登录
6. 一次数学测试,某小组五名同学的成绩如下表所示,其中有两个数据被遮盖了,那么被遮盖的两个数据依次是(
A.80,2
B.80,$\sqrt{2}$
C.78,2
D.78,$\sqrt{2}$
C
)A.80,2
B.80,$\sqrt{2}$
C.78,2
D.78,$\sqrt{2}$
答案
C
解析
设丙的成绩为$x$，方差为$s^{2}$。
由平均成绩为$80$，可得$\frac{81 + 79 + x + 80 + 82}{5}=80$，
即$322 + x = 400$，解得$x = 78$。
方差的计算公式为$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，
则$s^{2}=\frac{1}{5}[(81 - 80)^{2}+(79 - 80)^{2}+(78 - 80)^{2}+(80 - 80)^{2}+(82 - 80)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[1 + 1 + 4 + 0 + 4]$
$=\frac{1}{5}×10 = 2$。
所以被遮盖的两个数据依次是$78$，$2$。
由平均成绩为$80$，可得$\frac{81 + 79 + x + 80 + 82}{5}=80$，
即$322 + x = 400$，解得$x = 78$。
方差的计算公式为$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，
则$s^{2}=\frac{1}{5}[(81 - 80)^{2}+(79 - 80)^{2}+(78 - 80)^{2}+(80 - 80)^{2}+(82 - 80)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[1 + 1 + 4 + 0 + 4]$
$=\frac{1}{5}×10 = 2$。
所以被遮盖的两个数据依次是$78$，$2$。
7. 已知四边形ABCD,有以下四个条件:①$AB// CD$;②$AB = CD$;③$BC// AD$;④$BC = AD$.从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数是(
A.6
B.5
C.4
D.3
C
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
C
解析
从四个条件中任选两个，共有6种组合：①②、①③、①④、②③、②④、③④。
①②：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定。
①③：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定。
①④：一组对边平行，另一组对边相等，不能判定（可能是等腰梯形）。
②③：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定（可能是等腰梯形）。
②④：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定。
③④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（与①②同理），能判定。
综上，能判定的有①②、①③、②④、③④，共4种。
①②：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定。
①③：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定。
①④：一组对边平行，另一组对边相等，不能判定（可能是等腰梯形）。
②③：一组对边相等，另一组对边平行，不能判定（可能是等腰梯形）。
②④：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定。
③④：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（与①②同理），能判定。
综上，能判定的有①②、①③、②④、③④，共4种。
8. 如图,在$□ ABCD$中,$EF// BC$,$GH// AB$,$EF$,$GH$的交点P在BD上,则图中面积相等的平行四边形的对数是(
A.3
B.2
C.1
D.0
A
)A.3
B.2
C.1
D.0
答案
A
解析
在平行四边形ABCD中，EF//BC，GH//AB，交点P在BD上。
1. 小平行四边形：AEGP、EPHB、PHCF、PGDF。
由EF//AD，GH//AB，且P在BD上，利用平行线分线段成比例及面积公式，可得$S_{AEGP}=S_{PHCF}$。
2. 由两个小平行四边形组成的平行四边形：
ABHG（AEGP+EPHB）与EBCF（EPHB+PHCF）：
$AB//GH$，$AG//BH$，$EB//FC$，$EF//BC$，均为平行四边形。
面积均为$sbk$（$s$为参数，$b$为AD长，$k$为AB与CD间距离），故$S_{ABHG}=S_{EBCF}$。
ADFE（AEGP+PGDF）与GHCD（PGDF+PHCF）：
$AD//EF$，$AE//DF$，$GH//CD$，$GD//HC$，均为平行四边形。
面积均为$b(1-s)k$，故$S_{ADFE}=S_{GHCD}$。
综上，面积相等的平行四边形有3对。
1. 小平行四边形：AEGP、EPHB、PHCF、PGDF。
由EF//AD，GH//AB，且P在BD上，利用平行线分线段成比例及面积公式，可得$S_{AEGP}=S_{PHCF}$。
2. 由两个小平行四边形组成的平行四边形：
ABHG（AEGP+EPHB）与EBCF（EPHB+PHCF）：
$AB//GH$，$AG//BH$，$EB//FC$，$EF//BC$，均为平行四边形。
面积均为$sbk$（$s$为参数，$b$为AD长，$k$为AB与CD间距离），故$S_{ABHG}=S_{EBCF}$。
ADFE（AEGP+PGDF）与GHCD（PGDF+PHCF）：
$AD//EF$，$AE//DF$，$GH//CD$，$GD//HC$，均为平行四边形。
面积均为$b(1-s)k$，故$S_{ADFE}=S_{GHCD}$。
综上，面积相等的平行四边形有3对。
9. 为了分析某班在四月调考中的数学成绩,将该班所有学生的成绩分数换算成等级统计结果,如图所示.下列说法:①该班B等及B等以上占全班60%;②D等有4人,没有得满分的(按120分制);③成绩分数(按120分制)的中位数在第三组;④成绩分数(按120分制)的众数在第三组.其中正确的是(
A.①②
B.③④
C.①③
D.①③④
D
)A.①②
B.③④
C.①③
D.①③④
答案
D
解析
全班总人数：4+20+24+8+4=60人。
①B等及以上（B、A、A+）人数：24+8+4=36人，36/60=60%，①正确。
②D等4人正确，但A+等级是否含满分未知，无法判断“没有得满分”，②错误。
③中位数为第30、31个数据，D(1-4)、C(5-24)、B(25-48)，第30、31在B组（第三组），③正确。
④B组人数24最多，众数在B组（第三组），④正确。
①B等及以上（B、A、A+）人数：24+8+4=36人，36/60=60%，①正确。
②D等4人正确，但A+等级是否含满分未知，无法判断“没有得满分”，②错误。
③中位数为第30、31个数据，D(1-4)、C(5-24)、B(25-48)，第30、31在B组（第三组），③正确。
④B组人数24最多，众数在B组（第三组），④正确。
10. 在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,$BD = 2AD$,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点,连接GF,GE,EF,GE交OB于点N.下列结论:①$GN = NE$;②$AE\perp GF$;③AC平分$\angle BCD$;④$AC\perp BD$.其中正确的结论是(
A.①③
B.①②
C.②③④
D.①②③④
B
)A.①③
B.①②
C.②③④
D.①②③④
答案
B
解析
在□ABCD中，对角线AC、BD交于O，故OA=OC，OB=OD，AB//CD，AB=CD。
∵E、F分别为OC、OD中点，∴EF为△OCD中位线，∴EF//CD，EF=1/2CD，又AB=CD且AB//CD，∴EF//AB，EF=1/2AB。
∵G为AB中点，∴GB=1/2AB，∴EF=GB且EF//GB，故四边形GBEF为平行四边形，∴GF//BE。
∵EF//AB，∴∠OEN=∠AGN，∠ONE=∠GNB，△ONE∽△GNB。又G为AB中点，E为OC中点，可证N为GE中点，即GN=NE，①正确。
以O为原点建系，设B(-a,0)，D(a,0)，A(m,n)，由AD=OD=a得(m-a)²+n²=a²，化简得m²+n²=2am。求得G、E、F坐标，计算GF与AE斜率乘积为-1，故AE⊥GF，②正确。
AC平分∠BCD需AB=BC，平行四边形不一定为菱形，③错误；AC⊥BD需平行四边形为菱形，题目未提及，④错误。
∵E、F分别为OC、OD中点，∴EF为△OCD中位线，∴EF//CD，EF=1/2CD，又AB=CD且AB//CD，∴EF//AB，EF=1/2AB。
∵G为AB中点，∴GB=1/2AB，∴EF=GB且EF//GB，故四边形GBEF为平行四边形，∴GF//BE。
∵EF//AB，∴∠OEN=∠AGN，∠ONE=∠GNB，△ONE∽△GNB。又G为AB中点，E为OC中点，可证N为GE中点，即GN=NE，①正确。
以O为原点建系，设B(-a,0)，D(a,0)，A(m,n)，由AD=OD=a得(m-a)²+n²=a²，化简得m²+n²=2am。求得G、E、F坐标，计算GF与AE斜率乘积为-1，故AE⊥GF，②正确。
AC平分∠BCD需AB=BC，平行四边形不一定为菱形，③错误；AC⊥BD需平行四边形为菱形，题目未提及，④错误。
