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6.小马虎在解数学题时，由于粗心，把原题“两个多项式A和B，其中$B=4x^2 -5x -6$，试求$A-B$”中的“$A-B$”错误地看成了“$A+B$”，求出的结果是$-7x^2 +10x +12$.请你帮他纠错，正确地求出“$A-B$”.
答案
根据题意,得 $A=(-7x^2+10x+12)-(4x^2-5x-6)=-7x^2+10x+12-4x^2+5x+6=-11x^2+15x+18,$
则 $A-B=(-11x^2+15x+18)-(4x^2-5x-6)=-11x^2+15x+18-4x^2+5x+6=-15x^2+20x+24.$
则 $A-B=(-11x^2+15x+18)-(4x^2-5x-6)=-11x^2+15x+18-4x^2+5x+6=-15x^2+20x+24.$
解析
【分析】
要得到正确的A-B结果，首先需要先求出多项式A的表达式。已知小马虎误将A-B看成A+B后得到结果-7x²+10x+12，也就是A+B=-7x²+10x+12，结合已知的B的表达式，用错误结果减去B即可求出A。得到A之后，再代入A-B的算式，按照去括号、合并同类项的规则计算即可。计算时需注意：去括号时如果括号前是负号，括号内所有项都要变号；合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
根据题意可知：$A+B=-7x^2 +10x +12$，且$B=4x^2 -5x -6$
第一步，求多项式A：
$A=(-7x^2+10x+12)-(4x^2-5x-6)$
去括号得：$A=-7x^2+10x+12-4x^2+5x+6$
合并同类项得：$A=-11x^2+15x+18$
第二步，计算正确的A-B：
$A-B=(-11x^2+15x+18)-(4x^2-5x-6)$
去括号得：$A-B=-11x^2+15x+18-4x^2+5x+6$
合并同类项得：$A-B=-15x^2+20x+24$
【答案】
$-15x^2+20x+24$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题关键是先利用错误的运算关系求出未知多项式A，再代入正确算式计算，解题过程中要重点注意去括号的符号处理，避免漏变号、漏乘的错误。
【难度系数】
0.7
要得到正确的A-B结果，首先需要先求出多项式A的表达式。已知小马虎误将A-B看成A+B后得到结果-7x²+10x+12，也就是A+B=-7x²+10x+12，结合已知的B的表达式，用错误结果减去B即可求出A。得到A之后，再代入A-B的算式，按照去括号、合并同类项的规则计算即可。计算时需注意：去括号时如果括号前是负号，括号内所有项都要变号；合并同类项时仅系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
根据题意可知：$A+B=-7x^2 +10x +12$，且$B=4x^2 -5x -6$
第一步，求多项式A：
$A=(-7x^2+10x+12)-(4x^2-5x-6)$
去括号得：$A=-7x^2+10x+12-4x^2+5x+6$
合并同类项得：$A=-11x^2+15x+18$
第二步，计算正确的A-B：
$A-B=(-11x^2+15x+18)-(4x^2-5x-6)$
去括号得：$A-B=-11x^2+15x+18-4x^2+5x+6$
合并同类项得：$A-B=-15x^2+20x+24$
【答案】
$-15x^2+20x+24$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题关键是先利用错误的运算关系求出未知多项式A，再代入正确算式计算，解题过程中要重点注意去括号的符号处理，避免漏变号、漏乘的错误。
【难度系数】
0.7
7.把四张形状、大小相同的长方形卡片(如图①)分别按图②、图③所示的两种方式放在一个底面为长方形(长为$m$，宽为$n$)的盒底上，盒底未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若记图②中两个阴影部分的周长之和为$C_2$，图③中阴影部分的周长为$C_3$，求$C_2 - C_3$.
答案
设小长方形的长为$a$,宽为$b$.
由图②可知 $2b+a=m$,
所以图②中阴影部分的周长为:$C_2=2m+2(n-a)+2(n-2b)=2m+4n-2(2b+a)= 2m+4n-2m=4n$,
所以图③中阴影部分的周长为:$C_3=2(m+n)$,
所以 $C_2-C_3=4n-2(m+n)=2n-2m.$
由图②可知 $2b+a=m$,
所以图②中阴影部分的周长为:$C_2=2m+2(n-a)+2(n-2b)=2m+4n-2(2b+a)= 2m+4n-2m=4n$,
所以图③中阴影部分的周长为:$C_3=2(m+n)$,
所以 $C_2-C_3=4n-2(m+n)=2n-2m.$
解析
【分析】
要计算两个阴影周长的差，我们可以先设小长方形的长为a、宽为b作为中间量，再结合盒底的长m、宽n分别表示两个图中阴影的周长：首先观察图②找到a、b和m的等量关系，分段求和计算$C_2$，再通过平移法计算图③的阴影周长$C_3$，最后代入做差，化简过程中消去参数a、b即可得到结果。
【解析】
设小长方形的长为$a$，宽为$b$。
1. 求$C_2$：
观察图②可得等量关系：$a + 2b = m$。
图②中两个阴影部分的周长之和：
$C_2 = 2m + 2(n-a) + 2(n-2b)$
展开并整理得：
$C_2 = 2m + 2n - 2a + 2n - 4b = 2m + 4n - 2(a + 2b)$
将$a + 2b = m$代入上式：
$C_2 = 2m + 4n - 2m = 4n$
2. 求$C_3$：
观察图③，将阴影部分的边平移后可得，阴影周长等于底面大长方形的周长，因此：
$C_3 = 2(m + n)$
3. 计算$C_2 - C_3$：
$C_2 - C_3 = 4n - 2(m + n) = 4n - 2m - 2n = 2n - 2m$
【答案】
$2n-2m$
【知识点】
整式加减运算，周长计算，代数式化简
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，核心是通过引入参数表示未知边长，结合图形找到参数与已知量的等量关系，再通过化简消去参数得到结果，解题过程中运用平移法计算周长可大大简化运算。
【难度系数】
0.6
要计算两个阴影周长的差，我们可以先设小长方形的长为a、宽为b作为中间量，再结合盒底的长m、宽n分别表示两个图中阴影的周长：首先观察图②找到a、b和m的等量关系，分段求和计算$C_2$，再通过平移法计算图③的阴影周长$C_3$，最后代入做差，化简过程中消去参数a、b即可得到结果。
【解析】
设小长方形的长为$a$，宽为$b$。
1. 求$C_2$：
观察图②可得等量关系：$a + 2b = m$。
图②中两个阴影部分的周长之和：
$C_2 = 2m + 2(n-a) + 2(n-2b)$
展开并整理得：
$C_2 = 2m + 2n - 2a + 2n - 4b = 2m + 4n - 2(a + 2b)$
将$a + 2b = m$代入上式：
$C_2 = 2m + 4n - 2m = 4n$
2. 求$C_3$：
观察图③，将阴影部分的边平移后可得，阴影周长等于底面大长方形的周长，因此：
$C_3 = 2(m + n)$
3. 计算$C_2 - C_3$：
$C_2 - C_3 = 4n - 2(m + n) = 4n - 2m - 2n = 2n - 2m$
【答案】
$2n-2m$
【知识点】
整式加减运算，周长计算，代数式化简
【点评】
本题是代数与几何结合的典型题型，核心是通过引入参数表示未知边长，结合图形找到参数与已知量的等量关系，再通过化简消去参数得到结果，解题过程中运用平移法计算周长可大大简化运算。
【难度系数】
0.6
8.阅读材料:如果代数式 $5a + 3b$ 的值为$-4$，那么代数式 $2(a + b) + 4(2a + b)$ 的值是多少?
我们可以这样来解:原式$=2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b$。把式子 $5a + 3b = -4$ 两边同时乘2，得 $10a + 6b = -8$。
仿照上面的解题方法,解答下面的问题.
(1)已知 $a^2 + a = 0$，直接写出 $a^2 + a + 1000$ 的值.
(2)已知 $a - b = -3$，求 $3(a - b) - a + b + 5$ 的值.
(3)已知 $a^2 + 2ab = -2$，$ab - b^2 = -4$，求 $2a^2 + 5ab - b^2$ 的值.
我们可以这样来解:原式$=2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b$。把式子 $5a + 3b = -4$ 两边同时乘2，得 $10a + 6b = -8$。
仿照上面的解题方法,解答下面的问题.
(1)已知 $a^2 + a = 0$，直接写出 $a^2 + a + 1000$ 的值.
(2)已知 $a - b = -3$，求 $3(a - b) - a + b + 5$ 的值.
(3)已知 $a^2 + 2ab = -2$，$ab - b^2 = -4$，求 $2a^2 + 5ab - b^2$ 的值.
答案
(1)因为 $a^2+a=0$,
所以 $a^2+a+1000=0+1000=1000.$
(2)因为 $a-b=-3$,
所以 $3(a-b)-a+b+5=3×(-3)-(-3)+5=-1.$
(3)因为 $a^2+2ab=-2,ab-b^2=-4$,
所以 $2a^2+5ab-b^2=2a^2+4ab+ab-b^2=2×(-2)+(-4)=-8.$
所以 $a^2+a+1000=0+1000=1000.$
(2)因为 $a-b=-3$,
所以 $3(a-b)-a+b+5=3×(-3)-(-3)+5=-1.$
(3)因为 $a^2+2ab=-2,ab-b^2=-4$,
所以 $2a^2+5ab-b^2=2a^2+4ab+ab-b^2=2×(-2)+(-4)=-8.$
解析
【分析】
本题考查代数式的整体代入求值，解题时无需单独求出每个未知字母的取值，只需将待求代数式变形，凑出已知条件中给出的代数式结构，再整体代入计算即可：
(1) 待求式中直接包含已知的$a^2+a$，可直接代入计算；
(2) 先将待求式中的$-a+b$变形为$-(a-b)$，使待求式全部由$a-b$构成，再代入$a-b=-3$计算；
(3) 把待求式$2a^2 + 5ab - b^2$拆分为$2(a^2+2ab)+(ab - b^2)$，刚好对应已知的两个代数式，再分别代入数值计算。
【解析】
(1) 已知$a^2 + a = 0$，将其整体代入$a^2 + a + 1000$可得：
$a^2 + a + 1000 = 0 + 1000 = 1000$
(2) 先对$3(a - b) - a + b + 5$变形：
$3(a - b) - a + b + 5 = 3(a - b) - (a - b) + 5$
将$a - b = -3$整体代入得：
原式$=3×(-3) - (-3) + 5 = -9 + 3 + 5 = -1$
(3) 先对$2a^2 + 5ab - b^2$拆分变形：
$2a^2 + 5ab - b^2 = 2a^2 + 4ab + ab - b^2 = 2(a^2 + 2ab) + (ab - b^2)$
将$a^2 + 2ab = -2$，$ab - b^2 = -4$整体代入得：
原式$=2×(-2) + (-4) = -4 - 4 = -8$
【答案】
(1)$\boxed{1000}$；(2)$\boxed{-1}$；(3)$\boxed{-8}$
【知识点】
整体代入求值；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式加减中的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是灵活对待求代数式进行拆项、变形，使其匹配已知的代数式结构，避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式的整体代入求值，解题时无需单独求出每个未知字母的取值，只需将待求代数式变形，凑出已知条件中给出的代数式结构，再整体代入计算即可：
(1) 待求式中直接包含已知的$a^2+a$，可直接代入计算；
(2) 先将待求式中的$-a+b$变形为$-(a-b)$，使待求式全部由$a-b$构成，再代入$a-b=-3$计算；
(3) 把待求式$2a^2 + 5ab - b^2$拆分为$2(a^2+2ab)+(ab - b^2)$，刚好对应已知的两个代数式，再分别代入数值计算。
【解析】
(1) 已知$a^2 + a = 0$，将其整体代入$a^2 + a + 1000$可得：
$a^2 + a + 1000 = 0 + 1000 = 1000$
(2) 先对$3(a - b) - a + b + 5$变形：
$3(a - b) - a + b + 5 = 3(a - b) - (a - b) + 5$
将$a - b = -3$整体代入得：
原式$=3×(-3) - (-3) + 5 = -9 + 3 + 5 = -1$
(3) 先对$2a^2 + 5ab - b^2$拆分变形：
$2a^2 + 5ab - b^2 = 2a^2 + 4ab + ab - b^2 = 2(a^2 + 2ab) + (ab - b^2)$
将$a^2 + 2ab = -2$，$ab - b^2 = -4$整体代入得：
原式$=2×(-2) + (-4) = -4 - 4 = -8$
【答案】
(1)$\boxed{1000}$；(2)$\boxed{-1}$；(3)$\boxed{-8}$
【知识点】
整体代入求值；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题是整式加减中的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是灵活对待求代数式进行拆项、变形，使其匹配已知的代数式结构，避免求解单个未知数，大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.8
