问题导引
一木质圆柱形笔筒的高为12 cm,底面圆的周长为16 cm,现要围绕笔筒的表面由点A至点A₁(点A、A₁在圆柱的同一轴截面上)镶入一条银色金属线作为装饰,那么这条金属线的最短长度是多少?
知识梳理
最短距离的求法:在平面内,两点之间,最短,所以在求立体图形中两点间的最短距离时,首先要把立体图形转化为平面图形,然后利用勾股定理求解.或利用“两点一线”,用对称点法找出对应点,然后再利用勾股定理求解.

线段

例题 初中几何的学习始于空间的实物和具体模型,聚焦平面几何图形的特征和运用,形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略.
问题提出:如图所示是放在桌面上的一个圆柱体,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B,如何求最短路程呢?
问题分析:(1)如图1,蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B,可以有几条路径?
问题探究:(2)①如图2,若圆柱体的底面圆的周长为18 cm,高为12 cm,蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B,求最短路程;
②如图3,若圆柱体的底面圆的周长为24 cm,高为4 cm,蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B,求最短路程;
③如图3,若圆柱体的底面圆的半径为r,高为h,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B,求最短路程.

【解析】(1)有无数条路径.
(2)①如图1,连结AB.

根据题意,得
$AC=\frac{1}{2}×18=9(\mathrm{~cm}),BC=12 \mathrm{~cm},$
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=15 \mathrm{~cm},$
即蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B,最短路程为15 cm.
②如图2,连结AB.

根据题意,得
$AC=\frac{1}{2}×24=12(\mathrm{~cm}),BC=4 \mathrm{~cm},$
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}.$
考虑另外一条路径,$A→D→B$,如图3.

根据题意,得
$BD=\frac{24}{π}\ \mathrm{cm},$
$\therefore$ 蚂蚁走过的路程为$(4+\frac{24}{π})\mathrm{cm}.$
$\because 4\sqrt{10}＞4+\frac{24}{π},$
$\therefore$ 蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B,最短路程为$(4+\frac{24}{π})\mathrm{cm}.$
③蚂蚁沿圆柱体的侧面爬行,路径最短,两点之间线段最短,所以最短路程就是求展开图中的AB的长,如图4,连结AB.

根据题意,得
$AC=\frac{1}{2}×2π r=π r,BC=h,$
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{π^{2}r^{2}+h^{2}},$
即蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B,最短路程为$\sqrt{π^{2}r^{2}+h^{2}}.$

解：
(1) 蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，可以有无数条路径。
(2) ① 将圆柱体侧面沿过点A的母线展开，连接AB。
根据题意，得
$AC=\frac{1}{2} × 18 = 9\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{9^2 + 12^2}=15\ \mathrm{cm}$，
即蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，最短路程为15 cm。
② 将圆柱体侧面沿过点A的母线展开，连接AB。
根据题意，得
$AC=\frac{1}{2} × 24 = 12\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{12^2 + 4^2}=4\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
考虑路径$A \to D \to B$，其中D为上底面与A在同一竖直线上的点：
底面圆直径$BD=\frac{24}{π}\ \mathrm{cm}$，总路程为$(4+\frac{24}{π})\ \mathrm{cm}$。
$\because 4\sqrt{10} ＞ 4+\frac{24}{π}$，
$\therefore$ 蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，最短路程为$(4+\frac{24}{π})\ \mathrm{cm}$。
③ 将圆柱体侧面沿过点A的母线展开，连接AB。
根据题意，得
$AC=\frac{1}{2} × 2π r = π r$，$BC=h$，
由勾股定理得
$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{(π r)^2 + h^2}=\sqrt{π^2 r^2 + h^2}$，
即蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，最短路程为$\sqrt{π^2 r^2 + h^2}$。