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1. 下列各式:$\frac{1}{4}(1 - x),\frac{x}{3},\frac{1}{x - y},\frac{x - 2}{x^{2}+1},\frac{x - 1}{\pi},\frac{2a}{a},10xy^{-2}$.其中分式的个数是(
A.6
B.5
C.4
D.3
C
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
C
解析
分式的定义是分母中含有字母的式子，根据定义逐一判断：
$\frac{1}{4}(1 - x)$：分母为常数$4$，不含字母，不是分式。
$\frac{x}{3}$：分母为常数$3$，不含字母，不是分式。
$\frac{1}{x - y}$：分母含字母$x$和$y$，是分式。
$\frac{x - 2}{x^{2} + 1}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x - 1}{\pi}$：分母为常数$\pi$，不是分式。
$\frac{2a}{a}$：分母含字母$a$，是分式。
$10xy^{-2}$：可写为$\frac{10x}{y^{2}}$，分母含字母$y$，是分式。
综上，分式有$\frac{1}{x - y}$，$\frac{x - 2}{x^{2} + 1}$，$\frac{2a}{a}$，$10xy^{-2}$，共$4$个。
$\frac{1}{4}(1 - x)$：分母为常数$4$，不含字母，不是分式。
$\frac{x}{3}$：分母为常数$3$，不含字母，不是分式。
$\frac{1}{x - y}$：分母含字母$x$和$y$，是分式。
$\frac{x - 2}{x^{2} + 1}$：分母含字母$x$，是分式。
$\frac{x - 1}{\pi}$：分母为常数$\pi$，不是分式。
$\frac{2a}{a}$：分母含字母$a$，是分式。
$10xy^{-2}$：可写为$\frac{10x}{y^{2}}$，分母含字母$y$，是分式。
综上，分式有$\frac{1}{x - y}$，$\frac{x - 2}{x^{2} + 1}$，$\frac{2a}{a}$，$10xy^{-2}$，共$4$个。
2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ},\angle ABC = 30^{\circ}$,将$\triangle ABC绕点C顺时针旋转角\alpha$($0^{\circ}＜\alpha＜180^{\circ}$)至$\triangle A'B'C$,使得点$A'恰好落在AB$边上,那么角$\alpha$等于(
A.$150^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
C
)A.$150^{\circ}$
B.$90^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案
C
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle ABC=30^{\circ}$，则$\angle A=60^{\circ}$，且$AC=\frac{1}{2}AB$（直角三角形中$30^{\circ}$所对直角边是斜边的一半）。
将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转角$\alpha$至$\triangle A'B'C$，则$CA'=CA$（旋转性质：对应边相等），所以$\triangle CA'A$是等腰三角形。
因为点$A'$在$AB$边上，且$CA'=CA$，$\angle A=60^{\circ}$，所以$\triangle CA'A$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），因此$\angle ACA'=60^{\circ}$，即旋转角$\alpha=60^{\circ}$。
将$\triangle ABC$绕点$C$顺时针旋转角$\alpha$至$\triangle A'B'C$，则$CA'=CA$（旋转性质：对应边相等），所以$\triangle CA'A$是等腰三角形。
因为点$A'$在$AB$边上，且$CA'=CA$，$\angle A=60^{\circ}$，所以$\triangle CA'A$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），因此$\angle ACA'=60^{\circ}$，即旋转角$\alpha=60^{\circ}$。
3. 在学校的体育训练中,小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示,则这7次成绩的中位数和平均数分别是(
A.$9.7m,9.9m$
B.$9.7m,9.8m$
C.$9.8m,9.7m$
D.$9.8m,9.9m$
B
)A.$9.7m,9.9m$
B.$9.7m,9.8m$
C.$9.8m,9.7m$
D.$9.8m,9.9m$
答案
B
解析
由统计图可知7次成绩（单位：m）为：9.7，9.6，9.8，10.2，9.7，9.5，10.1。将成绩从小到大排序：9.5，9.6，9.7，9.7，9.8，10.1，10.2。中位数为第4个数9.7m。平均数为(9.5+9.6+9.7+9.7+9.8+10.1+10.2)÷7=68.6÷7=9.8m。
4. 某班5名同学进行投篮比赛,每人投10次,平均每人投中8次,已知第一、三、四、五名同学分别投中7次,9次,8次,10次,那么第二位同学投中(
A.6次
B.7次
C.8次
D.9次
A
)A.6次
B.7次
C.8次
D.9次
答案
A
解析
设第二位同学投中的次数为$x$次，根据题意，5名同学平均每人投中8次，所以总投中次数为$5 × 8 = 40$次。已知第一、三、四、五名同学分别投中7次、9次、8次、10次，所以第二位同学投中的次数为$40 - (7 + 9 + 8 + 10) = 40 - 34 = 6$次。
5. 一登山小队从山脚出发到达山顶,并按原路下山,其中上山的平均速度为$a\ km/h$,下山的平均速度为$b\ km/h$,则登山小队上、下山的平均速度为(
A.$\frac{1}{2}(a + b)km/h$
B.$\frac{ab}{a + b}km/h$
C.$\frac{a + b}{2ab}km/h$
D.$\frac{2ab}{a + b}km/h$
D
)A.$\frac{1}{2}(a + b)km/h$
B.$\frac{ab}{a + b}km/h$
C.$\frac{a + b}{2ab}km/h$
D.$\frac{2ab}{a + b}km/h$
答案
D。
解析
设山脚到山顶的距离为$s$ km。
上山所需时间为$\frac{s}{a}$小时，下山所需时间为$\frac{s}{b}$小时。
上下山的总路程为$2s$ km，总时间为$\frac{s}{a} + \frac{s}{b}$小时。
平均速度$v$为总路程除以总时间，即：
$v = \frac{2s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2ab}{a + b} km/h$。
上山所需时间为$\frac{s}{a}$小时，下山所需时间为$\frac{s}{b}$小时。
上下山的总路程为$2s$ km，总时间为$\frac{s}{a} + \frac{s}{b}$小时。
平均速度$v$为总路程除以总时间，即：
$v = \frac{2s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2ab}{a + b} km/h$。
