=CE，AD'=CD，D'F=DF，∠D'=∠D=90°，∠EAD'=∠C=90°。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=AD'，∠B=∠D'=90°，∠BAD=∠EAD'=90°，
∴∠BAE=∠D'AF，
∴△ABE≌△AD'F（ASA），
∴BE=D'F=CH。
在Rt△EFH中，FH=AB=4cm，EF=5cm，由勾股定理得：
$EH=\sqrt{EF^2-FH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{cm})$。
设$BE=x$，则$AE=CE=3+x$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得$AB^2+BE^2=AE^2$，
代入得$4^2+x^2=(3+x)^2$，
解得$x=\frac{7}{6}$，
∴$AE=3+\frac{7}{6}=\frac{25}{6}(\mathrm{cm})$，$BC=3+\frac{7}{6}+\frac{7}{6}=\frac{16}{3}(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 已证△AEF是等腰三角形；
(2) $AE=\frac{25}{6}\ \mathrm{cm}$，$BC=\frac{16}{3}\ \mathrm{cm}$。

【知识点】
折叠的性质、等腰三角形判定、勾股定理
【点评】
本题是几何折叠类典型题型，综合了长方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理等知识，解题核心是利用折叠得到相等的角与线段，通过构造直角三角形结合方程思想求解边长，能有效考察几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6