15. 如图所示,抛物线$y = ax^2+bx + c$过点(-1,0),且对称轴为直线$x = 1$.有下列结论：①$abc ＜ 0$；②$10a + 3b + c＞0$；③抛物线经过点(4,$y_1$)与点(-3,$y_2$),则$y_1＞y_2$；④无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点$(-\frac{c}{a},0)$；⑤$am^2 + bm + a\geq0$.其中正确的是______.(填序号)

【解析】：本题考查二次函数的性质。
①：抛物线开口向上，故$a＞0$，对称轴在$y$轴右侧，故$b＜0$，抛物线交$y$轴于负半轴，故$c＜0$，所以$abc＞0$，①错误；
②：抛物线对称轴为$x=1$，交点$(-1,0)$，故另一个交点为$(3,0)$，所以当$x=3$时，$y=9a+3b+c=0$，因为$a＞0$，所以$10a+3b+c＞0$，②正确；
③：抛物线对称轴为$x=1$，$|4-1|=3$，$|-3-1|=4$，所以$y_1＜y_2$，③错误；
④：当$x=-\frac{c}{a}$时，$y=a× (\frac{c}{a})^2+b× (-\frac{c}{a})+c=\frac{c^2}{a}-\frac{bc}{a}+c=\frac{c(c-b+a)}{a}$。
当$x=-1$时，$y=a-b+c=0$，所以无论$a，b，c$取何值，抛物线都经过同一个点$(-\frac{c}{a},0)$，④正确；
⑤：当$x=1$时，$y=a+b+c$的值最小，即$am^2+bm+c\ge a+b+c$，得到$am^2+bm+a\ge 0$，⑤正确。
【答案】：②④⑤

16. 已知直线$y_1 = ax - 6a经过抛物线y_2 = bx^2-6bx$的顶点,且当$x ＜ 0$时,$y_1＞y_2$,则当$y_1 ＜ y_2$时,x的取值范围是.

解：对于抛物线$y_2 = bx^2 - 6bx$，其对称轴为$x = -\frac{-6b}{2b} = 3$。
当$x = 3$时，$y_2 = b×3^2 - 6b×3 = 9b - 18b = -9b$，所以抛物线顶点坐标为$(3, -9b)$。
因为直线$y_1 = ax - 6a$经过该顶点，所以$-9b = a×3 - 6a$，即$-9b = -3a$，化简得$a = 3b$，故$y_1 = 3bx - 6×3b = 3bx - 18b$。
联立$y_1$与$y_2$得：$bx^2 - 6bx = 3bx - 18b$，移项化简为$bx^2 - 9bx + 18b = 0$，因为$b ≠ 0$，两边同除以$b$得$x^2 - 9x + 18 = 0$，因式分解$(x - 3)(x - 6) = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 6$，所以两函数交点为$(3, -9b)$和$(6, 0)$。
当$x ＜ 0$时，$y_1 ＞ y_2$，取$x = 0$，$y_1 = -18b$，$y_2 = 0$，则$-18b ＞ 0$，得$b ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
因为抛物线开口向下，且两交点为$(3, -9b)$和$(6, 0)$，所以当$y_1 ＜ y_2$时，$x$的取值范围是$x ＜ 3$或$x ＞ 6$。
$x ＜ 3$或$x ＞ 6$

17. 如图所示,抛物线$y = x^2 + bx + c$与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线对应的函数表达式,并直接写出顶点P的坐标.
(2)求△BCP的面积.

【解析】：
(1)本题考查了利用待定系数法求抛物线的表达式以及求抛物线顶点坐标的知识。
已知抛物线$y = x^2 + bx + c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(4,0)$，将这两点代入抛物线方程可得方程组$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\16 + 4b + c = 0\end{cases}$，解方程组求出$b$和$c$的值，进而得到抛物线表达式，再将表达式化为顶点式求出顶点$P$的坐标。
(2)本题考查了求三角形面积的知识。
先求出点$C$的坐标，再根据$B$、$C$、$P$三点的坐标，通过割补法等方法求出$\triangle BCP$的面积。
【答案】：
(1)解：因为抛物线$y = x^2 + bx + c$与$x$轴交于点$A(-1,0)$，$B(4,0)$，
将$A(-1,0)$，$B(4,0)$代入$y = x^2 + bx + c$可得：
$\begin{cases}1 - b + c = 0 \\16 + 4b + c = 0\end{cases}$
用第二个方程$16 + 4b + c = 0$减去第一个方程$1 - b + c = 0$消去$c$可得：
$(16 + 4b + c)-(1 - b + c)=0$
$16 + 4b + c - 1 + b - c = 0$
$15 + 5b = 0$
$5b = -15$
$b = -3$
将$b = -3$代入$1 - b + c = 0$可得：
$1 - (-3) + c = 0$
$1 + 3 + c = 0$
$4 + c = 0$
$c = -4$
所以抛物线对应的函数表达式为$y = x^2 - 3x - 4$。
将$y = x^2 - 3x - 4$化为顶点式：
$y = x^2 - 3x - 4 = x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4} - 4 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$
所以顶点$P$的坐标为$(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$。
(2)在$y = x^2 - 3x - 4$中，令$x = 0$，可得$y = -4$，所以点$C$的坐标为$(0, -4)$。
过点$P$作$PD\perp x$轴于点$D$，则$D(\frac{3}{2}, 0)$。
$S_{\triangle BCP} = S_{梯形OCPD} + S_{\triangle PBD} - S_{\triangle OBC}$
$S_{梯形OCPD} = \frac{1}{2}(OC + PD)× OD = \frac{1}{2}(4 + \frac{25}{4})×\frac{3}{2} = \frac{1}{2}×\frac{41}{4}×\frac{3}{2} = \frac{123}{16}$
$S_{\triangle PBD} = \frac{1}{2}PD× BD = \frac{1}{2}×\frac{25}{4}×(4 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5}{2} = \frac{125}{16}$
$S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2}OC× OB = \frac{1}{2}× 4× 4 = 8 = \frac{128}{16}$
所以$S_{\triangle BCP} = \frac{123}{16} + \frac{125}{16} - \frac{128}{16} = \frac{120}{16} = \frac{15}{2}$。
综上，答案为：(1)$y = x^2 - 3x - 4$，$P(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$；(2)$\frac{15}{2}$。

18. 如图所示,抛物线$y = x^2-2x - 3$与x轴交于A,B两点.

(1)求该抛物线与x轴的交点坐标.
(2)根据图象直接写出$y＞0$的解集.
(3)当$0 ＜ x ＜ 3$时,求y的取值范围.

【解析】：
(1)要求抛物线与x轴的交点，即令$y = 0$，得到方程$x^2 - 2x - 3 = 0$。解此方程，得到x的值，从而得到交点坐标。
(2)根据抛物线的图像，可以看出当抛物线在x轴上方时，对应的x的取值范围即为$y \gt 0$的解集。
(3)在$0 \lt x \lt 3$的范围内，由于抛物线开口向上，且对称轴为$x=1$，所以y的最小值出现在$x=1$处，最大值则出现在区间的端点处，即$x=0$或$x=3$处。将这三个点分别代入原函数，即可得到y的取值范围。
【答案】：
(1)令$y = 0$，得到方程$x^2 - 2x - 3 = 0$。
解此方程，得到：
$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
所以，抛物线与x轴的交点坐标为$A(-1, 0)$和$B(3, 0)$。
(2)根据抛物线的图像，当$x \lt -1$或$x \gt 3$时，抛物线在x轴上方，即$y \gt 0$。
所以，$y \gt 0$的解集为$x \lt -1$或$x \gt 3$。
(3)由于抛物线开口向上，且对称轴为$x=1$，在$0 \lt x \lt 3$的范围内，
当$x=1$时，y有最小值，计算得$y_{min} = 1^2 - 2 × 1 - 3 = -4$；
当$x=3$时，y的值为0；
当$x=0$时，y的值为-3。
所以，在$0 \lt x \lt 3$的范围内，y的取值范围为$-4 \leq y \lt 0$。