登录
1. 若一个圆内接正多边形的中心角是 $60^\circ$,则这个多边形是 (
A.正九边形
B.正八边形
C.正七边形
D.正六边形
D
)A.正九边形
B.正八边形
C.正七边形
D.正六边形
答案
D
解析
因为圆内接正多边形的中心角之和为$360^\circ$，设该正多边形的边数为$n$，则中心角为$\frac{360^\circ}{n}$。已知中心角是$60^\circ$，所以$\frac{360^\circ}{n}=60^\circ$，解得$n = 6$。
D
D
2. 正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为 (
A.2
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
D
)A.2
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
D
解析
设正三角形的边长为$a$。
正三角形的内切圆半径$r$与边长$a$的关系为$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
已知$r = 1$，则$1 = \frac{\sqrt{3}}{6}a$，解得$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。
D
正三角形的内切圆半径$r$与边长$a$的关系为$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
已知$r = 1$，则$1 = \frac{\sqrt{3}}{6}a$，解得$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。
D
3. 如图,A,B,C,D 为一个正多边形的顶点,O 为正多边形的中心.若$\angle ADB= 18^\circ$,则这个正多边形的边数为 (
A.7
B.8
C.9
D.10
D
)A.7
B.8
C.9
D.10
答案
D
解析
连接OA、OB、OD。
∵A、B、C、D为正多边形顶点，O为中心，
∴A、B、D在以O为圆心的圆上，OA=OB=OD。
∠ADB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角。
∴∠AOB=2∠ADB=2×18°=36°。
正多边形中心角为$\frac{360^\circ}{n}$，则$\frac{360^\circ}{n}=36^\circ$，解得n=10。
D
∵A、B、C、D为正多边形顶点，O为中心，
∴A、B、D在以O为圆心的圆上，OA=OB=OD。
∠ADB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆周角，∠AOB是$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角。
∴∠AOB=2∠ADB=2×18°=36°。
正多边形中心角为$\frac{360^\circ}{n}$，则$\frac{360^\circ}{n}=36^\circ$，解得n=10。
D
4. 如图,正六边形 ABCDEF 内接于$\odot O$,$\odot O$的半径为6,则这个正六边形的边心距 OM 的长为
3√3
.答案
3√3
解析
连接OA、OB，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，则$\triangle OAB$为等边三角形，$\angle AOB=60^\circ$，OA=OB=6。
OM为边心距，即OM垂直平分AB，$\angle AOM=30^\circ$。
在$Rt\triangle AOM$中，$\cos\angle AOM=\frac{OM}{OA}$，则$OM=OA\cdot\cos30^\circ=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$
OM为边心距，即OM垂直平分AB，$\angle AOM=30^\circ$。
在$Rt\triangle AOM$中，$\cos\angle AOM=\frac{OM}{OA}$，则$OM=OA\cdot\cos30^\circ=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。
$3\sqrt{3}$
5. 如图,有公共顶点 O 的两个边长为4的正五边形(不重叠),以点 O 为圆心,4 为半径作弧,构成一个"蘑菇"形图案(阴影部分),则这个"蘑菇"形图案的面积为______
32π/5
.答案
32π/5
解析
正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180^\circ}{5} = 108^\circ$，
每个正五边形中心角为$\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$，
阴影部分由两个圆心角为$360^\circ - 108^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$的扇形组成，
每个扇形面积为$\frac{72^\circ}{360^\circ}×\pi×4^2=\frac{1}{5}×16\pi=\frac{16\pi}{5}$，
两个扇形面积和为$2×\frac{16\pi}{5}=\frac{32\pi}{5}$。
$\frac{32\pi}{5}$
每个正五边形中心角为$\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$，
阴影部分由两个圆心角为$360^\circ - 108^\circ - 72^\circ = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$的扇形组成，
每个扇形面积为$\frac{72^\circ}{360^\circ}×\pi×4^2=\frac{1}{5}×16\pi=\frac{16\pi}{5}$，
两个扇形面积和为$2×\frac{16\pi}{5}=\frac{32\pi}{5}$。
$\frac{32\pi}{5}$
6. 如图,已知正三角形 ABC 内接于$\odot O$,AD 是$\odot O$的内接正十二边形的一条边长,连接CD.若$CD= 6\sqrt{2}$,求$\odot O$的半径.
答案
连接OA、OB、OC、OD，设⊙O的半径为R，则OA=OB=OC=OD=R。
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠AOC=360°/3=120°。
∵AD是⊙O内接正十二边形的边长，∴∠AOD=360°/12=30°。
由圆的对称性，点D在劣弧AC上时，∠COD=∠AOC - ∠AOD=120° - 30°=90°。
在△COD中，OC=OD=R，∠COD=90°，CD=6√2，由余弦定理得：
CD²=OC²+OD²-2·OC·OD·cos∠COD
(6√2)²=R²+R²-2·R·R·cos90°
72=2R²
R²=36
R=6（负值舍去）。
答：⊙O的半径为6。
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠AOC=360°/3=120°。
∵AD是⊙O内接正十二边形的边长，∴∠AOD=360°/12=30°。
由圆的对称性，点D在劣弧AC上时，∠COD=∠AOC - ∠AOD=120° - 30°=90°。
在△COD中，OC=OD=R，∠COD=90°，CD=6√2，由余弦定理得：
CD²=OC²+OD²-2·OC·OD·cos∠COD
(6√2)²=R²+R²-2·R·R·cos90°
72=2R²
R²=36
R=6（负值舍去）。
答：⊙O的半径为6。
