6. 如图 1,已知等边 $\triangle ABC$,以 $B$ 为直角顶点向右作等腰直角 $\triangle BCD$,连接 $AD$。

(1) 若 $AC = 6\sqrt{2}$,求点 $D$ 到 $AB$ 边的距离；
(2) 如图 2,过点 $B$ 作 $AD$ 的垂线,分别交 $AD$,$CD$ 于点 $E$,$F$,求证：$EF = CF + BE$。

(1) $3\sqrt{2}$；(2) 证明见解析。

(1) 过点 $ D $ 作 $ DH \perp AB $ 交 $ AB $ 延长线于点 $ H $，设 $ AB = BC = x $。
因为 $ \triangle ABC $ 是等边三角形，所以 $ AC = AB = x = 6\sqrt{2} $。
$ \triangle BCD $ 是等腰直角三角形，$ BC = BD = 6\sqrt{2} $，$ \angle CBD = 90° $。
$ \angle ABC = 60° $，则 $ \angle DBH = 180° - 60° - 90° = 30° $。
在 $ Rt\triangle DBH $ 中，$ DH = BD \cdot \sin 30° = 6\sqrt{2} × \frac{1}{2} = 3\sqrt{2} $。
(2) 证明：在 $ FE $ 上截取 $ FG = CF $，连接 $ CG $。
$ \triangle ABC $ 是等边三角形，$ \triangle BCD $ 是等腰直角三角形，设 $ BC = BD = a $，$ AB = a $，$ \angle ABC = 60° $，$ \angle CBD = 90° $，则 $ \angle ABD = 150° $，$ \angle BAD = \angle ADB = 15° $。
$ BF \perp AD $，$ \angle AEB = 90° $，$ \angle ABE = 75° $，$ \angle CBF = \angle ABC - \angle ABE = 15° $。
$ \angle CDF = 45° $，$ \angle ADF = 30° $，$ \angle DFE = 60° $，故 $ \triangle CFG $ 是等边三角形，$ CG = CF $，$ \angle GCF = 60° $。
$ \angle BCG = \angle BCD - \angle GCF = 30° $，$ \angle BCG = \angle CBF = 15° $。
在 $ \triangle BCG $ 和 $ \triangle FBC $ 中，$ \begin{cases} CG = CF \\ \angle BCG = \angle CBF \\ BC = BC \end{cases} $，$ \triangle BCG \cong \triangle FBC (ASA) $，则 $ BG = BF $。
因为 $ BG = BE + EG $，$ BF = EF + BE $，且 $ EG = CF $，所以 $ EF = CF + BE $。
答案：
(1) $ 3\sqrt{2} $；
(2) 证明见上述过程。

在解决最短路径问题时,通常利用、等变换,把问题转化为容易解决的情形,从而做出最短路径的选择。
思考
最短路径问题,在利用轴对称、平移等将问题转化后,主要是应用哪两个知识点解决问题？

作图
如图,在直线$l上找一点P$,使$PA + PB$最短。

轴对称、平移；两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边；作图见解析

在解决最短路径问题时，通常利用轴对称、平移等变换。转化后主要应用“两点之间，线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”。作图步骤：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，点P即为所求。

例1
如图,要在燃气管道$l$上修建一个泵站,分别向$A$,$B$两地供气。泵站修在管道的什么位置,可使新建的输气管道最短？请画出新建管道的最短路径。

1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P；
3. 点P即为所求泵站位置，路径PA+PB为最短输气管道。

1. 作点A关于直线l的对称点A'；
2. 连接A'B，交直线l于点P；
3. 点P即为所求泵站位置，路径PA+PB为最短输气管道。

如图,等腰三角形$ABC的面积是3$,底边$BC长为2$,腰$AC的垂直平分线EF分别交AC$,$AB于点E$,$F$,若点$D为底边BC$的中点,点$M为线段EF$上一动点,则$\triangle CDM$的周长的最小值为。

4

连接$AM$，由于$EF$是线段$AC$的垂直平分线，
所以$AM=CM$，
对于$\triangle CDM$的周长：
$C_{\triangle CDM} = CM + DM + CD$，
由于$AM=CM$，
所以$C_{\triangle CDM} = AM + DM + CD$，
只有$AM+DM$最小，那么$\triangle CDM$的周长就最小，
即等于$AD+CD$（当$A,M,D$共线时），
由于$D$是$BC$的中点，
所以$CD = \frac{1}{2}BC = 1$，
$AD$为等腰三角形$ABC$底边上的高，
$S_{ABC}=\frac{1}{2} × BC × AD = 3$，
$AD = \frac{2 × 3}{BC} = \frac{6}{2} = 3$，
所以$\triangle CDM$周长最小为$AD + CD = 3 + 1 = 4$。

例2
如图,草地边沿$OM与小河河岸ON在点O处形成30^{\circ}$的夹角。牧马人从$A$地出发,先让马到草地边沿吃草,然后再去河边饮水,最后回到$A$地。已知$OA = 5km$,请在图中设计一条路线,使牧马人所走的路径最短,并求出整个过程他所行的路程。

5km

解题步骤：
1. 作对称点：分别作点A关于OM的对称点A'，关于ON的对称点A''。
2. 确定路径：连接A'A''，交OM于点P，交ON于点Q。则牧马人路径A→P→Q→A为最短路径。
3. 计算路程：
由对称性质得OA'=OA=5km，OA''=OA=5km，且∠A'OM=∠AOM，∠A''ON=∠AON。
∵∠MON=30°，∴∠A'OA''=2∠AOM+2∠AON=2∠MON=60°。
∴△A'OA''为等边三角形（OA'=OA''=5km，∠A'OA''=60°），故A'A''=OA'=5km。
结论：
最短路径路程为5km。