21. (本题 10 分)
某商场以 $m$ 元进购一批单价为 $a$ 元的商品,很快就售罄了,由于商品畅销,商场又用 $m$ 元进购第二批这种商品,但第二批商品单价上涨到 $b$ 元.
(1) 第一批进购了件商品,第二批进购了件商品,购买这两批商品的平均价格为元/件.
(2) 若 $m = 2400$,购买第二批商品的单价比第一批商品的单价上涨了 $20\%$,结果比第一批少进购 10 件.
① 求第一批商品的进购单价;
② 若第一批商品的售价为 60 元/件,第二批商品按照同样的售价销售一定数量后发现销量不好,将剩余的商品按照售价的九折售完. 要使两批商品销售的总利润不低于 1680 元,求第二批商品按原销售单价售出的数量.

(1)
第一批进购的件数：$\frac{m}{a}$；
第二批进购的件数：$\frac{m}{b}$；
两批商品的总金额为$2m$元，总件数为$\frac{m}{a} + \frac{m}{b}$，所以平均价格为$\frac{2m}{\frac{m}{a} + \frac{m}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$。
故答案为：$\frac{m}{a}$；$\frac{m}{b}$；$\frac{2ab}{a + b}$。
(2)
① 根据题意，第二批商品的单价比第一批上涨了$20\%$，即$b = 1.2a$。
又因为第二批比第一批少进购10件，所以有方程：
$\frac{2400}{a} - \frac{2400}{1.2a} = 10$，
解这个方程，得到：
$2400×1.2 - 2400 = 12a$，
$2880 - 2400 = 12a$，
$480 = 12a$，
$a = 40$。
经检验，$a = 40$是原方程的解，且符合题意。
答：第一批商品的进购单价为40元。
② 设第二批商品按原销售单价售出的数量为$x$件。
第一批商品的总利润为：
$\frac{2400}{40} × (60 - 40) = 1200 (元),$
第二批商品的总利润为：
$x × (60 - 48) + (\frac{2400}{48} - x) × (60 × 0.9 - 48) = 12x - 360 + 54×\frac{50}{1} - 48×\frac{50}{1}-12x+50x×0.9- ...（计算整理）$
$ = 12x + (50 - x) × (54 - 48) = 12x + 300 - 6x = 6x + 300 (元),$（因为$\frac{2400}{48}=50$）
两批商品的总利润不低于1680元，即：
$1200 + 6x + 300 \geq 1680$，
$6x \geq 180$，
$x \geq 30$。
答：第二批商品按原销售单价售出的数量至少为30件。

22. (本题 10 分)
如图,在$\triangle ABC$ 中,$M$ 为 $AC$ 中点,连接 $BM$,点 $D$ 为 $BM$ 上的一点,过点 $C$ 作 $CE// BM$,过点 $D$ 作 $DE// AB$,$CE$,$DE$ 交于点 $E$,连接 $BE$,求证:$BE = AD$.

证明：
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CBA（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）。
∵M为AC中点，∴CM=1/2AC，
∴△CDE与△CBA的相似比为CM/AC=1/2，
∴CE=1/2BM，DE=1/2AB（相似三角形对应边成比例）。
∵CE//BM，
∴∠ADM=∠E（两直线平行，内错角相等）。
在△AMD和△CME中，
∠ADM=∠E，
∠AMD=∠CME（对顶角相等），
AM=CM（M为AC中点），
∴△AMD≌△CME（AAS），
∴AD=CE（全等三角形对应边相等），MD=ME（全等三角形对应边相等）。
∵DE//AB，
∴△BDE∽△BMA（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似），
∴BD/BM=DE/AB=1/2（相似三角形对应边成比例），
∴BD=1/2BM，即D为BM中点，
∴BD=DM。
∵MD=ME，BD=DM，
∴BD=ME。
∵CE//BM，即BD//ME，
∴四边形BDME是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴BE=DM（平行四边形对边相等）。
∵AD=CE=1/2BM，DM=1/2BM，
∴AD=DM，
∴BE=AD。
结论：BE=AD。