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8. 如图，路灯距地面8 m，身高1.6 m的小明从点A处沿AO所在的直线行走14 m到点B时，人影长度（
A.变长3.5 m
B.变长2.5 m
C.变短3.5 m
D.变短2.5 m
C
）A.变长3.5 m
B.变长2.5 m
C.变短3.5 m
D.变短2.5 m
答案
8. C
解析
【分析】
本题是中心投影的实际应用题，解题核心是利用中心投影下的相似关系求解。首先明确：垂直于地面的物体、其影子与灯光光线构成的小三角形，和路灯、地面及同一条灯光光线构成的大三角形是相似关系。我们可以先分别设小明在A、B两点的影长，结合相似三角形对应边成比例列出两个等式，再结合小明行走的距离消去未知的OA长度，即可求出影长的变化量。
【解析】
设路灯灯泡所在点为$ P $，由题意得$ PO ⊥ $地面，$ PO=8\,\mathrm{m} $，小明身高为$ 1.6\,\mathrm{m} $。设小明在A点时影长$ AM=x\,\mathrm{m} $，行走14m到B点后影长$ BN=y\,\mathrm{m} $，设$ OA=a\,\mathrm{m} $，则$ OB=(a-14)\,\mathrm{m} $。
1. 小明在A处时：身高与地面垂直，因此$ AC // PO $，可得$ △ MAC ∼ △ MOP $。
根据相似三角形对应边成比例：$ \frac{AC}{PO}=\frac{AM}{MO} $，代入数值得$ \frac{1.6}{8}=\frac{x}{x+a} $，
化简得：$ 8x=1.6x+1.6a $，解得$ x=0.25a $。
2. 小明在B处时：同理$ BD // PO $，可得$ △ NBD ∼ △ NOP $。
根据相似三角形对应边成比例：$ \frac{BD}{PO}=\frac{BN}{NO} $，代入数值得$ \frac{1.6}{8}=\frac{y}{y+a-14} $，
化简得：$ 8y=1.6y+1.6a-22.4 $，解得$ y=0.25a-3.5 $。
3. 计算影长变化：$ x-y=0.25a-(0.25a-3.5)=3.5\,\mathrm{m} $，即人影长度变短3.5m。
【答案】
C
【知识点】
中心投影；相似三角形的性质与应用
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是找准相似三角形，利用对应边成比例建立数量关系，通过消元法排除无关未知量的干扰即可得到结果，注重考查数学建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
本题是中心投影的实际应用题，解题核心是利用中心投影下的相似关系求解。首先明确：垂直于地面的物体、其影子与灯光光线构成的小三角形，和路灯、地面及同一条灯光光线构成的大三角形是相似关系。我们可以先分别设小明在A、B两点的影长，结合相似三角形对应边成比例列出两个等式，再结合小明行走的距离消去未知的OA长度，即可求出影长的变化量。
【解析】
设路灯灯泡所在点为$ P $，由题意得$ PO ⊥ $地面，$ PO=8\,\mathrm{m} $，小明身高为$ 1.6\,\mathrm{m} $。设小明在A点时影长$ AM=x\,\mathrm{m} $，行走14m到B点后影长$ BN=y\,\mathrm{m} $，设$ OA=a\,\mathrm{m} $，则$ OB=(a-14)\,\mathrm{m} $。
1. 小明在A处时：身高与地面垂直，因此$ AC // PO $，可得$ △ MAC ∼ △ MOP $。
根据相似三角形对应边成比例：$ \frac{AC}{PO}=\frac{AM}{MO} $，代入数值得$ \frac{1.6}{8}=\frac{x}{x+a} $，
化简得：$ 8x=1.6x+1.6a $，解得$ x=0.25a $。
2. 小明在B处时：同理$ BD // PO $，可得$ △ NBD ∼ △ NOP $。
根据相似三角形对应边成比例：$ \frac{BD}{PO}=\frac{BN}{NO} $，代入数值得$ \frac{1.6}{8}=\frac{y}{y+a-14} $，
化简得：$ 8y=1.6y+1.6a-22.4 $，解得$ y=0.25a-3.5 $。
3. 计算影长变化：$ x-y=0.25a-(0.25a-3.5)=3.5\,\mathrm{m} $，即人影长度变短3.5m。
【答案】
C
【知识点】
中心投影；相似三角形的性质与应用
【点评】
本题结合生活中的灯光投影场景考查相似三角形的实际应用，解题关键是找准相似三角形，利用对应边成比例建立数量关系，通过消元法排除无关未知量的干扰即可得到结果，注重考查数学建模能力和实际问题解决能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在平面直角坐标系中,一点光源位于A(-3,4),线段BC的两个端点坐标为B(-2,2)与C(0,2),则线段BC在x轴上的影子B'C'的长度为
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用问题，解题思路如下：首先根据中心投影的原理，线段BC在x轴上的影子端点B'、C'分别是光线AB、AC与x轴的交点；其次我们可以利用待定系数法分别求出直线AB、直线AC的解析式；接着令解析式中y=0，即可求出B'、C'的横坐标；最后计算x轴上两点的距离就能得到B'C'的长度。
【解析】
1. 求直线AB的解析式及点B'的坐标：
设直线AB的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(-3,4)$、$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}-3k_1 + b_1 = 4 \\-2k_1 + b_1 = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-2 \\b_1=-2 \end{cases}$，即直线AB解析式为$y=-2x-2$。
令$y=0$，则$0=-2x-2$，解得$x=-1$，故$B'(-1,0)$。
2. 求直线AC的解析式及点C'的坐标：
设直线AC的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$A(-3,4)$、$C(0,2)$代入得：
$\begin{cases}-3k_2 + b_2 = 4 \\b_2=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3} \\b_2=2 \end{cases}$，即直线AC解析式为$y=-\frac{2}{3}x+2$。
令$y=0$，则$0=-\frac{2}{3}x+2$，解得$x=3$，故$C'(3,0)$。
3. 计算B'C'的长度：
x轴上两点距离为横坐标之差的绝对值，故$B'C'=|3 - (-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
中心投影；待定系数法求一次函数解析式；坐标轴两点距离计算
【点评】
本题将中心投影的性质与一次函数知识相结合，解题核心是明确光线沿直线传播的特点，找到影子端点的形成规律，能有效考查学生将几何问题转化为函数问题求解的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
本题属于中心投影的实际应用问题，解题思路如下：首先根据中心投影的原理，线段BC在x轴上的影子端点B'、C'分别是光线AB、AC与x轴的交点；其次我们可以利用待定系数法分别求出直线AB、直线AC的解析式；接着令解析式中y=0，即可求出B'、C'的横坐标；最后计算x轴上两点的距离就能得到B'C'的长度。
【解析】
1. 求直线AB的解析式及点B'的坐标：
设直线AB的解析式为$y=k_1x+b_1$，将$A(-3,4)$、$B(-2,2)$代入得：
$\begin{cases}-3k_1 + b_1 = 4 \\-2k_1 + b_1 = 2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=-2 \\b_1=-2 \end{cases}$，即直线AB解析式为$y=-2x-2$。
令$y=0$，则$0=-2x-2$，解得$x=-1$，故$B'(-1,0)$。
2. 求直线AC的解析式及点C'的坐标：
设直线AC的解析式为$y=k_2x+b_2$，将$A(-3,4)$、$C(0,2)$代入得：
$\begin{cases}-3k_2 + b_2 = 4 \\b_2=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=-\frac{2}{3} \\b_2=2 \end{cases}$，即直线AC解析式为$y=-\frac{2}{3}x+2$。
令$y=0$，则$0=-\frac{2}{3}x+2$，解得$x=3$，故$C'(3,0)$。
3. 计算B'C'的长度：
x轴上两点距离为横坐标之差的绝对值，故$B'C'=|3 - (-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
中心投影；待定系数法求一次函数解析式；坐标轴两点距离计算
【点评】
本题将中心投影的性质与一次函数知识相结合，解题核心是明确光线沿直线传播的特点，找到影子端点的形成规律，能有效考查学生将几何问题转化为函数问题求解的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
10. 图1,2是两棵树在同一时刻太阳光或路灯下影子的情形。
(1)哪个图反映了太阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？你是用什么方法进行判断的？
(2)请在两幅图中画出表示小明影长的线段。
(1)哪个图反映了太阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？你是用什么方法进行判断的？
(2)请在两幅图中画出表示小明影长的线段。
答案
解:(1)图1是太阳光下的情形,图2是路灯下的情形。
太阳光是平行光线,物高与影长成正比。
(2)所画线段如图1,2所示。
解析
【分析】
解题思路可分两步走：
1. 先回忆两类投影的核心特征：太阳光属于平行投影，光线互相平行；路灯属于中心投影，光线从同一点光源发散。判断时只需分别连接两棵树的顶端和对应影子的顶端，若两条连线平行就是太阳光下的情形，若两条连线相交于一点就是路灯下的情形。
2. 画影长时，平行投影只需作与已知光线平行的线过小明头顶，线与地面的交点到小明脚底的线段就是影长；中心投影先找到两条光线的交点（点光源位置），连接点光源和小明头顶延长交地面，交点到小明脚底的线段就是影长。
【解析】
(1) 分别连接两棵树的顶端与对应影子的顶端：
图1中两条连线互相平行，而太阳光是平行光线，属于平行投影，因此图1是太阳光下的情形；
图2中两条连线延长后交于同一点，路灯是点光源，光线从一点发散，属于中心投影，因此图2是路灯下的情形。同时平行投影满足物高与影长成正比的规律，也可辅助验证判断结果。
(2) 作图步骤：
① 图1：过小明头顶作与树的影子光线平行的直线，与水平地面交于一点，该点到小明脚底的线段即为小明的影长；
② 图2：先将两棵树顶端与对应影子顶端的连线延长，交点为路灯光源O，连接O与小明头顶并延长交水平地面于一点，该点到小明脚底的线段即为小明的影长。
【答案】
(1)图1是太阳光下的情形,图2是路灯下的情形。
太阳光是平行光线,物高与影长成正比。
(2)所画线段如图1,2所示。
【知识点】
平行投影、中心投影、投影作图
【点评】
本题结合生活场景考查两类投影的区分与作图，解题核心是抓住平行投影光线平行、中心投影光线交于一点的特征，贴合生活实际，能帮助学生理解投影的应用。
【难度系数】
0.8
解题思路可分两步走：
1. 先回忆两类投影的核心特征：太阳光属于平行投影，光线互相平行；路灯属于中心投影，光线从同一点光源发散。判断时只需分别连接两棵树的顶端和对应影子的顶端，若两条连线平行就是太阳光下的情形，若两条连线相交于一点就是路灯下的情形。
2. 画影长时，平行投影只需作与已知光线平行的线过小明头顶，线与地面的交点到小明脚底的线段就是影长；中心投影先找到两条光线的交点（点光源位置），连接点光源和小明头顶延长交地面，交点到小明脚底的线段就是影长。
【解析】
(1) 分别连接两棵树的顶端与对应影子的顶端：
图1中两条连线互相平行，而太阳光是平行光线，属于平行投影，因此图1是太阳光下的情形；
图2中两条连线延长后交于同一点，路灯是点光源，光线从一点发散，属于中心投影，因此图2是路灯下的情形。同时平行投影满足物高与影长成正比的规律，也可辅助验证判断结果。
(2) 作图步骤：
① 图1：过小明头顶作与树的影子光线平行的直线，与水平地面交于一点，该点到小明脚底的线段即为小明的影长；
② 图2：先将两棵树顶端与对应影子顶端的连线延长，交点为路灯光源O，连接O与小明头顶并延长交水平地面于一点，该点到小明脚底的线段即为小明的影长。
【答案】
(1)图1是太阳光下的情形,图2是路灯下的情形。
太阳光是平行光线,物高与影长成正比。
(2)所画线段如图1,2所示。
【知识点】
平行投影、中心投影、投影作图
【点评】
本题结合生活场景考查两类投影的区分与作图，解题核心是抓住平行投影光线平行、中心投影光线交于一点的特征，贴合生活实际，能帮助学生理解投影的应用。
【难度系数】
0.8
11. 如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且影子恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方。（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米）
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子。
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长。
(3)计算路灯A的高度。
(1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子。
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长。
(3)计算路灯A的高度。
答案
解:(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子,图略。
(2)由题意,得Rt△CEP∽Rt△CBD,
所以$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$,所以$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$,
解得$QD=1.5$。
答:王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米。
(3)由题意,得$\mathrm{Rt}△ DFQ∽\mathrm{Rt}△ DAC$,
所以$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$,所以$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{1.5+6.5+2}$,
解得$AC=12$。
答:路灯A的高度为12米。
(2)由题意,得Rt△CEP∽Rt△CBD,
所以$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$,所以$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+QD}$,
解得$QD=1.5$。
答:王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米。
(3)由题意,得$\mathrm{Rt}△ DFQ∽\mathrm{Rt}△ DAC$,
所以$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$,所以$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{1.5+6.5+2}$,
解得$AC=12$。
答:路灯A的高度为12米。
解析
【分析】
(1) 根据中心投影中光线沿直线传播的原理，路灯B发出的光线经过王琳头顶E后与地面交于路灯A的正下方C点，因此线段CP就是P处的影子。
(2) 求Q处影长QD时，王琳身高、路灯B高度均垂直于地面，可得两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，代入已知量列方程即可求解QD。
(3) 求路灯A高度AC时，同理王琳身高、路灯A高度均垂直于地面，可得对应直角三角形相似，代入已求的QD、总CD长度和身高等数据，列方程即可求解AC。
【解析】
(1) 线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子，标注略。
(2) 由题意得$EP⊥ CD$，$BD⊥ CD$，因此$EP// BD$，可得$\mathrm{Rt}△CEP∽\mathrm{Rt}△CBD$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
设QD长为$x$米，代入已知数据：$EP=1.8$米，$BD=9$米，$CP=2$米，$CD=2+6.5+x$，
即$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+x}$，
解得$x=1.5$，即$QD=1.5$米。
(3) 由题意得$FQ⊥ CD$，$AC⊥ CD$，因此$FQ// AC$，可得$\mathrm{Rt}△DFQ∽\mathrm{Rt}△DAC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，
已知$FQ=1.8$米，$QD=1.5$米，$CD=2+6.5+1.5=10$米，
代入得$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$，
解得$AC=12$米。
【答案】
(1) 线段CP为所求影子；
(2) 王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；
(3) 路灯A的高度为12米。
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的路灯投影场景，考查利用相似三角形解决实际测量问题，解题关键是准确识别相似直角三角形，理清各线段的数量关系，将实际问题转化为相似三角形的比例问题求解。
【难度系数】
0.7
(1) 根据中心投影中光线沿直线传播的原理，路灯B发出的光线经过王琳头顶E后与地面交于路灯A的正下方C点，因此线段CP就是P处的影子。
(2) 求Q处影长QD时，王琳身高、路灯B高度均垂直于地面，可得两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，代入已知量列方程即可求解QD。
(3) 求路灯A高度AC时，同理王琳身高、路灯A高度均垂直于地面，可得对应直角三角形相似，代入已求的QD、总CD长度和身高等数据，列方程即可求解AC。
【解析】
(1) 线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子，标注略。
(2) 由题意得$EP⊥ CD$，$BD⊥ CD$，因此$EP// BD$，可得$\mathrm{Rt}△CEP∽\mathrm{Rt}△CBD$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EP}{BD}=\frac{CP}{CD}$，
设QD长为$x$米，代入已知数据：$EP=1.8$米，$BD=9$米，$CP=2$米，$CD=2+6.5+x$，
即$\frac{1.8}{9}=\frac{2}{2+6.5+x}$，
解得$x=1.5$，即$QD=1.5$米。
(3) 由题意得$FQ⊥ CD$，$AC⊥ CD$，因此$FQ// AC$，可得$\mathrm{Rt}△DFQ∽\mathrm{Rt}△DAC$，
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{FQ}{AC}=\frac{QD}{CD}$，
已知$FQ=1.8$米，$QD=1.5$米，$CD=2+6.5+1.5=10$米，
代入得$\frac{1.8}{AC}=\frac{1.5}{10}$，
解得$AC=12$米。
【答案】
(1) 线段CP为所求影子；
(2) 王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米；
(3) 路灯A的高度为12米。
【知识点】
中心投影；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的路灯投影场景，考查利用相似三角形解决实际测量问题，解题关键是准确识别相似直角三角形，理清各线段的数量关系，将实际问题转化为相似三角形的比例问题求解。
【难度系数】
0.7
