24. (本小题 10 分)小明设计了一个净水装置,将杂质含量为$n的水利用m$单位量的净水材料过滤一次后,水中的杂质含量为$\frac{n}{1 + m}$.利用此净水装置,小明进行了进一步的探究：
现有杂质含量为 1 的水.
(1)用 2 单位量的净水材料将水过滤一次后,水中杂质含量为.
(2)小明共准备了$6a$单位量的净水材料,设计了如下三种方案：
方案 A 是将$6a$单位量的净水材料一次性使用,对水进行过滤；方案 B 和方案 C 均为将$6a$单位量的净水材料分成两份,对水先后进行两次过滤.三种方案的具体操作及相关数据如下表所示：
|方案编号|第一次过滤用净水材料的单位量|第一次过滤后水中杂质含量|第二次过滤用净水材料的单位量|第二次过滤后水中杂质含量|
|B|5a|$\frac{1}{1 + 5a}$|a|$\frac{1}{(1 + 5a)(1 + a)}$|
|C|4a||2a||
① 请将表格中方案 C 的数据填写完整；
② 在这三种方案中,哪种方案的最终过滤效果最好？

(3)当净水材料总量为$6a$单位量时,为了使两次过滤后水中的杂质含量最少,小明应将第一次净水材料用量定为单位量.(用含$a$的式子表示)

(1)根据公式，用 2 单位量的净水材料过滤后，水中杂质含量为 $\frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}$。
(2)① 方案 C：
第一次过滤后水中杂质含量：$\frac{1}{1 + 4a}$；
第二次过滤后水中杂质含量：$\frac{\frac{1}{1 + 4a}}{1 + 2a} = \frac{1}{(1 + 4a)(1 + 2a)}$。
② 三种方案最终杂质含量对比：
方案 A：$\frac{1}{1 + 6a}$；
方案 B：$\frac{1}{(1 + 5a)(1 + a)} = \frac{1}{1 + 6a + 5a^2}$；
方案 C：$\frac{1}{(1 + 4a)(1 + 2a)} = \frac{1}{1 + 6a + 8a^2}$。
因为 $8a^2 ＞ 5a^2$，所以方案 C 的分母最大，杂质含量最少，过滤效果最好。
(3)设第一次使用 $x$ 单位量的净水材料，则第二次使用 $6a - x$ 单位量的净水材料。
两次过滤后水中杂质含量为：
$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{1 + (6a - x)} = \frac{1}{1 + 6a + x(6a - x)} = \frac{1}{1 + 6a - x^2 + 6ax}$。
为了使杂质含量最少，需要使 $1 + 6a - x^2 + 6ax$ 最大，即 $x^2 - 6ax + 6a^2 - 1$ 最小。
当 $x = 3a$ 时，$x^2 - 6ax + 6a^2 - 1$ 取得最小值。
所以，第一次净水材料用量应定为 $3a$ 单位量。