11. 分解因式:$ 2ax^{2}-8a= $.

$2a(x + 2)(x - 2)$

首先，从 $2ax^{2} - 8a$ 中提取公因式 $2a$，得到：
$2ax^{2} - 8a = 2a(x^{2} - 4)$
接着，观察 $x^{2} - 4$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 进行分解，得到：
$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$
代入之前的式子，得到：
$2ax^{2} - 8a = 2a(x + 2)(x - 2)$

12. 已知 $ a-\frac{1}{a}= 3 $,则 $ a+\frac{1}{a} $ 的值是.

$\pm\sqrt{13}$

∵$a - \frac{1}{a} = 3$，∴$(a - \frac{1}{a})^2 = 3^2$，即$a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 9$，$a^2 + \frac{1}{a^2} = 11$。$(a + \frac{1}{a})^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = 11 + 2 = 13$，∴$a + \frac{1}{a} = \pm\sqrt{13}$

13. 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.投壶礼来源于射礼,由于庭院不够宽阔,不足以张侯置鹄;或者由于宾客众多,不足以备弓比耦;或者有的宾客的确不会射箭,故而以投壶代替弯弓,以乐嘉宾,以习礼仪.春节期间,小宇体验传统民俗,投壶 5 次,每次有八支箭进行投壶,投进去的箭数分别为:5,2,4,3,6,这组数据的方差是.

$2$

首先计算这组数据的平均数：
$\bar{x} = \frac{5 + 2 + 4 + 3 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$，
接着，计算每个数据与平均数的差的平方，并求和：
$S^2 = \frac{1}{5}[(5 - 4)^2 + (2 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (3 - 4)^2 + (6 - 4)^2]$
$ = \frac{1}{5}[1 + 4 + 0 + 1 + 4]$
$ = \frac{1}{5} × 10$
$ = 2$。

14. 如图,正方形 $ ABCD $ 的边长为 4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点 $ A $ 处,该三角板的两条直角边与 $ CD $ 交于点 $ F $,与 $ CB $ 延长线交于点 $ E $,四边形 $ AECF $ 的面积是______.

16

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，∠DAB=∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=180°-∠ABC=90°=∠ADF。
∵∠EAF=90°，∠DAB=90°，∴∠EAB=∠DAF（同角的余角相等）。
在△ABE和△ADF中，∠EAB=∠DAF，AB=AD，∠ABE=∠ADF，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴S△ABE=S△ADF。
∵S四边形AECF=S四边形ABCF+S△ABE，S正方形ABCD=S四边形ABCF+S△ADF，且S△ABE=S△ADF，∴S四边形AECF=S正方形ABCD=4×4=16。

15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D,E $ 分别是 $ AB,AC $ 的中点,$ BC = 8 $,$ F $ 是线段 $ DE $ 上一点,连接 $ AF,CF $,$ EF = 3DF $.若 $ \angle AFC = 90^{\circ} $,则 $ AC $ 的长度是______.

$6$

由于$D$和$E$是$AB$和$AC$的中点，
根据中点连线的性质$DE$平行于$BC$且$DE=\frac{1}{2}BC$。
由于$BC=8$，
所以$DE=\frac{1}{2}×8=4$，
根据题目条件$EF=3DF$，
可以设$DF=x$，则$EF=3x$。
由于$DE=DF+EF$，
所以$4=x+3x$，
解得$x=1$，
所以$DF=1$，$EF=3$，
由于$\angle AFC=90^{\circ}$，
根据直角三角形中斜边上的中线性质，
可知$FE$为斜边$AC$上的中线的一半，
即$FE=\frac{1}{2}AC$（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，由于$E$为$AC$的中点，所以$CE=AE$，则$FE$为$\bigtriangleup AFC$斜边上的中线），
所以$AC=2EF=2×3=6$，
故答案为：$6$。

16. 如图,点 $ A $ 的坐标为$ (3,0) $,$ B $ 是直线 $ y = x + 1 $ 上的一动点,连接 $ AB $,$ P $ 是 $ AB $ 中点,连接 $ OP $,线段 $ OP $ 长度的最小值是______.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

设$B$点坐标为$(x_1,x_1 + 1)$，已知$A(3,0)$，因为$P$是$AB$中点，根据中点坐标公式：若有两点$M(x_a,y_a)$，$N(x_b,y_b)$，则$MN$中点坐标为$(\frac{x_a + x_b}{2},\frac{y_a + y_b}{2})$。
所以$P$点坐标为$(\frac{x_1 + 3}{2},\frac{x_1 + 1+0}{2})$，即$(\frac{x_1 + 3}{2},\frac{x_1 + 1}{2})$。
设$P(x,y)$，则$x=\frac{x_1 + 3}{2}$，$y=\frac{x_1 + 1}{2}$，由$x=\frac{x_1 + 3}{2}$可得$x_1 = 2x - 3$，将其代入$y=\frac{x_1 + 1}{2}$中，得到$y=\frac{2x - 3 + 1}{2}=\frac{2x - 2}{2}=x - 1$，即$P$点在直线$y = x - 1$上。
$OP$长度的最小值就是原点$O$到直线$y = x - 1$（即$x - y - 1 = 0$）的垂直距离。
根据点$(x_0,y_0)$到直线$Ax+By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$）的距离公式$d=\frac{\vert Ax_0+By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$，对于原点$O(0,0)$到直线$x - y - 1 = 0$，$A = 1$，$B=-1$，$C = - 1$，$x_0 = 0$，$y_0 = 0$，则$d=\frac{\vert0 - 0 - 1\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

17. (本题满分 6 分)
先化简,再求值:$ \frac{2a}{a + 1}-\frac{2a - 4}{a^{2}-1}÷\frac{a - 2}{a^{2}-2a + 1} $,其中 $ a $ 能使关于 $ x $ 的二次三项式 $ \frac{1}{4}x^{2}+ax + 4 $ 是完全平方式.

$-2$

化简过程：
$\begin{aligned}&\frac{2a}{a + 1}-\frac{2a - 4}{a^{2}-1}÷\frac{a - 2}{a^{2}-2a + 1}\\=&\frac{2a}{a + 1}-\frac{2(a - 2)}{(a + 1)(a - 1)}×\frac{(a - 1)^2}{a - 2}\\=&\frac{2a}{a + 1}-\frac{2(a - 1)}{a + 1}\\=&\frac{2a - 2(a - 1)}{a + 1}\\=&\frac{2}{a + 1}\end{aligned}$
求$a$的值：
二次三项式$\frac{1}{4}x^2 + ax + 4$是完全平方式，即$(\frac{1}{2}x\pm2)^2=\frac{1}{4}x^2\pm2x + 4$，则$a=\pm2$。
分式有意义条件：
$a+1\neq0$，$a-1\neq0$，$a-2\neq0$，即$a\neq-1,1,2$，故$a=-2$。
代入求值：
当$a=-2$时，$\frac{2}{a + 1}=\frac{2}{-2 + 1}=-2$。