登录
8.取一副扑克牌中四种花色的1至9点共36张牌，每次取出其中的2张牌组成一个两位数，再交换它们左右的位置，得到一个新的两位数，最后求出这两个两位数的和.经计算分析，所得的和的规律是
和是11的倍数
.答案
8.和是 11 的倍数
解析:设 2 张牌的点数分别是 $a,b$,则$(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$.
解析:设 2 张牌的点数分别是 $a,b$,则$(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)$.
解析
【分析】
要探究两个两位数相加的普遍规律，不能仅通过几组特殊数字的计算下结论，需用字母代表未知量推导通用结论。首先明确两位数的表示方法：十位数字×10 + 个位数字，我们可以设两张牌的点数分别为a、b，先分别写出交换位置前后的两个两位数的代数式，再通过整式加法化简求和，从化简结果中总结规律即可。
【解析】
设取出的2张牌的点数分别为a和b（a、b为1~9的正整数）：
1. 初始组成的两位数，十位为a、个位为b，可表示为 $10a+b$；
2. 交换位置后新的两位数，十位为b、个位为a，可表示为 $10b+a$；
3. 计算两个数的和：
$\begin{aligned}(10a+b)+(10b+a)&=10a+b+10b+a\\&=11a+11b\\&=11(a+b)\end{aligned}$
由化简结果可知，两个数的和为11与两个牌面点数之和的乘积，因此所得的和是11的倍数。
【答案】
所得的和是11的倍数
【知识点】
用字母表示数；整式的加减运算
【点评】
本题结合扑克牌的操作场景考查规律探究，解题关键是正确掌握两位数的代数式表示方法，通过整式运算推导普遍规律，能锻炼从特殊到一般的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
要探究两个两位数相加的普遍规律，不能仅通过几组特殊数字的计算下结论，需用字母代表未知量推导通用结论。首先明确两位数的表示方法：十位数字×10 + 个位数字，我们可以设两张牌的点数分别为a、b，先分别写出交换位置前后的两个两位数的代数式，再通过整式加法化简求和，从化简结果中总结规律即可。
【解析】
设取出的2张牌的点数分别为a和b（a、b为1~9的正整数）：
1. 初始组成的两位数，十位为a、个位为b，可表示为 $10a+b$；
2. 交换位置后新的两位数，十位为b、个位为a，可表示为 $10b+a$；
3. 计算两个数的和：
$\begin{aligned}(10a+b)+(10b+a)&=10a+b+10b+a\\&=11a+11b\\&=11(a+b)\end{aligned}$
由化简结果可知，两个数的和为11与两个牌面点数之和的乘积，因此所得的和是11的倍数。
【答案】
所得的和是11的倍数
【知识点】
用字母表示数；整式的加减运算
【点评】
本题结合扑克牌的操作场景考查规律探究，解题关键是正确掌握两位数的代数式表示方法，通过整式运算推导普遍规律，能锻炼从特殊到一般的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
9.若$x^3 - 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3 = 1$，$x^3 - 2x^2y + xy^2 - 5y^3 = 3$，则$2x^3 - 7x^2y + 5xy^2 + 14y^3$的值为
0
。答案
9.$0$
解析:将第一个等式乘 3,再减去第二个等式,即为所求式子.
解析:将第一个等式乘 3,再减去第二个等式,即为所求式子.
解析
【分析】
本题不需要单独求出x、y的值，可采用整体代入的思想求解。首先将已知的两个等式分别标记为①式和②式，观察目标整式的各项系数与①、②式对应项系数的关系，发现目标整式可以通过①式乘3再减去②式得到，直接代入计算即可得出结果。
【解析】
解：记$x^3 - 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3 = 1$为①式，$x^3 - 2x^2y + xy^2 - 5y^3 = 3$为②式。
将①式左右两边同时乘3，得：
$3(x^3 - 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3) = 3×1$
即$3x^3 - 9x^2y + 6xy^2 + 9y^3 = 3$ ③
用③式减去②式，左边减左边，右边减右边：
$(3x^3 - 9x^2y + 6xy^2 + 9y^3) - (x^3 - 2x^2y + xy^2 - 5y^3) = 3 - 3$
去括号合并同类项：
$3x^3 - 9x^2y + 6xy^2 + 9y^3 - x^3 + 2x^2y - xy^2 + 5y^3 = 0$
$2x^3 - 7x^2y + 5xy^2 + 14y^3 = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是通过观察系数特征，灵活运用整体代入的思想，无需单独求解未知数即可快速得出结果，能有效考查学生对整式加减运算法则的掌握程度和观察分析能力。
【难度系数】
0.6
本题不需要单独求出x、y的值，可采用整体代入的思想求解。首先将已知的两个等式分别标记为①式和②式，观察目标整式的各项系数与①、②式对应项系数的关系，发现目标整式可以通过①式乘3再减去②式得到，直接代入计算即可得出结果。
【解析】
解：记$x^3 - 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3 = 1$为①式，$x^3 - 2x^2y + xy^2 - 5y^3 = 3$为②式。
将①式左右两边同时乘3，得：
$3(x^3 - 3x^2y + 2xy^2 + 3y^3) = 3×1$
即$3x^3 - 9x^2y + 6xy^2 + 9y^3 = 3$ ③
用③式减去②式，左边减左边，右边减右边：
$(3x^3 - 9x^2y + 6xy^2 + 9y^3) - (x^3 - 2x^2y + xy^2 - 5y^3) = 3 - 3$
去括号合并同类项：
$3x^3 - 9x^2y + 6xy^2 + 9y^3 - x^3 + 2x^2y - xy^2 + 5y^3 = 0$
$2x^3 - 7x^2y + 5xy^2 + 14y^3 = 0$
【答案】
$0$
【知识点】
整式的加减运算；整体代入求值
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是通过观察系数特征，灵活运用整体代入的思想，无需单独求解未知数即可快速得出结果，能有效考查学生对整式加减运算法则的掌握程度和观察分析能力。
【难度系数】
0.6
10.已知$A=-4a^3 -3 + 2a^2 +5a$，$B=3a^3 -a -a^2$.当$a=-2$时，求$A-2B$的值.
答案
10.原式$=-10a^3+4a^2+7a-3=79$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰可分为三步：第一步，先将A、B的表达式整体代入A-2B中，代入时要给两个多项式加上括号，避免出现符号错误；第二步，根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，得到最简整式，先化简再代入能减少运算量，降低出错概率；第三步，把a=-2代入化简后的整式，计算出最终结果即可。
【解析】
首先将A、B代入$A-2B$：
$A-2B=(-4a^3 -3 + 2a^2 +5a) - 2(3a^3 -a -a^2)$
去括号：
$=-4a^3 -3 + 2a^2 +5a - 6a^3 + 2a + 2a^2$
合并同类项：
$=(-4a^3 -6a^3) + (2a^2 +2a^2) + (5a+2a) -3$
$=-10a^3 +4a^2 +7a -3$
将$a=-2$代入化简后的式子计算：
当$a=-2$时，
原式$=-10×(-2)^3 +4×(-2)^2 +7×(-2) -3$
$=-10×(-8) +4×4 -14 -3$
$=80 +16 -14 -3$
$=79$
【答案】
79
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查化简求值的常规方法，解题的易错点是去括号时的符号处理，若括号前带系数，需要将系数乘到括号内的每一项，先化简后代入求值的思路能有效提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路清晰可分为三步：第一步，先将A、B的表达式整体代入A-2B中，代入时要给两个多项式加上括号，避免出现符号错误；第二步，根据去括号法则去掉括号，再合并同类项，得到最简整式，先化简再代入能减少运算量，降低出错概率；第三步，把a=-2代入化简后的整式，计算出最终结果即可。
【解析】
首先将A、B代入$A-2B$：
$A-2B=(-4a^3 -3 + 2a^2 +5a) - 2(3a^3 -a -a^2)$
去括号：
$=-4a^3 -3 + 2a^2 +5a - 6a^3 + 2a + 2a^2$
合并同类项：
$=(-4a^3 -6a^3) + (2a^2 +2a^2) + (5a+2a) -3$
$=-10a^3 +4a^2 +7a -3$
将$a=-2$代入化简后的式子计算：
当$a=-2$时，
原式$=-10×(-2)^3 +4×(-2)^2 +7×(-2) -3$
$=-10×(-8) +4×4 -14 -3$
$=80 +16 -14 -3$
$=79$
【答案】
79
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查化简求值的常规方法，解题的易错点是去括号时的符号处理，若括号前带系数，需要将系数乘到括号内的每一项，先化简后代入求值的思路能有效提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
11.小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
请你用不同的三位数再做做，能发现什么有趣的现象？用你学过的知识解释。
请你用不同的三位数再做做，能发现什么有趣的现象？用你学过的知识解释。
答案
11.例如,$614-416=198,198+891=1\ 089$,结果一定是 1 089.
对于一般情形如下:设百位上的数字为 $a$,十位上的数字为 $b$,则个位上的数字为 $a-2$,则第一步 $100a+10b+a-2=101a+10b-2$,第二步 $100(a-2)+10b+a=101a+10b-200$,第三步两式相减一定等于 198.所以,结果一定等于 1 089.
对于一般情形如下:设百位上的数字为 $a$,十位上的数字为 $b$,则个位上的数字为 $a-2$,则第一步 $100a+10b+a-2=101a+10b-2$,第二步 $100(a-2)+10b+a=101a+10b-200$,第三步两式相减一定等于 198.所以,结果一定等于 1 089.
解析
【分析】
解题时可先按照题目流程选取多个符合条件的三位数计算，首先会发现最终结果都相同；要解释该规律，可借助字母表示数的方法：设百位数字为a，十位数字为b，根据“百位上的数字比个位上的数字大2”得个位数字为a-2，再用代数式分别表示出原三位数和交换百位、个位后的三位数，通过整式的加减运算化简，就能验证规律的普遍性。
【解析】
1. 举例验证：取符合条件的三位数614，交换百位和个位得416，计算得$614-416=198$，交换198的百位和个位得891，计算得$198+891=1089$，和示例结果一致。
2. 代数推导：
设该三位数百位数字为$a$，十位数字为$b$，则个位数字为$a-2$（$2≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，且$a,b$均为整数）。
原三位数可表示为：$100a + 10b + (a - 2) = 101a + 10b - 2$
交换百位和个位后的三位数可表示为：$100(a - 2) + 10b + a = 101a + 10b - 200$
两数相减得：$(101a + 10b - 2) - (101a + 10b - 200) = 198$，即差恒为198。
交换198的百位和个位得到891，两数相加得：$198 + 891 = 1089$。
【答案】
无论选取哪个符合条件的三位数，最终计算结果一定是1089。
【知识点】
整式的加减运算，代数式表示数位，代数式化简
【点评】
本题是数字规律探究类题目，从具体举例猜想到代数严谨证明的解题过程，既可以锻炼归纳推理能力，也能强化整式加减运算的实际应用能力，体会代数方法解释数字规律的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时可先按照题目流程选取多个符合条件的三位数计算，首先会发现最终结果都相同；要解释该规律，可借助字母表示数的方法：设百位数字为a，十位数字为b，根据“百位上的数字比个位上的数字大2”得个位数字为a-2，再用代数式分别表示出原三位数和交换百位、个位后的三位数，通过整式的加减运算化简，就能验证规律的普遍性。
【解析】
1. 举例验证：取符合条件的三位数614，交换百位和个位得416，计算得$614-416=198$，交换198的百位和个位得891，计算得$198+891=1089$，和示例结果一致。
2. 代数推导：
设该三位数百位数字为$a$，十位数字为$b$，则个位数字为$a-2$（$2≤ a≤9$，$0≤ b≤9$，且$a,b$均为整数）。
原三位数可表示为：$100a + 10b + (a - 2) = 101a + 10b - 2$
交换百位和个位后的三位数可表示为：$100(a - 2) + 10b + a = 101a + 10b - 200$
两数相减得：$(101a + 10b - 2) - (101a + 10b - 200) = 198$，即差恒为198。
交换198的百位和个位得到891，两数相加得：$198 + 891 = 1089$。
【答案】
无论选取哪个符合条件的三位数，最终计算结果一定是1089。
【知识点】
整式的加减运算，代数式表示数位，代数式化简
【点评】
本题是数字规律探究类题目，从具体举例猜想到代数严谨证明的解题过程，既可以锻炼归纳推理能力，也能强化整式加减运算的实际应用能力，体会代数方法解释数字规律的严谨性。
【难度系数】
0.7
