1. 如图,以点 O 为圆心作圆,所得的圆与直线 a 相切的是()

A.以 OA 为半径的圆
B.以 OB 为半径的圆
C.以 OC 为半径的圆
D.以 OD 为半径的圆

D

如果圆与直线相切，那么圆心到直线的距离等于圆的半径。
从图中可以看出，OD垂直于直线a，因此OD的长度代表点O到直线a的最短距离。
其他线段OA、OB、OC都不垂直于直线a，因此它们到直线a的距离都大于OD。
所以，只有以OD为半径的圆能与直线a相切。

2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,以 BC 为直径作圆,交斜边 AB 于点 E,D 为 AC 的中点,连接 DO,DE.则下列结论中不一定正确的是()

A.DO//AB
B.△ADE 是等腰三角形
C.DE⊥AC
D.DE 是⊙O 的切线

C

连接OE，CE。
∵BC为直径，
∴∠BEC=90°，∠AEC=90°。
∵D为AC中点，
∴DE=AD=CD，△ADE是等腰三角形，B正确。
∵O为BC中点，D为AC中点，
∴DO为△ABC中位线，DO//AB，A正确。
∵DO//AB，∠ACB=90°，
∴∠ODC=90°。
∵DE=DC，OE=OC，OD=OD，
∴△ODE≌△ODC(SSS)，∠OED=∠OCD=90°，DE是⊙O切线，D正确。
当∠A≠45°时，DE与AC不垂直，C不一定正确。
C

3. 如图,A,B 是⊙O 上的两点,AC 是过点 A 的一条直线,如果∠AOB= 120°,那么当∠CAB= 时,AC 与⊙O 相切.

60°

连接OA，因为AC与⊙O相切，所以OA⊥AC，即∠OAC=90°。
在⊙O中，OA=OB，∠AOB=120°，所以∠OAB=∠OBA=(180°-120°)/2=30°。
则∠CAB=∠OAC-∠OAB=90°-30°=60°。
60°

4. 如图,在△ABC 中,AB= AC,∠B= 30°,以点 A 为圆心,以 3 cm 为半径作⊙A,当 AB= cm时,BC 与⊙A 相切.

6 cm

过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$。
因为$AB = AC$，$\angle B = 30^\circ$，所以$AD = \frac{1}{2}AB$。
由于$BC$与$\odot A$相切，所以$AD = 3\ cm$。
因此$\frac{1}{2}AB = 3\ cm$，解得$AB = 6\ cm$。
6

5. 如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABC= 45°,AB= AC. 判断直线 AC 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

直线AC与⊙O相切。理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴OA是⊙O的半径。
∵AB=AC，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°。
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=90°。
∴OA⊥AC。
∵OA是⊙O的半径，
∴直线AC与⊙O相切。

6. 如图,已知 AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,点 D 在 AB 的延长线上,且∠BCD= ∠A.
(1)求证:CD 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为 4,CD= 3,求 BD 的长.

(1) 证明：
连接$OC$。
因为$OA = OC$，所以$\angle A = \angle OCA$。
已知$\angle BCD = \angle A$，所以$\angle BCD = \angle OCA$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle OCA + \angle OCB = 90^{\circ}$。
那么$\angle BCD + \angle OCB = 90^{\circ}$，即$\angle OCD = 90^{\circ}$，所以$OC\perp CD$。
又因为$OC$是$\odot O$的半径，所以$CD$是$\odot O$的切线。
(2)
在$Rt\triangle OCD$中，$OC = 4$，$CD = 3$，$\angle OCD = 90^{\circ}$。
根据勾股定理$OD=\sqrt{OC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$。
因为$OD = OB + BD$，$OB = 4$，所以$BD = OD - OB = 5 - 4 = 1$。
综上，(1)得证$CD$是$\odot O$的切线；(2)中$BD$的长为$1$。