1. (2023·辽宁)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= 5,BC= 3,根据尺规作图的痕迹作射线AG,交BC于点D,则BD的长为 ( )

A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{5}{3}$

D

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由尺规作图痕迹可知，AG是∠BAC的平分线。
设BD=x，则DC=3-x。
根据角平分线定理：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，即$\frac{5}{4}=\frac{x}{3-x}$。
解得：5(3-x)=4x，15-5x=4x，9x=15，x=$\frac{5}{3}$。
D

2. (2024·宿城期中)如图,4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形的面积是9,小正方形的面积是1,直角三角形较长的直角边长为a,较短的直角边长为b,则ab的值是 ( )

A.4
B.6
C.8
D.10

A

大正方形面积为9，则边长为3，即直角三角形斜边为3，故$a^2 + b^2 = 3^2 = 9$。
小正方形面积为1，则边长为1，由图知$a - b = 1$。
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 1$，将$a^2 + b^2 = 9$代入得$9 - 2ab = 1$，解得$ab = 4$。
A

3. 如图,在每个小正方形的边长均为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则AB的长为______,BC的长为______,AC的长为______.

$\sqrt{17}$ $\sqrt{34}$ $\sqrt{37}$

$AB=\sqrt{1^2 + 4^2}=\sqrt{17}$
$BC=\sqrt{5^2 + 3^2}=\sqrt{34}$
$AC=\sqrt{1^2 + 6^2}=\sqrt{37}$

4. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C= 90°,AC= 3. 若P为边BC的三等分点,连接AP,则AP的长为______.

$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$ 解析:
∵△ABC为等腰直角三角形,∠C = 90°,AC = 3,
∴BC = AC = 3.在Rt△ACP中,AP² = AC² + PC²,
∵P为边BC的三等分点,
∴①当PC = $\frac{1}{3}$BC = 1时,AP = $\sqrt{10}$;②当PC = $\frac{2}{3}$BC = 2时,AP = $\sqrt{13}$.综上所述，AP的长为$\sqrt{10}$或$\sqrt{13}$

5. 用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示$-\sqrt{10}$的点.

作法不唯一，如图，点A即为所求

6. 如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB= ∠ECD= 90°,D为边AB上一点. 求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)$AD^2+DB^2= 2CD^2$.

(1)
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC = BC,CD = CE.
∵∠ACB = ∠ECD = 90°,
∴∠BCD + ∠ACD = ∠ACE + ∠ACD,
∴∠BCD = ∠ACE.在△ACE和△BCD中,$\begin{cases}AC = BC,\\\angle ACE = \angle BCD,\\CE = CD,\end{cases}$
∴△ACE≌△BCD
(2)
∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B = ∠BAC = 45°.
∵△ACE≌△BCD,
∴EA = DB,∠CAE = ∠B = 45°,
∴∠DAE = ∠CAE + ∠BAC = 45° + 45° = 90°,
∴AD² + EA² = DE²,
∴AD² + DB² = DE².又
∵△ECD是等腰直角三角形,
∴CD² + CE² = 2CD² = DE²,
∴AD² + DB² = 2CD²