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8 有下列说法:① 若$a+b=0$,且$ab≠0$,则$x=1$是方程$ax+b=0$的解;② 若$a-b=0$,且$ab≠0$,则$x=-1$是方程$ax+b=0$的解;③ 若$ax+b=0$,则$x=-\frac{a}{b}$;④ 若$(a-3)x^{|a-2|}+b=0$是关于$x$的一元一次方程,则$a=1$.其中,正确的是________(填序号).
答案
8.①②④
解析
【分析】
我们需要逐个判断4个说法的正确性：①②可根据方程的解的定义，把x的值代入方程验证左右两边是否相等；③要注意解方程时系数不能为0的前提；④结合一元一次方程的定义（仅含一个未知数、未知数次数为1、一次项系数不为0）求解a的值即可判断。
【解析】
①已知$a+b=0$且$ab≠0$，可得$a≠0$，$b≠0$，$b=-a$。将$x=1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×1 + b = a + b = 0$，等于右边，因此$x=1$是方程的解，①正确。
②已知$a-b=0$且$ab≠0$，可得$a=b≠0$。将$x=-1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×(-1) + b = -a + b = 0$，等于右边，因此$x=-1$是方程的解，②正确。
③对于方程$ax+b=0$，只有当$a≠0$时，移项后两边除以$a$才能得到$x=-\frac{b}{a}$；若$a=0$，方程可能无解或有无数解，该说法未说明$a≠0$的前提，③错误。
④若$(a-3)x^{|a-2|}+b=0$是关于$x$的一元一次方程，需满足两个条件：一是$x$的次数为1，即$|a-2|=1$，解得$a=3$或$a=1$；二是一次项系数不为0，即$a-3≠0$，即$a≠3$，综上$a=1$，④正确。
因此正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
方程的解的判定；一元一次方程的定义；一元一次方程求解
【点评】
本题围绕一元一次方程的核心概念出题，易错点在于忽略一元一次方程一次项系数不为0的限制，以及解方程时未考虑一次项系数为0的特殊情况，解题时需注意分类讨论，避免遗漏前提条件。
【难度系数】
0.6
我们需要逐个判断4个说法的正确性：①②可根据方程的解的定义，把x的值代入方程验证左右两边是否相等；③要注意解方程时系数不能为0的前提；④结合一元一次方程的定义（仅含一个未知数、未知数次数为1、一次项系数不为0）求解a的值即可判断。
【解析】
①已知$a+b=0$且$ab≠0$，可得$a≠0$，$b≠0$，$b=-a$。将$x=1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×1 + b = a + b = 0$，等于右边，因此$x=1$是方程的解，①正确。
②已知$a-b=0$且$ab≠0$，可得$a=b≠0$。将$x=-1$代入方程$ax+b=0$，左边$=a×(-1) + b = -a + b = 0$，等于右边，因此$x=-1$是方程的解，②正确。
③对于方程$ax+b=0$，只有当$a≠0$时，移项后两边除以$a$才能得到$x=-\frac{b}{a}$；若$a=0$，方程可能无解或有无数解，该说法未说明$a≠0$的前提，③错误。
④若$(a-3)x^{|a-2|}+b=0$是关于$x$的一元一次方程，需满足两个条件：一是$x$的次数为1，即$|a-2|=1$，解得$a=3$或$a=1$；二是一次项系数不为0，即$a-3≠0$，即$a≠3$，综上$a=1$，④正确。
因此正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
方程的解的判定；一元一次方程的定义；一元一次方程求解
【点评】
本题围绕一元一次方程的核心概念出题，易错点在于忽略一元一次方程一次项系数不为0的限制，以及解方程时未考虑一次项系数为0的特殊情况，解题时需注意分类讨论，避免遗漏前提条件。
【难度系数】
0.6
9 若关于$x$的方程$(k+2)x^2 + 4kx -5k = 0$是一元一次方程，则$k=$
$-2$
，方程的解为$x=\frac{5}{4}$
.答案
9. $-2$，$x=\frac{5}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。本题给出的方程原本含有二次项，要使其为一元一次方程，必须让二次项的系数等于0，消去二次项，同时保证剩余的一次项系数不为0，由此先求出k的值；再将k代入原方程，通过移项、系数化为1的步骤求解方程的解即可。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k+2)x^2 + 4kx -5k = 0$是一元一次方程
∴ 二次项系数为0，即$k+2=0$，解得$k=-2$
验证一次项系数：当$k=-2$时，一次项系数$4k=4×(-2)=-8≠0$，符合一元一次方程的要求
将$k=-2$代入原方程，得：
$0×x^2 +4×(-2)x -5×(-2)=0$
化简得：$-8x +10=0$
移项得：$-8x=-10$
系数化为1得：$x=\frac{-10}{-8}=\frac{5}{4}$
【答案】
$-2$，$x=\frac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题核心是对一元一次方程概念的应用，易错点是容易遗漏二次项系数为0的要求，求出k后代入原方程按解一元一次方程的常规步骤计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，同时一次项系数不为0的整式方程。本题给出的方程原本含有二次项，要使其为一元一次方程，必须让二次项的系数等于0，消去二次项，同时保证剩余的一次项系数不为0，由此先求出k的值；再将k代入原方程，通过移项、系数化为1的步骤求解方程的解即可。
【解析】
∵ 关于x的方程$(k+2)x^2 + 4kx -5k = 0$是一元一次方程
∴ 二次项系数为0，即$k+2=0$，解得$k=-2$
验证一次项系数：当$k=-2$时，一次项系数$4k=4×(-2)=-8≠0$，符合一元一次方程的要求
将$k=-2$代入原方程，得：
$0×x^2 +4×(-2)x -5×(-2)=0$
化简得：$-8x +10=0$
移项得：$-8x=-10$
系数化为1得：$x=\frac{-10}{-8}=\frac{5}{4}$
【答案】
$-2$，$x=\frac{5}{4}$
【知识点】
一元一次方程的定义，解一元一次方程
【点评】
本题核心是对一元一次方程概念的应用，易错点是容易遗漏二次项系数为0的要求，求出k后代入原方程按解一元一次方程的常规步骤计算即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
10 [2026宿城期末]对于两个不相等的有理数$a$,$b$,我们规定$\min\{a,b\}$表示$a$,$b$两数中较小的数,例如:$\min\{2,-3\}=-3$.按照此规定,方程$\min\{x,-x\}=-3x+1$的解为
$x=\frac{1}{2}$
.答案
10. $x=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先明确新定义$\min\{a,b\}$的含义是取两个不相等有理数中较小的数，因此$\min\{x,-x\}$的结果需分两种情况讨论：①当$x ＜ -x$（即$x＜0$）时，较小数为$x$，代入方程求解后需验证解是否满足$x＜0$的前提；②当$x ＞ -x$（即$x＞0$）时，较小数为$-x$，代入方程求解后验证解是否满足$x＞0$的前提，舍去不符合条件的解即可得到正确答案。
【解析】
根据新定义分两种情况讨论：
1. 当$x ＜ -x$，即$x ＜ 0$时，$\min\{x,-x\}=x$，代入方程得：
$x = -3x + 1$
移项得：$x + 3x = 1$
合并同类项得：$4x = 1$
解得：$x = \frac{1}{4}$
$\because \frac{1}{4} ＞ 0$，不符合$x ＜ 0$的前提，故该解舍去。
2. 当$x ＞ -x$，即$x ＞ 0$时，$\min\{x,-x\}=-x$，代入方程得：
$-x = -3x + 1$
移项得：$-x + 3x = 1$
合并同类项得：$2x = 1$
解得：$x = \frac{1}{2}$
$\because \frac{1}{2} ＞ 0$，符合$x ＞ 0$的前提，故该解有效。
【答案】
$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的求解，解题的核心是根据新定义的规则合理分类讨论，求解后要注意验证解是否符合对应分类的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
首先明确新定义$\min\{a,b\}$的含义是取两个不相等有理数中较小的数，因此$\min\{x,-x\}$的结果需分两种情况讨论：①当$x ＜ -x$（即$x＜0$）时，较小数为$x$，代入方程求解后需验证解是否满足$x＜0$的前提；②当$x ＞ -x$（即$x＞0$）时，较小数为$-x$，代入方程求解后验证解是否满足$x＞0$的前提，舍去不符合条件的解即可得到正确答案。
【解析】
根据新定义分两种情况讨论：
1. 当$x ＜ -x$，即$x ＜ 0$时，$\min\{x,-x\}=x$，代入方程得：
$x = -3x + 1$
移项得：$x + 3x = 1$
合并同类项得：$4x = 1$
解得：$x = \frac{1}{4}$
$\because \frac{1}{4} ＞ 0$，不符合$x ＜ 0$的前提，故该解舍去。
2. 当$x ＞ -x$，即$x ＞ 0$时，$\min\{x,-x\}=-x$，代入方程得：
$-x = -3x + 1$
移项得：$-x + 3x = 1$
合并同类项得：$2x = 1$
解得：$x = \frac{1}{2}$
$\because \frac{1}{2} ＞ 0$，符合$x ＞ 0$的前提，故该解有效。
【答案】
$x=\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次方程的求解，解题的核心是根据新定义的规则合理分类讨论，求解后要注意验证解是否符合对应分类的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
11 解方程：
(1) $\frac{2}{9}z+\frac{2}{7}=\frac{10}{9}z-\frac{5}{7}$；
(2) $x-7-8x=9x-3-4x$。
(1) $\frac{2}{9}z+\frac{2}{7}=\frac{10}{9}z-\frac{5}{7}$；
(2) $x-7-8x=9x-3-4x$。
答案
11.(1) $z=\frac{9}{8}$ (2) $x=-\frac{1}{3}$
解析
【分析】
这两道题都是一元一次方程，解题遵循移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可。思考时首先把含有未知数的项全部移到等号的一侧，常数项移到等号的另一侧，注意移项要改变符号；再分别合并未知数的同类项和常数项；最后将未知数的系数化为1，就能得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{2}{9}z+\frac{2}{7}=\frac{10}{9}z-\frac{5}{7}$
移项，得：$\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=\frac{10}{9}z-\frac{2}{9}z$
合并同类项，得：$1=\frac{8}{9}z$
系数化为1，得：$z=1÷\frac{8}{9}=\frac{9}{8}$
(2) 解方程$x-7-8x=9x-3-4x$
移项，得：$x-8x-9x+4x=-3+7$
合并同类项，得：$-12x=4$
系数化为1，得：$x=4÷(-12)=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $z=\frac{9}{8}$；(2) $x=-\frac{1}{3}$
【知识点】
移项解一元一次方程、合并同类项、系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的常规基础题，核心考查移项变号的规则，熟练掌握解题步骤，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这两道题都是一元一次方程，解题遵循移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可。思考时首先把含有未知数的项全部移到等号的一侧，常数项移到等号的另一侧，注意移项要改变符号；再分别合并未知数的同类项和常数项；最后将未知数的系数化为1，就能得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$\frac{2}{9}z+\frac{2}{7}=\frac{10}{9}z-\frac{5}{7}$
移项，得：$\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=\frac{10}{9}z-\frac{2}{9}z$
合并同类项，得：$1=\frac{8}{9}z$
系数化为1，得：$z=1÷\frac{8}{9}=\frac{9}{8}$
(2) 解方程$x-7-8x=9x-3-4x$
移项，得：$x-8x-9x+4x=-3+7$
合并同类项，得：$-12x=4$
系数化为1，得：$x=4÷(-12)=-\frac{1}{3}$
【答案】
(1) $z=\frac{9}{8}$；(2) $x=-\frac{1}{3}$
【知识点】
移项解一元一次方程、合并同类项、系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的常规基础题，核心考查移项变号的规则，熟练掌握解题步骤，计算时细心即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
12 已知$2a - 3x = 12$是关于$x$的方程，在移项时，粗心的小虎没有将$2a$变号，得到方程的解为$x = 3$。请你帮小虎求出原方程的解。
答案
12. 根据题意,得方程$-3x=12+2a$的解为$x=3$,所以$-3×3=12+2a$,解得 $a=-\frac{21}{2}$. 所以原方程为$-21-3x=12$,解得$x=-11$
解析
【分析】
解题可按三步展开：第一步，先结合小虎移项时未将2a变号的错误，确定他实际计算的错误方程；第二步，因为x=3是错误方程的解，把x=3代入错误方程即可求出参数a的值；第三步，将求得的a代入原方程，按解一元一次方程的步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：由小虎移项时未将2a变号的错误，可得他求解的错误方程为：
$-3x=12+2a$
已知$x=3$是该错误方程的解，将$x=3$代入得：
$-3×3=12+2a$
计算得：$-9=12+2a$
移项求a：$2a=-9-12$，即$2a=-21$，解得$a=-\frac{21}{2}$
把$a=-\frac{21}{2}$代入原方程$2a-3x=12$得：
$2×(-\frac{21}{2})-3x=12$
化简得：$-21-3x=12$
移项得：$-3x=12+21$，即$-3x=33$
两边同时除以$-3$得：$x=-11$
【答案】
$x=-11$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程（移项）
【点评】
本题属于错中求解类题型，解题关键是先明确错误操作对应的错误方程，再利用方程解的定义求出未知参数，最后代入原方程求解，做题时要牢记移项需变号的规则，避免同类错误。
【难度系数】
0.6
解题可按三步展开：第一步，先结合小虎移项时未将2a变号的错误，确定他实际计算的错误方程；第二步，因为x=3是错误方程的解，把x=3代入错误方程即可求出参数a的值；第三步，将求得的a代入原方程，按解一元一次方程的步骤计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
解：由小虎移项时未将2a变号的错误，可得他求解的错误方程为：
$-3x=12+2a$
已知$x=3$是该错误方程的解，将$x=3$代入得：
$-3×3=12+2a$
计算得：$-9=12+2a$
移项求a：$2a=-9-12$，即$2a=-21$，解得$a=-\frac{21}{2}$
把$a=-\frac{21}{2}$代入原方程$2a-3x=12$得：
$2×(-\frac{21}{2})-3x=12$
化简得：$-21-3x=12$
移项得：$-3x=12+21$，即$-3x=33$
两边同时除以$-3$得：$x=-11$
【答案】
$x=-11$
【知识点】
1. 一元一次方程的解
2. 解一元一次方程（移项）
【点评】
本题属于错中求解类题型，解题关键是先明确错误操作对应的错误方程，再利用方程解的定义求出未知参数，最后代入原方程求解，做题时要牢记移项需变号的规则，避免同类错误。
【难度系数】
0.6
13 新考向 探究题 按如图所示的程序计算，当输入x的值是36时，输出的结果为106.要使输出的结果为127，则输入x的最小正整数是多少？
答案
13. 当$3x-2=127$时,$x=43$;当 $3x-2=43$ 时,$x=15$;当$3x-2=15$时,$x=\frac{17}{3}$.因为$\frac{17}{3}$不是整数,所以输入$x$的最小正整数是15
解析
【分析】
首先明确程序的运行逻辑：输入x后计算$3x-2$的值，若结果大于100则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于100后输出。已知输出结果为127，要找到最小的正整数输入x，可采用逆推思路：从输出结果127出发，反向推导每一步对应的输入值，判断是否为正整数，直到找到最小的符合要求的正整数即可。
【解析】
我们从输出结果127逐步反向推导：
1. 若仅1次运算就输出127，可得方程$3x-2=127$，
移项得$3x=127+2=129$，解得$x=43$，43是正整数；
2. 若经过2次运算才输出127，说明第一次运算的结果是43（将43作为新的x代入得到127），可得方程$3x-2=43$，
移项得$3x=43+2=45$，解得$x=15$，15是正整数，且小于43；
3. 若经过3次运算才输出127，说明第一次运算的结果是15（将15作为新的x代入第二次运算得到43，第三次运算得到127），可得方程$3x-2=15$，
移项得$3x=15+2=17$，解得$x=\frac{17}{3}$，不是正整数，不符合要求。
继续逆推得到的x均不是正整数，因此输入x的最小正整数是15。
【答案】
15
【知识点】
解一元一次方程，程序运算，逆推思想
【点评】
本题结合程序框图考查一元一次方程的应用，解题时需注意程序存在多次循环运算的可能，通过逆推法可以快速梳理所有可能的输入值，进而筛选出最小正整数解，避免仅考虑单次运算导致的漏解错误。
【难度系数】
0.6
首先明确程序的运行逻辑：输入x后计算$3x-2$的值，若结果大于100则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于100后输出。已知输出结果为127，要找到最小的正整数输入x，可采用逆推思路：从输出结果127出发，反向推导每一步对应的输入值，判断是否为正整数，直到找到最小的符合要求的正整数即可。
【解析】
我们从输出结果127逐步反向推导：
1. 若仅1次运算就输出127，可得方程$3x-2=127$，
移项得$3x=127+2=129$，解得$x=43$，43是正整数；
2. 若经过2次运算才输出127，说明第一次运算的结果是43（将43作为新的x代入得到127），可得方程$3x-2=43$，
移项得$3x=43+2=45$，解得$x=15$，15是正整数，且小于43；
3. 若经过3次运算才输出127，说明第一次运算的结果是15（将15作为新的x代入第二次运算得到43，第三次运算得到127），可得方程$3x-2=15$，
移项得$3x=15+2=17$，解得$x=\frac{17}{3}$，不是正整数，不符合要求。
继续逆推得到的x均不是正整数，因此输入x的最小正整数是15。
【答案】
15
【知识点】
解一元一次方程，程序运算，逆推思想
【点评】
本题结合程序框图考查一元一次方程的应用，解题时需注意程序存在多次循环运算的可能，通过逆推法可以快速梳理所有可能的输入值，进而筛选出最小正整数解，避免仅考虑单次运算导致的漏解错误。
【难度系数】
0.6
