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1. 二次函数 $ y = -x^{2} + 9 $ 图象的顶点坐标是( )
A.$ (0, -9) $
B.$ (0, 9) $
C.$ (9, 0) $
D.$ (-9, 0) $
A.$ (0, -9) $
B.$ (0, 9) $
C.$ (9, 0) $
D.$ (-9, 0) $
答案
B
解析
二次函数$y = -x^{2} + 9$的顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），此函数可看作$y = - (x - 0)^2 + 9$，所以顶点坐标是$(0,9)$。
B
B
2. 将抛物线 $ y = 2x^{2} $ 向下平移 $ 1 $ 个单位长度,得到的抛物线是( )
A.$ y = 2(x + 1)^{2} $
B.$ y = 2(x - 1)^{2} $
C.$ y = 2x^{2} + 1 $
D.$ y = 2x^{2} - 1 $
A.$ y = 2(x + 1)^{2} $
B.$ y = 2(x - 1)^{2} $
C.$ y = 2x^{2} + 1 $
D.$ y = 2x^{2} - 1 $
答案
D
解析
抛物线平移规律：上加下减常数项。将抛物线$y = 2x^{2}$向下平移1个单位长度，常数项减1，得到的抛物线是$y = 2x^{2}-1$。
D
D
3. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 如图所示,则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + c - 8 = 0 $ 的根的情况是( )
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
答案
C
解析
解：由图可知抛物线顶点坐标为$(h,8)$，即抛物线最大值为$8$。
方程$ax^{2}+bx+c - 8=0$可化为$ax^{2}+bx+c=8$。
因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的最大值为$8$，所以直线$y=8$与抛物线只有一个交点。
因此，方程$ax^{2}+bx+c - 8=0$有两个相等的实数根。
C
方程$ax^{2}+bx+c - 8=0$可化为$ax^{2}+bx+c=8$。
因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的最大值为$8$，所以直线$y=8$与抛物线只有一个交点。
因此，方程$ax^{2}+bx+c - 8=0$有两个相等的实数根。
C
4. 已知函数 $ y = a(x + 1) $ 和 $ y = a(x^{2} + 1) $,那么它们在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
解：
1. 分析一次函数 $ y = a(x + 1) = ax + a $：
当 $ a ＞ 0 $ 时，斜率 $ a ＞ 0 $，截距 $ a ＞ 0 $，图象过第一、二、三象限；
当 $ a ＜ 0 $ 时，斜率 $ a ＜ 0 $，截距 $ a ＜ 0 $，图象过第二、三、四象限。
2. 分析二次函数 $ y = a(x^2 + 1) = ax^2 + a $：
当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线开口向上，顶点为 $ (0, a) $（在 $ y $ 轴正半轴）；
当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线开口向下，顶点为 $ (0, a) $（在 $ y $ 轴负半轴）。
3. 结合选项：
选项 C 中，一次函数过第一、二、三象限（$ a ＞ 0 $），二次函数开口向上且顶点在 $ y $ 轴正半轴，符合 $ a ＞ 0 $ 时的特征。
结论：C
1. 分析一次函数 $ y = a(x + 1) = ax + a $：
当 $ a ＞ 0 $ 时，斜率 $ a ＞ 0 $，截距 $ a ＞ 0 $，图象过第一、二、三象限；
当 $ a ＜ 0 $ 时，斜率 $ a ＜ 0 $，截距 $ a ＜ 0 $，图象过第二、三、四象限。
2. 分析二次函数 $ y = a(x^2 + 1) = ax^2 + a $：
当 $ a ＞ 0 $ 时，抛物线开口向上，顶点为 $ (0, a) $（在 $ y $ 轴正半轴）；
当 $ a ＜ 0 $ 时，抛物线开口向下，顶点为 $ (0, a) $（在 $ y $ 轴负半轴）。
3. 结合选项：
选项 C 中，一次函数过第一、二、三象限（$ a ＞ 0 $），二次函数开口向上且顶点在 $ y $ 轴正半轴，符合 $ a ＞ 0 $ 时的特征。
结论：C
5. 若抛物线 $ y = (x - m)^{2} + (m + 1) $ 的顶点在第一象限,则 $ m $ 的取值范围为( )
A.$ m ＞ 1 $
B.$ m ＞ 0 $
C.$ m ＞ -1 $
D.$ -1 ＜ m ＜ 0 $
A.$ m ＞ 1 $
B.$ m ＞ 0 $
C.$ m ＞ -1 $
D.$ -1 ＜ m ＜ 0 $
答案
B
解析
抛物线$y=(x - m)^{2}+(m + 1)$的顶点坐标为$(m, m + 1)$。
因为顶点在第一象限，所以顶点的横坐标大于$0$，纵坐标大于$0$，即：
$\begin{cases}m＞0 \\m + 1＞0\end{cases}$
解不等式$m + 1＞0$，得$m＞-1$。
综合两个不等式，$m$的取值范围为$m＞0$。
B
因为顶点在第一象限，所以顶点的横坐标大于$0$，纵坐标大于$0$，即：
$\begin{cases}m＞0 \\m + 1＞0\end{cases}$
解不等式$m + 1＞0$，得$m＞-1$。
综合两个不等式，$m$的取值范围为$m＞0$。
B
6. 定义运算：$ a \otimes b = (a + 2b)(a - b) $,例如 $ 4 \otimes 3 = (4 + 2 × 3)(4 - 3) $,则函数 $ y = (x + 1) \otimes 2 $ 的最小值为( )
A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
答案
B
解析
由定义运算$a \otimes b=(a + 2b)(a - b)$，得$y=(x + 1)\otimes 2$中$a=x + 1$，$b=2$。
$\begin{aligned}y&=(x + 1 + 2×2)(x + 1 - 2)\\&=(x + 5)(x - 1)\\&=x^{2}-x + 5x - 5\\&=x^{2}+4x - 5\\&=x^{2}+4x + 4 - 4 - 5\\&=(x + 2)^{2}-9\end{aligned}$
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以当$x=-2$时，$y$有最小值$-9$。
B
$\begin{aligned}y&=(x + 1 + 2×2)(x + 1 - 2)\\&=(x + 5)(x - 1)\\&=x^{2}-x + 5x - 5\\&=x^{2}+4x - 5\\&=x^{2}+4x + 4 - 4 - 5\\&=(x + 2)^{2}-9\end{aligned}$
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以当$x=-2$时，$y$有最小值$-9$。
B
7. 抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 3 $ 与 $ x $ 轴的交点坐标是______。
答案
$(-3,0),(1,0)$
解析
令$y = 0$，则$x^{2} + 2x - 3 = 0$，因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$，所以抛物线与$x$轴的交点坐标是$(-3,0)$，$(1,0)$。
8. 函数 $ y = 2x^{2} - 8x + 1 $,当 $ x = $______时,$ y $ 的最______值等于______。
答案
2,小,$-7$
解析
对于函数$y = 2x^{2}-8x + 1$，其中$a = 2$，$b=-8$，$c = 1$。因为$a=2＞0$，所以抛物线开口向上，函数有最小值。对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2×2}=2$。将$x = 2$代入函数可得$y=2×2^{2}-8×2 + 1=8 - 16+1=-7$。
2,小,$-7$
2,小,$-7$
9. 抛物线 $ y = 2x^{2} - bx + 3 $ 的对称轴是直线 $ x = 1 $,则 $ b $ 的值为______。
答案
4
解析
对于抛物线$y = ax^{2}+bx + c$，其对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}$。
在抛物线$y = 2x^{2}-bx + 3$中，$a = 2$，$c=3$，对称轴是直线$x = 1$，则有：
$-\dfrac{-b}{2×2}=1$
$\dfrac{b}{4}=1$
$b = 4$
4
在抛物线$y = 2x^{2}-bx + 3$中，$a = 2$，$c=3$，对称轴是直线$x = 1$，则有：
$-\dfrac{-b}{2×2}=1$
$\dfrac{b}{4}=1$
$b = 4$
4
10. 已知二次函数 $ y = ax^{2} - 2ax + 1 $($ a $ 为常数,且 $ a ＞ 0 $)的图象上有三点 $ A(-2, y_{1}) $,$ B(1, y_{2}) $,$ C(3, y_{3}) $,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系是______。
答案
$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$
解析
$y = ax^{2}-2ax + 1$对称轴为$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
$A(-2,y_{1})$到对称轴距离为$|-2 - 1|=3$，
$B(1,y_{2})$到对称轴距离为$|1 - 1|=0$，
$C(3,y_{3})$到对称轴距离为$|3 - 1|=2$。
$a＞0$，抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小。
故$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$。
$A(-2,y_{1})$到对称轴距离为$|-2 - 1|=3$，
$B(1,y_{2})$到对称轴距离为$|1 - 1|=0$，
$C(3,y_{3})$到对称轴距离为$|3 - 1|=2$。
$a＞0$，抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小。
故$y_{2}＜y_{3}＜y_{1}$。
11. 已知抛物线 $ y = -2x^{2} + 4x + 6 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $。
(1) 求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(2) 写出不等式 $ -2x^{2} + 4x + 6 ＜ 0 $ 的解集。
(1) 求 $ \triangle ABC $ 的面积；
(2) 写出不等式 $ -2x^{2} + 4x + 6 ＜ 0 $ 的解集。
答案
(1)12;
(2)$x＜-1$或$x＞3$
