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6. 下列算式:①$-10^3$;②$(-10)^3$;③$-(-10)^3$;④$-(-10^3)$,其中负数有(
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
A
)。A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
答案
A
解析
【分析】
要判断四个算式中的负数，首先需要明确有理数乘方的符号规则，区分负号在括号内和括号外的不同运算顺序：先确定每个算式的底数，再计算乘方结果，最后判断正负，筛选出负数对应的序号即可得到答案。
【解析】
我们分别计算四个算式的结果：
①$-10^3$：底数为10，先算$10^3=10×10×10=1000$，再添负号得$-1000$，是负数；
②$(-10)^3$：底数为-10，负数的奇次幂为负，计算得$(-10)×(-10)×(-10)=-1000$，是负数；
③$-(-10)^3$：先算括号内$(-10)^3=-1000$，再取相反数得$-(-1000)=1000$，是正数；
④$-(-10^3)$：先算$10^3=1000$，再对括号内的$-1000$取相反数得$-(-1000)=1000$，是正数。
综上，负数为①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；正负数的判断
【点评】
本题的易错点是混淆乘方中负号的位置，要注意底数是否包含负号，计算时严格遵循运算顺序，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断四个算式中的负数，首先需要明确有理数乘方的符号规则，区分负号在括号内和括号外的不同运算顺序：先确定每个算式的底数，再计算乘方结果，最后判断正负，筛选出负数对应的序号即可得到答案。
【解析】
我们分别计算四个算式的结果：
①$-10^3$：底数为10，先算$10^3=10×10×10=1000$，再添负号得$-1000$，是负数；
②$(-10)^3$：底数为-10，负数的奇次幂为负，计算得$(-10)×(-10)×(-10)=-1000$，是负数；
③$-(-10)^3$：先算括号内$(-10)^3=-1000$，再取相反数得$-(-1000)=1000$，是正数；
④$-(-10^3)$：先算$10^3=1000$，再对括号内的$-1000$取相反数得$-(-1000)=1000$，是正数。
综上，负数为①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方运算；正负数的判断
【点评】
本题的易错点是混淆乘方中负号的位置，要注意底数是否包含负号，计算时严格遵循运算顺序，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7
7. 写出一个正整数m的值，使算式“$4× (-1)^m + (-1)^{10} = -3$”成立。
答案
答案不唯一，正整数m为奇数即可。如$m=3$。
解析
【分析】
解题时先回忆有理数乘方的符号规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。第一步先计算式中已知的$(-1)^{10}$的值，再将其代入原式，通过简单的运算求出$(-1)^m$的取值，最后根据$(-1)$乘方的符号规律判断$m$的奇偶性，取一个符合要求的正奇数即可。
【解析】
1. 计算$(-1)^{10}$：10是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-1)^{10}=1$。
2. 将$(-1)^{10}=1$代入原式，可得：
$4× (-1)^m +1 = -3$
3. 整理计算：
移项得$4× (-1)^m = -3-1=-4$，
两边同时除以4得$(-1)^m=-1$。
4. 根据负数的奇次幂为负，可知当$m$为正奇数时，$(-1)^m=-1$，因此任意正奇数都满足要求，例如取$m=3$。
【答案】
答案不唯一，正整数$m$为奇数即可。如$m=3$。
【知识点】
1. 有理数乘方的符号规律
2. 有理数混合运算
【点评】
本题考查有理数乘方相关性质的应用，核心是掌握$(-1)$的奇次幂为-1、偶次幂为1的规律，解题时先化简已知项再推导未知项的性质即可，是乘方章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆有理数乘方的符号规律：负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。第一步先计算式中已知的$(-1)^{10}$的值，再将其代入原式，通过简单的运算求出$(-1)^m$的取值，最后根据$(-1)$乘方的符号规律判断$m$的奇偶性，取一个符合要求的正奇数即可。
【解析】
1. 计算$(-1)^{10}$：10是偶数，根据负数的偶次幂为正，可得$(-1)^{10}=1$。
2. 将$(-1)^{10}=1$代入原式，可得：
$4× (-1)^m +1 = -3$
3. 整理计算：
移项得$4× (-1)^m = -3-1=-4$，
两边同时除以4得$(-1)^m=-1$。
4. 根据负数的奇次幂为负，可知当$m$为正奇数时，$(-1)^m=-1$，因此任意正奇数都满足要求，例如取$m=3$。
【答案】
答案不唯一，正整数$m$为奇数即可。如$m=3$。
【知识点】
1. 有理数乘方的符号规律
2. 有理数混合运算
【点评】
本题考查有理数乘方相关性质的应用，核心是掌握$(-1)$的奇次幂为-1、偶次幂为1的规律，解题时先化简已知项再推导未知项的性质即可，是乘方章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，一跳点P从距原点1个单位的点A处向原点方向跳动，第1次跳到点A₁处（点A₁到原点O的距离是点A到原点O距离的一半），第2次跳到点A₂处（点A₂到原点O的距离是A₁到原点O距离的一半），如此不断跳下去……问：第1次跳动后，点P到原点的距离是多少？第2次跳动后呢？第10次跳动后呢？
答案
$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},(\dfrac{1}{2})^{10}=\dfrac{1}{1024}$。
解析
【分析】
首先明确初始条件：点A距离原点O的距离为1。题目规定每次跳动后，点到原点的距离是跳动前距离的$\frac{1}{2}$，因此可按规律推导：第1次跳动后的距离是初始距离乘$\frac{1}{2}$，第2次是第1次的结果再乘$\frac{1}{2}$，以此类推，第n次跳动后的距离就是n个$\frac{1}{2}$相乘，即$(\frac{1}{2})^n$，代入对应次数即可求解。
【解析】
解：由题意可知，初始时OA=1。
第1次跳动后，点P到原点的距离：$OA_1=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
第2次跳动后，点P到原点的距离：$OA_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
根据规律可得，第n次跳动后，点P到原点的距离为$(\frac{1}{2})^n$，
因此第10次跳动后，点P到原点的距离为$(\frac{1}{2})^{10}=\frac{1}{1024}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{1024}$
【知识点】
有理数乘方，规律探究
【点评】
本题结合实际跳动场景考察乘方的应用，解题核心是先理清每次跳动后距离的变化规律，再结合乘方的定义计算对应结果，重点考查规律总结能力和乘方概念的理解。
【难度系数】
0.8
首先明确初始条件：点A距离原点O的距离为1。题目规定每次跳动后，点到原点的距离是跳动前距离的$\frac{1}{2}$，因此可按规律推导：第1次跳动后的距离是初始距离乘$\frac{1}{2}$，第2次是第1次的结果再乘$\frac{1}{2}$，以此类推，第n次跳动后的距离就是n个$\frac{1}{2}$相乘，即$(\frac{1}{2})^n$，代入对应次数即可求解。
【解析】
解：由题意可知，初始时OA=1。
第1次跳动后，点P到原点的距离：$OA_1=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；
第2次跳动后，点P到原点的距离：$OA_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
根据规律可得，第n次跳动后，点P到原点的距离为$(\frac{1}{2})^n$，
因此第10次跳动后，点P到原点的距离为$(\frac{1}{2})^{10}=\frac{1}{1024}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{1}{1024}$
【知识点】
有理数乘方，规律探究
【点评】
本题结合实际跳动场景考察乘方的应用，解题核心是先理清每次跳动后距离的变化规律，再结合乘方的定义计算对应结果，重点考查规律总结能力和乘方概念的理解。
【难度系数】
0.8
9. 根据乘方的意义,可将$\frac{1}{8}$转化为底数为$\frac{1}{2}$的幂,如$\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$,从而可得到:
$(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{8}×\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3×(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^6$。按此规律,
计算:$2^{19}×(-\frac{1}{8})^6$。
$(\frac{1}{8})^2=\frac{1}{8}×\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3×(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^6$。按此规律,
计算:$2^{19}×(-\frac{1}{8})^6$。
答案
$2^{19}×(-\dfrac{1}{8})^6=2^{19}×(\dfrac{1}{8})^6=2^{19}×(\dfrac{1}{2})^{18}=2$。
解析
【分析】
解题时可按以下逻辑思考：①先处理含负号的乘方：根据负数的偶次幂为正的规律，先将$(-\frac{1}{8})^6$化简为$(\frac{1}{8})^6$，消去负号简化计算；②转化底数：结合题目给出的示例$\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$，利用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），将$(\frac{1}{8})^6$转化为底数是$\frac{1}{2}$的幂$(\frac{1}{2})^{18}$，也就是$\frac{1}{2^{18}}$；③同底数幂运算：将$2^{19}$拆分为$2^{18}×2$，和$\frac{1}{2^{18}}$约分后即可得到最终结果。
【解析】
解：
$2^{19}×(-\frac{1}{8})^6$
$=2^{19}×(\frac{1}{8})^6$（负数的偶次幂为正）
$=2^{19}×[(\frac{1}{2})^3]^6$（将$\frac{1}{8}$转化为底数为$\frac{1}{2}$的幂）
$=2^{19}×(\frac{1}{2})^{18}$（幂的乘方，底数不变，指数相乘，$3×6=18$）
$=2^{19}×\frac{1}{2^{18}}$
$=2×2^{18}×\frac{1}{2^{18}}$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
乘方符号规律，幂的乘方运算，同底数幂运算
【点评】
本题是乘方运算的基础应用题目，解题核心是先确定负数乘方的符号，再将不同底数的幂转化为同底数幂进行计算，熟练掌握乘方的相关运算性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下逻辑思考：①先处理含负号的乘方：根据负数的偶次幂为正的规律，先将$(-\frac{1}{8})^6$化简为$(\frac{1}{8})^6$，消去负号简化计算；②转化底数：结合题目给出的示例$\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^3$，利用幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），将$(\frac{1}{8})^6$转化为底数是$\frac{1}{2}$的幂$(\frac{1}{2})^{18}$，也就是$\frac{1}{2^{18}}$；③同底数幂运算：将$2^{19}$拆分为$2^{18}×2$，和$\frac{1}{2^{18}}$约分后即可得到最终结果。
【解析】
解：
$2^{19}×(-\frac{1}{8})^6$
$=2^{19}×(\frac{1}{8})^6$（负数的偶次幂为正）
$=2^{19}×[(\frac{1}{2})^3]^6$（将$\frac{1}{8}$转化为底数为$\frac{1}{2}$的幂）
$=2^{19}×(\frac{1}{2})^{18}$（幂的乘方，底数不变，指数相乘，$3×6=18$）
$=2^{19}×\frac{1}{2^{18}}$
$=2×2^{18}×\frac{1}{2^{18}}$
$=2$
【答案】
$2$
【知识点】
乘方符号规律，幂的乘方运算，同底数幂运算
【点评】
本题是乘方运算的基础应用题目，解题核心是先确定负数乘方的符号，再将不同底数的幂转化为同底数幂进行计算，熟练掌握乘方的相关运算性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
