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【典例1】二次函数$y=-x^2-2x+c$在$-3≤ x≤ 2$的范围内有最小值$-5$，则$c$的值为
3
。答案
解:$y=-(x^2+2x+1)+c+1=-(x+1)^2+c+1$,则对称轴为直线$x=-1$.
当$x=2$时,$y$有最小值$-9+c+1=-5$,故$c=3$.
当$x=2$时,$y$有最小值$-9+c+1=-5$,故$c=3$.
变式.若方程$x^2 - 2x - t = 0$在$-1≤ x≤4$范围有实数根，则$t$的取值范围为
$-1≤t≤8$
。答案
解:$t=x^2-2x=(x-1)^2-1$,$x=-1$,$t=3$;$x=4$,$t=8$.
$\therefore -1≤t≤8$.
$\therefore -1≤t≤8$.
【典例2】已知关于$x$的二次函数$y=(x-h)^2+3$，当$1≤ x≤3$时，函数有最小值$2h$，则$h$的值为(
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{2}$或2
C.$\frac{3}{2}$或6
D.$2,\frac{3}{2}$或6
C
)A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{2}$或2
C.$\frac{3}{2}$或6
D.$2,\frac{3}{2}$或6
答案
提示:分三种情况讨论.
变式.已知关于x的二次函数$y=(x-a)^2 + 3 - a^2$，当$1≤x≤3$时，函数有最小值$2a$，求a的值.
答案
解:①$1＜3＜a$ ,$x=3$ ,$y_{\mathrm{min}}=(3-a)^2+3-a^2=2a$ ,$a=\frac{3}{2}$(舍);
②$a≤1＜3$,$x=1$, $y_{\mathrm{min}}=(1-a)^2+3-a^2=2a$ ,$a=1$;
③$1＜a≤3$,$x=a$ ,$y_{\mathrm{min}}=3-a^2=2a$ ,$a_1=1$,$a_2=-3$,
$\because 1＜a≤3$,$\therefore$不存在.综上$a=1$.
②$a≤1＜3$,$x=1$, $y_{\mathrm{min}}=(1-a)^2+3-a^2=2a$ ,$a=1$;
③$1＜a≤3$,$x=a$ ,$y_{\mathrm{min}}=3-a^2=2a$ ,$a_1=1$,$a_2=-3$,
$\because 1＜a≤3$,$\therefore$不存在.综上$a=1$.
【典例3】已知二次函数$y=2(x-1)^2 -3$在$0≤x≤a$时，$y$的最大值为15，求$a$的值.
答案
解:①$0＜a＜1$时,$x=0$, $y_{\mathrm{max}}=2-3=-1≠15$(舍);
②$0≤2-a≤1$时,$x=0$, $y_{\mathrm{max}}=-1≠15$(舍);
③$2＜a$ 时,$x=a$, $y_{\mathrm{max}}=2(a-1)^2-3=15$,
$a-1=±3$,$a_1=4$,$a_2=-2$(舍)
综上$a=4$.
变式.已知$a≤ x≤ a+1$时,函数$y=(x-1)^2$的最小值为1,求$a$的值.
答案
解:$\because x=1$, $y_{\mathrm{min}}=0≠1$,$\therefore a$与$a+1$在对称轴同侧
①$a＜a+1＜1$,$x=a+1$, $y_{\mathrm{min}}=1$,
$\therefore (a+1-1)^2=1$,$a=±1$,$\because a＜0$,$\therefore a=-1$;
②$1＜a＜a+1$,$x=a$, $y_{\mathrm{min}}=1$,
$\therefore (a-1)^2=1$,$a-1=±1$,$a_1=0$(舍),$a_2=2$,
综上$a=-1$或2.
