1. 在公园的 $ O $ 处附近有 $ E,F,G,H $ 四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)。现计划修建一座以 $ O $ 为圆心,$ OA $ 为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则 $ E,F,G,H $ 四棵树中需要被移除的是( )


A.$ E,F,G $
B.$ F,G,H $
C.$ G,H,E $
D.$ H,E,F $

A

设小正方形边长为1，以O为原点建立直角坐标系。
OA的长度：A(1,2)，$OA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
各点到O的距离：
E(-1,1)：$OE=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}＜\sqrt{5}$
F(-2,0)：$OF=\sqrt{(-2)^2+0^2}=2＜\sqrt{5}$
G(0,-1)：$OG=\sqrt{0^2+(-1)^2}=1＜\sqrt{5}$
H(2,-1)：$OH=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$
需移除E,F,G。
A

2. $ \odot O $ 的半径为 $ 10 $,圆心到直线 $ l $ 的距离 $ OM $ 为 $ 6 $。在直线 $ l $ 上有一点 $ N $,且 $ MN = 8 $,则点 $ N $( )

A.在$ \odot O $内
B.在$ \odot O $上
C.在$ \odot O $外
D.无法确定

B

连接ON，在Rt△OMN中，OM=6，MN=8，由勾股定理得ON=$\sqrt{OM^2 + MN^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=10$。
∵$\odot O$的半径为10，
∴ON=半径，
∴点N在$\odot O$上。
B

3. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 3 cm $,$ BC = 4 cm $,则它的外心与顶点 $ C $ 的距离为( )

A.$ 2 cm $
B.$ 2.5 cm $
C.$ 3 cm $
D.$ 4 cm $

B

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90°$，$AC=3\ cm$，$BC=4\ cm$。
根据勾股定理，$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5\ cm$。
直角三角形的外心为斜边中点，外心与顶点$C$的距离为斜边中线长。
因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以外心与顶点$C$的距离为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5=2.5\ cm$。
答案：B

4. 过三点 $ A(-1,2) $,$ B(2,5) $,$ C(7,2) $ 的圆的圆心坐标为( )

A.$ (3,1) $
B.$ (3,2) $
C.$ (1,3) $
D.$ (2,3) $

A

设圆心坐标为$(a,b)$，半径为$r$。
因为点$A(-1,2)$，$B(2,5)$，$C(7,2)$在圆上，所以有：
$\begin{cases}(-1 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2 \\(2 - a)^2 + (5 - b)^2 = r^2 \\(7 - a)^2 + (2 - b)^2 = r^2\end{cases}$
由$(-1 - a)^2 + (2 - b)^2 = (7 - a)^2 + (2 - b)^2$，得：
$(-1 - a)^2 = (7 - a)^2$
$1 + 2a + a^2 = 49 - 14a + a^2$
$16a = 48 \implies a = 3$
由$(-1 - 3)^2 + (2 - b)^2 = (2 - 3)^2 + (5 - b)^2$，得：
$16 + (2 - b)^2 = 1 + (5 - b)^2$
$16 + 4 - 4b + b^2 = 1 + 25 - 10b + b^2$
$6b = 6 \implies b = 1$
圆心坐标为$(3,1)$。
A

5. 有一个矩形 $ ABCD $,其长为 $ 4 cm $,宽为 $ 3 cm $,以点 $ D $ 为圆心作圆,使 $ A、B、C $ 三点其中有两点在圆内,一点在圆外,则 $ \odot D $ 的半径 $ r $ 的取值范围为( )

A.$ 3 ＜ r ＜ 4 $
B.$ 3 ＜ r ＜ 5 $
C.$ 4 ＜ r ＜ 5 $
D.$ 4 \leq r \leq 5 $

C

连接DA、DC、DB。
矩形ABCD中，AD=3cm，CD=4cm，∠D=90°，
由勾股定理得DB=$\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$cm。
点A到D距离为3cm，点C到D距离为4cm，点B到D距离为5cm。
要使两点在圆内，一点在圆外，半径r需满足4＜r＜5。
C

6. 如图,有两条公路 $ OM $ 和 $ ON $ 相交成 $ 30^{\circ} $ 角,沿公路 $ OM $ 方向离两条公路的交叉处 $ O $ 点 $ 80 m $ 的 $ A $ 处有一所希望小学,当拖拉机沿 $ ON $ 方向行驶时,路两旁 $ 50 m $ 内会受到噪声影响。已知有两台相距 $ 30 m $ 的拖拉机正沿 $ ON $ 方向行驶,它们的速度均为 $ 5 m/s $,问：这两台拖拉机沿 $ ON $ 方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？

18 s

解：过点$A$作$AB \perp ON$于点$B$。
在$Rt\triangle AOB$中，$\angle AOB = 30°$，$OA = 80m$，则$AB = OA \cdot \sin 30° = 80 × \frac{1}{2} = 40m$。
因为$40m ＜ 50m$，所以学校会受到噪声影响。
以$A$为圆心，$50m$为半径作圆，交$ON$于$C$、$D$两点（$C$在左侧，$D$在右侧）。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 50m$，$AB = 40m$，则$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{50^2 - 40^2} = 30m$，故$CD = 2BC = 60m$。
一台拖拉机影响路段长为$60m$，两台拖拉机相距$30m$，总影响路段长为$60 + 30 = 90m$。
速度$v = 5m/s$，则影响时间$t = \frac{90}{5} = 18s$。
答：这两台拖拉机给小学带来噪声影响的时间是$18s$。

7. 如图,以点 $ M(2,2) $ 为圆心,$ OM $ 为半径画圆,判断点 $ A(2,0) $、点 $ B(-1,0) $、点 $ C(4,0) $ 与 $ \odot M $ 的位置关系。

点A在圆内,点B在圆外,点C在圆上

解：
∵点$ M(2,2) $，$ O(0,0) $，
∴半径$ OM=\sqrt{(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $。
点$ A(2,0) $：$ MA=\sqrt{(2-2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{4}=2 $，
∵$ 2＜2\sqrt{2} $，
∴点$ A $在圆内。
点$ B(-1,0) $：$ MB=\sqrt{(2+1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{13} $，
∵$ \sqrt{13}＞2\sqrt{2} $（$ \sqrt{13}\approx3.606 $，$ 2\sqrt{2}\approx2.828 $），
∴点$ B $在圆外。
点$ C(4,0) $：$ MC=\sqrt{(2-4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $，
∵$ MC=OM $，
∴点$ C $在圆上。
结论：点$ A $在圆内，点$ B $在圆外，点$ C $在圆上。