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5.如图30－2－8，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，若$△ ABC$的周长为18，面积为9，求$\odot O$的半径. 
答案
5.解:如答图 30-2-1,设$\odot O$与$△ ABC$的边AB,AC,BC分别相切于点E,F,G,连接OE,OF,OG,OA,OB,OC.
设$\odot O$的半径为r,则$OE⊥ AB,OF⊥ AC$,
$OG⊥ BC,OE=OF=OG=r$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}AB · r+\frac{1}{2}AC · r+\frac{1}{2}BC · r=\frac{1}{2}(AB+AC+BC) · r$,$△ ABC$的周长为 18,面积为 9,
$\therefore 9=\frac{1}{2}×18 · r$,
$\therefore r=1$,即$\odot O$的半径为 1.
答图 30－2－1
解析
【分析】
要求三角形内切圆的半径，首先回忆内切圆的核心性质：内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，且距离等于内切圆半径r。已知三角形的周长和面积，我们可以采用等面积法求解：将$△ ABC$拆分为$△ ABO$、$△ ACO$、$△ BCO$三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径r，底分别对应原三角形的三边AB、AC、BC，因此三个小三角形的面积和等于原三角形的面积，代入已知的周长和面积数值即可列方程求出r。
【解析】
设$\odot O$与$△ ABC$的边AB,AC,BC分别相切于点E,F,G，连接OE,OF,OG,OA,OB,OC。
设$\odot O$的半径为r，根据切线的性质可得：$OE⊥ AB,OF⊥ AC,OG⊥ BC$，且$OE=OF=OG=r$。
由三角形面积的和差关系可得：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BOC}$
分别计算三个小三角形的面积：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB· r$，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}AC· r$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· r$，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}AC· r+\frac{1}{2}BC· r=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· r$
已知$△ ABC$的周长为18，即$AB+AC+BC=18$，面积$S_{△ ABC}=9$，代入上式得：
$9=\frac{1}{2}×18· r$
解得$r=1$。
【答案】
$\odot O$的半径为1。
【知识点】
三角形内切圆性质；切线的性质；等面积法
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，核心是利用等面积法建立三角形周长、面积与内切圆半径的数量关系，该方法是求解三角形内切圆半径的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求三角形内切圆的半径，首先回忆内切圆的核心性质：内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，且距离等于内切圆半径r。已知三角形的周长和面积，我们可以采用等面积法求解：将$△ ABC$拆分为$△ ABO$、$△ ACO$、$△ BCO$三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径r，底分别对应原三角形的三边AB、AC、BC，因此三个小三角形的面积和等于原三角形的面积，代入已知的周长和面积数值即可列方程求出r。
【解析】
设$\odot O$与$△ ABC$的边AB,AC,BC分别相切于点E,F,G，连接OE,OF,OG,OA,OB,OC。
设$\odot O$的半径为r，根据切线的性质可得：$OE⊥ AB,OF⊥ AC,OG⊥ BC$，且$OE=OF=OG=r$。
由三角形面积的和差关系可得：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABO}+S_{△ ACO}+S_{△ BOC}$
分别计算三个小三角形的面积：$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB· r$，$S_{△ ACO}=\frac{1}{2}AC· r$，$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}BC· r$，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· r+\frac{1}{2}AC· r+\frac{1}{2}BC· r=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)· r$
已知$△ ABC$的周长为18，即$AB+AC+BC=18$，面积$S_{△ ABC}=9$，代入上式得：
$9=\frac{1}{2}×18· r$
解得$r=1$。
【答案】
$\odot O$的半径为1。
【知识点】
三角形内切圆性质；切线的性质；等面积法
【点评】
本题是三角形内切圆的基础计算题，核心是利用等面积法建立三角形周长、面积与内切圆半径的数量关系，该方法是求解三角形内切圆半径的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1.【教材P159练习T3变式】如图30－2－9，已知O是△ABC的内心，连接OA，OB，OC.若△ABC的内切圆半径为1，△ABC的周长为12，求△ABC的面积.
答案
1.解:如答图 30－2－2,作$△ ABC$的内切圆$\odot O$,设$\odot O$与AB,BC,AC的切点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF.
答图 30－2－2
$\therefore OD=OE=OF=1,OD⊥ AB,OE⊥ BC$,
$OF⊥ AC$.
$\because △ ABC$的周长为 12,
$\therefore AB+BC+AC=12$.
$\therefore △ ABC$的面积为$\frac{1}{2}AB · OD+\frac{1}{2}BC · OE+\frac{1}{2}AC · OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)×1=\frac{1}{2}×12×1=6$.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是其内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，均等于内切圆半径。要求△ABC的面积，可采用分割法，将△ABC拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径1，底分别为△ABC的三边，因此可结合△ABC的周长整体计算总面积。
【解析】
如答图 30－2－2，作$△ ABC$的内切圆$\odot O$，设$\odot O$与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF。
$\therefore OD=OE=OF=1$，$OD⊥AB$，$OE⊥BC$，$OF⊥AC$。
$\because △ABC$的周长为12，
$\therefore AB+BC+AC=12$。
$\therefore S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}=\frac{1}{2}AB · OD+\frac{1}{2}BC · OE+\frac{1}{2}AC · OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)×1=\frac{1}{2}×12×1=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形内心的性质、三角形面积计算、内切圆的性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础计算题，核心解题方法是分割法，将大三角形面积转化为三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，结合周长即可快速求解，推导得出的$S=\frac{1}{2}Cr$（C为三角形周长，r为内切圆半径）是此类题的常用结论。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是其内切圆的圆心，到三角形三边的距离相等，均等于内切圆半径。要求△ABC的面积，可采用分割法，将△ABC拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径1，底分别为△ABC的三边，因此可结合△ABC的周长整体计算总面积。
【解析】
如答图 30－2－2，作$△ ABC$的内切圆$\odot O$，设$\odot O$与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF。
$\therefore OD=OE=OF=1$，$OD⊥AB$，$OE⊥BC$，$OF⊥AC$。
$\because △ABC$的周长为12，
$\therefore AB+BC+AC=12$。
$\therefore S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OBC}+S_{△OAC}=\frac{1}{2}AB · OD+\frac{1}{2}BC · OE+\frac{1}{2}AC · OF=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)×1=\frac{1}{2}×12×1=6$。
【答案】
6
【知识点】
三角形内心的性质、三角形面积计算、内切圆的性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础计算题，核心解题方法是分割法，将大三角形面积转化为三个以内切圆半径为高的小三角形面积之和，结合周长即可快速求解，推导得出的$S=\frac{1}{2}Cr$（C为三角形周长，r为内切圆半径）是此类题的常用结论。
【难度系数】
0.7
2. 如图30－2－10，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与$AB,BC,CA$分别相切于点$D,E,F$，$∠ DOE＝120°$，$∠ EOF＝150°$。
(1)求$△ ABC$的三个内角的大小；
(2)设$\odot O$的直径为$d$，证明：$d＝AB＋AC－BC$。
图30－2－10
(1)求$△ ABC$的三个内角的大小；
(2)设$\odot O$的直径为$d$，证明：$d＝AB＋AC－BC$。
图30－2－10
答案
2.(1)解:$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆,
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$,
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$.
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$,
$\therefore$ 在四边形 BDOE 中,$∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°$,
在四边形 CEOF 中,$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°$.
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°$.
(2)证明:由切线长定理得 $AD=AF,BD=BE,CF=CE$,
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$.
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$,
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$.
$\because OD⊥ AB,OF⊥ BC$,且$∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形,
$\therefore OD=AF$.
$\because \odot O$的直径为$d$,OD 为$\odot O$的半径,
$\therefore d=2OD=2AF$,
$\therefore d=AB+AC-BC$.
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$,
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$.
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$,
$\therefore$ 在四边形 BDOE 中,$∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=60°$,
在四边形 CEOF 中,$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=30°$.
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=90°$.
(2)证明:由切线长定理得 $AD=AF,BD=BE,CF=CE$,
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$.
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$,
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$.
$\because OD⊥ AB,OF⊥ BC$,且$∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形,
$\therefore OD=AF$.
$\because \odot O$的直径为$d$,OD 为$\odot O$的半径,
$\therefore d=2OD=2AF$,
$\therefore d=AB+AC-BC$.
解析
【分析】
(1) 求解三角形内角时，先根据内切圆的切线性质，得到过切点的半径与三角形对应边垂直，即可得到四个90°的角；再结合已知的两个圆心角，利用四边形内角和为360°分别计算出∠B和∠C，最后根据三角形内角和为180°算出∠A。
(2) 证明线段等量关系时，先运用切线长定理，将三角形三边拆分成相等的切线段，整理得到AB+AC-BC与切线段AF的数量关系；再结合第一问得出的∠A=90°，以及两条半径分别垂直于AB、AC的性质，判定四边形ADOF是矩形，得到半径与AF相等，进而推出直径d和AB+AC-BC的等量关系。
【解析】
(1) 解：$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆,
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$,
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$.
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$,
$\therefore$ 在四边形 BDOE 中,$∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$,
在四边形 CEOF 中,$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°$.
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-30°=90°$.
(2) 证明:由切线长定理得 $AD=AF,BD=BE,CF=CE$,
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$.
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$,
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$.
$\because OD⊥ AB,OF⊥ AC$,且$∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形,
$\therefore OD=AF$.
$\because \odot O$的直径为$d$,OD 为$\odot O$的半径,
$\therefore d=2OD=2AF$,
$\therefore d=AB+AC-BC$.
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，矩形的判定
【点评】
本题属于三角形内切圆的常规综合题，将角度计算和线段等量证明结合考查，解题的核心是熟练掌握内切圆相关的基础性质，能灵活运用四边形内角和、矩形判定完成角度和线段的代换。
【难度系数】
0.7
(1) 求解三角形内角时，先根据内切圆的切线性质，得到过切点的半径与三角形对应边垂直，即可得到四个90°的角；再结合已知的两个圆心角，利用四边形内角和为360°分别计算出∠B和∠C，最后根据三角形内角和为180°算出∠A。
(2) 证明线段等量关系时，先运用切线长定理，将三角形三边拆分成相等的切线段，整理得到AB+AC-BC与切线段AF的数量关系；再结合第一问得出的∠A=90°，以及两条半径分别垂直于AB、AC的性质，判定四边形ADOF是矩形，得到半径与AF相等，进而推出直径d和AB+AC-BC的等量关系。
【解析】
(1) 解：$\because \odot O$是$△ ABC$的内切圆,
$\therefore OD⊥ AB,OE⊥ BC,OF⊥ CA$,
$\therefore ∠ ODB=∠ OEB=∠ OEC=∠ OFC=90°$.
$\because ∠ DOE=120°,∠ EOF=150°$,
$\therefore$ 在四边形 BDOE 中,$∠ B=360°-∠ ODB-∠ OEB-∠ DOE=360°-90°-90°-120°=60°$,
在四边形 CEOF 中,$∠ C=360°-∠ OEC-∠ OFC-∠ EOF=360°-90°-90°-150°=30°$.
$\therefore ∠ A=180°-∠ B-∠ C=180°-60°-30°=90°$.
(2) 证明:由切线长定理得 $AD=AF,BD=BE,CF=CE$,
$\therefore BD+CF=BE+CE=BC$.
$\therefore AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC$,
$\therefore 2AF=AB+AC-BC$.
$\because OD⊥ AB,OF⊥ AC$,且$∠ A=90°$,
$\therefore$ 四边形 ADOF 是矩形,
$\therefore OD=AF$.
$\because \odot O$的直径为$d$,OD 为$\odot O$的半径,
$\therefore d=2OD=2AF$,
$\therefore d=AB+AC-BC$.
【答案】
(1) $∠ A=90°$，$∠ B=60°$，$∠ C=30°$；
(2) 证明成立，$d=AB+AC-BC$。
【知识点】
切线的性质，切线长定理，矩形的判定
【点评】
本题属于三角形内切圆的常规综合题，将角度计算和线段等量证明结合考查，解题的核心是熟练掌握内切圆相关的基础性质，能灵活运用四边形内角和、矩形判定完成角度和线段的代换。
【难度系数】
0.7
