7. 如图,△ABC 内接于⊙O,∠B= 60°,点 E 在直径 CD 的延长线上,且 AE= AC.
(1)试判断 AE 与⊙O 的位置关系,并说明理由；
(2)若 AC= 6,求阴影部分的面积.

(1) 相切；(2) 6√3 - 2π。

(1) AE与⊙O相切。
理由：连接OA。
∵∠B=60°，∠B为圆周角，∴弧AC所对圆心角∠AOC=2∠B=120°。
∵OA=OC，∴∠OCA=(180°-∠AOC)/2=(180°-120°)/2=30°。
∵AE=AC，∴∠E=∠OCA=30°。
∵CD为直径，∴C、O、E共线，∠AOE=180°-∠AOC=60°。
在△AOE中，∠OAE=180°-∠AOE-∠E=180°-60°-30°=90°，即OA⊥AE。
∵OA为半径，∴AE是⊙O的切线。
(2) ∵AC=6，AE=AC=6。设⊙O半径为r，OA=OC=r。
在△AOC中，∠AOC=120°，由余弦定理：AC²=OA²+OC²-2·OA·OC·cos∠AOC，
即6²=r²+r²-2r²·cos120°，36=2r²+ r²=3r²，∴r²=12，r=2√3。
△AOE中，OA=2√3，AE=6，∠OAE=90°，S△AOE=1/2·OA·AE=1/2×2√3×6=6√3。
∠AOD=60°，扇形AOD面积=60°/360°·πr²=1/6·π·12=2π。
阴影部分面积=S△AOE - S扇形AOD=6√3 - 2π。

拓展提升
如图,在扇形 BOC 中,∠BOC= 60°,OD 平分∠BOC,交弧 BC 于点 D,E 为半径 OB 上一动点. 若 OB= 2,则阴影部分周长的最小值为.

$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}$

阴影部分周长=CE+ED+弧CD长。
1. 求弧CD长：∠COD=30°（OD平分60°），半径=2，弧长公式$l=\frac{nπr}{180}$，得弧CD=$\frac{30π×2}{180}=\frac{π}{3}$。
2. 求CE+ED最小值：作C关于OB的对称点C'，则CE= C'E，CE+ED=C'E+ED。当C'、E、D共线时，C'E+ED最小为C'D。
OC'=OC=2，∠C'OB=∠COB=60°，∠DOB=30°，故∠C'OD=60°+30°=90°。
△C'OD中，OC'=OD=2，∠C'OD=90°，则C'D=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，即CE+ED最小值=2√2。
3. 阴影部分周长最小值：$2\sqrt{2}+\frac{π}{3}$。