3. 观察下面三组数：
$1$,$3$,$5$,$7$,$9$,$11$,$13$,$15…$
$2$,$5$,$8$,$11$,$14$,$17$,$20$,$23…$
$7$,$13$,$19$,$25$,$31$,$37$,$43$,$49…$
这三组数具有共同的特点.现在有具有上述特点的一组数,并知道第一个数是$3$,第三个数是$11$,则其第$n$个数为()
A.$8n - 5$
B.$n^{2} + 2$
C.$4n - 1$
D.$2n^{2} - 4n + 5$

C

观察三组数，发现均为等差数列。设所求数列为等差数列，首项$a_1 = 3$，第三项$a_3 = 11$。
因为$a_3 = a_1 + 2d$，所以$11 = 3 + 2d$，解得$d = 4$。
等差数列第$n$项公式为$a_n = a_1 + (n - 1)d$，代入得$a_n = 3 + (n - 1)×4 = 4n - 1$。
C

4. 观察下列各式：
① $1 = 1^{2}$；② $2 + 3 + 4 = 3^{2}$；
③ $3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 5^{2}$；
④ $4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 7^{2}…$
请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是()
A.$1005 + 1006 + 1007 + … + 3016 = 2011^{2}$
B.$1005 + 1006 + 1007 + … + 3017 = 2011^{2}$
C.$1006 + 1007 + 1008 + … + 3016 = 2011^{2}$
D.$1007 + 1008 + 1009 + … + 3017 = 2011^{2}$

C

观察规律：第$n$个式子左边首项为$n$，项数为$2n - 1$，右边为$(2n - 1)^2$，且左边中间项为$2n - 1$。
设选项中右边平方数为$k^2$，则$k = 2011$，即$2n - 1 = 2011$，解得$n = 1006$。
左边首项应为$n = 1006$，项数为$2n - 1 = 2011$项。
末项 = 首项 + 项数 - 1 = $1006 + 2011 - 1 = 3016$。
故该式为$1006 + 1007 + \cdots + 3016 = 2011^2$。
C

5. 下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,按此规律排列下去,第$20$个图形中有个实心圆.
]

42

第1个图形有4个实心圆，第2个图形有6个实心圆，第3个图形有8个实心圆，规律为第n个图形有2n+2个实心圆。当n=20时，2×20+2=42。
42

6. 观察下面的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律：

(1) 写出第五个等式,并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；(2) 猜想并写出与第n个图形对应的等式.

解:
(1)5×$\frac{5}{6}$=5-$\frac{5}{6}$.(图略) （2）n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$.

如图是用棋子摆成的“上”字：

如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现：
(1) 第④个、第⑤个“上”字分别需要用和枚棋子；
(2) 第$n$个“上”字需要用枚棋子；
(3) 七 (3) 班有$50$名同学,把每一位同学当作一枚棋子,能否让这$50$枚“棋子”按照以上规律恰好站成一个“上”字？若能,请计算最下面一“横”的学生数；若不能,请说明理由.

解:
(1)18 22. （2）(4n+2). （3）4n+2=50,n=12.最下面的一“横”上的学生数为2n+1=25.