5. 已知：在△ABC中,∠ABC = 90°,Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交AB(如图①)或AB的延长线(如图②)于点P,连接BQ.
求证：△AQP∽△ABC.

5.证明:$\because \angle A+\angle APQ=90^{\circ }$,$\angle A+\angle C=90^{\circ }$,
∴$\angle APQ=\angle C$.在$\triangle AQP$与$\triangle ABC$中,
∵$\angle APQ=\angle C$,$\angle A=\angle A$,
∴$\triangle AQP\backsim \triangle ABC$.

6. 如图,在△ABC中,∠BAC = 2∠C.

(1) 在图中作出△ABC的内角平分线AD.(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写证明)
(2) 在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由.

6.解:
(1)略
(2)$\triangle ABD\backsim CBA$,理由如下:
∵$AD$平分$\angle BAC$,$\angle BAC=2\angle C$,
∴$\angle BAD=\angle C$.又$\because \angle B=\angle B$,
∴$\triangle ABD\backsim \triangle CBA$.

7. 如图,在矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.

(1) 设Rt△CBD的面积为$S_1,Rt△BFC$的面积为$S_2,Rt△DCE$的面积为$S_3,$则$S_1$_________$S_2 + S_3.($填“＞”“ = ”或“＜”)
(2) 写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.

7.解:
(1)$=$
(2)$\triangle DCE\backsim \triangle BDC$,$\triangle DCE\backsim \triangle CBF$,$\triangle BDC\backsim \triangle CBF$.
∵四边形$BDEF$是矩形,
∴$BD// EF$,
∴$\angle BDC=\angle DCE$.又$\because \angle BCD=\angle E=90^{\circ }$,
∴$\triangle DCE\backsim \triangle BDC$.