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1. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论中一定正确的是(
A.AB= AD
B.BC= CD
C.$\widehat{AB}= \widehat{AD}$
D.∠BCA= ∠DCA
B
)A.AB= AD
B.BC= CD
C.$\widehat{AB}= \widehat{AD}$
D.∠BCA= ∠DCA
答案
B
解析
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴BC=CD（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等）。
B
2. 把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则∠AOB的大小是(
A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
A
)A.120°
B.135°
C.150°
D.165°
答案
A
解析
第一次折叠，折痕为直径，将圆分为两个半圆，圆心角为$180^\circ$。
第二次折叠，将半圆再次折叠，折痕将$180^\circ$圆心角分为两个$90^\circ$角。
展开后，$\angle AOB$由一个$90^\circ$角和一个$30^\circ$角组成（折叠后形成的小扇形圆心角为$30^\circ$），故$\angle AOB = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$。
A
第二次折叠，将半圆再次折叠，折痕将$180^\circ$圆心角分为两个$90^\circ$角。
展开后，$\angle AOB$由一个$90^\circ$角和一个$30^\circ$角组成（折叠后形成的小扇形圆心角为$30^\circ$），故$\angle AOB = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$。
A
3. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠A= 25°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则$\widehat{BD}$所对圆心角的大小为
50°
.答案
50°
解析
在△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-∠A=65°.
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=65°.
在△CBD中，∠BCD=180°-∠CDB-∠B=180°-65°-65°=50°.
即$\widehat{BD}$所对圆心角的大小为50°.
50°
∴∠B=90°-∠A=65°.
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=65°.
在△CBD中，∠BCD=180°-∠CDB-∠B=180°-65°-65°=50°.
即$\widehat{BD}$所对圆心角的大小为50°.
50°
4. 如图,BC为半圆O的直径,A,D为半圆上的两点,若A为半圆弧$\widehat{BAC}$的中点,则∠ADC=
45°
.答案
45°
解析
连接AB，AC。
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=90°。
∵A为半圆弧$\widehat{BAC}$的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°。
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°。
45°
∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=90°。
∵A为半圆弧$\widehat{BAC}$的中点，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°。
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=45°。
45°
5. 如图,AB是⊙O的直径,M,N分别是AO,BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB,则$\widehat{CD}$所对圆心角的大小为
60°
.答案
60°
解析
连接OC,OD。
设⊙O的半径为$ r $，则$ AO=BO=OC=OD=r $。
因为M,N分别是AO,BO的中点，所以$ OM=\frac{1}{2}AO=\frac{r}{2} $，$ ON=\frac{1}{2}BO=\frac{r}{2} $。
因为CM⊥AB，DN⊥AB，所以∠OMC=∠OND=90°。
在Rt△OMC中，$ \cos∠COM=\frac{OM}{OC}=\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2} $，所以∠COM=60°。
同理，在Rt△OND中，∠DON=60°。
因为AB是直径，所以∠AOB=180°，则∠COD=∠AOB - ∠COM - ∠DON=180° - 60° - 60°=60°。
60°
设⊙O的半径为$ r $，则$ AO=BO=OC=OD=r $。
因为M,N分别是AO,BO的中点，所以$ OM=\frac{1}{2}AO=\frac{r}{2} $，$ ON=\frac{1}{2}BO=\frac{r}{2} $。
因为CM⊥AB，DN⊥AB，所以∠OMC=∠OND=90°。
在Rt△OMC中，$ \cos∠COM=\frac{OM}{OC}=\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2} $，所以∠COM=60°。
同理，在Rt△OND中，∠DON=60°。
因为AB是直径，所以∠AOB=180°，则∠COD=∠AOB - ∠COM - ∠DON=180° - 60° - 60°=60°。
60°
6. 在⊙O中,弦AB的长恰好等于半径,弦AB所对的圆心角为
60°
.答案
60°
解析
连接OA、OB，OA=OB=半径，AB=半径，故OA=OB=AB，△OAB为等边三角形，∠AOB=60°，即弦AB所对的圆心角为60°。
7. 如图,AB为⊙O的直径,$\widehat{BC}= \widehat{BD}$,∠A= 35°,则∠AOD= ______.
110°
答案
110°
解析
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵OA=OC，∠A=35°，
∴∠OCA=∠A=35°，
∴∠AOC=180°-∠A-∠OCA=180°-35°-35°=110°，
∴∠COB=∠AOB-∠AOC=180°-110°=70°。
∵$\widehat{BC}=\widehat{BD}$，
∴∠COB=∠DOB=70°，
∴∠AOD=∠AOB-∠DOB=180°-70°=110°。
110°
8. 如图,在⊙O中,$\widehat{AB}= \widehat{AC}$,∠B= 65°,则∠C=
65°
,∠A= 50°
.答案
65°，50°
解析
在⊙O中，
∵$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵∠B=65°，
∴∠C=65°。
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°。
65°，50°
∵$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵∠B=65°，
∴∠C=65°。
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-65°-65°=50°。
65°，50°
