13. 如图,某果农将苹果树种在正方形的果园.为了保护苹果树不被大风吹倒,他在苹果树的周围种针叶树,根据图中规律,该果农计划种100棵苹果树,需要种针叶树的棵数为.

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设苹果树排成$k×k$的正方形，数量$n = k²$（$k$为正整数）。针叶树在苹果树外围形成$(k + 2)×(k + 2)$的正方形，其数量为大正方形总数减去苹果树数量，即$m=(k + 2)² - k²=4k + 4$。当$n = 100$时，$k = \sqrt{100}=10$，则$m=4×10 + 4=44$。

14. 如图,菱形$ABCD$的顶点$C$在等边$\triangle BEF$的边$BF$上,点$E$在$AB$的延长线上,连接$DE$,过点$C$作$EF$的平行线交$DE$于点$G$.若$AB = 3$,$BE = 5$,则$CG$的长度是.

9/5

以B为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系。设B(0,0)，A(-3,0)，E(5,0)。等边△BEF中，BF=5，∠EBF=60°，则F(5/2,5√3/2)。C在BF上，BC=3，由定比分点得C(3/2,3√3/2)。菱形ABCD中，D=A+BC=(-3/2,3√3/2)。直线DE斜率为-3√3/13，方程为y=(-3√3/13)x+15√3/13。EF斜率为-√3，CG//EF，直线CG方程为y=-√3x+3√3。联立DE与CG方程得G(12/5,3√3/5)。计算C(3/2,3√3/2)与G(12/5,3√3/5)距离，得CG=9/5。

15. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = BC = 4$,将$\triangle ABC$折叠,使点$A$落在$BC$边上的点$D$处,$EF$为折痕.若$AE = 3$,则$\sin\angle BFD$的值为________.

$\frac{1}{3}$

在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=BC=4$，为等腰直角三角形，$\angle A=\angle B=45°$。$AE=3$，则$EC=AC-AE=1$。折叠后$A$落在$BC$上$D$处，故$DE=AE=3$。在$Rt\triangle DEC$中，$DC^2+EC^2=DE^2$，即$DC^2+1^2=3^2$，解得$DC=2\sqrt{2}$，$BD=BC-DC=4-2\sqrt{2}$。
以$C$为原点建系，$C(0,0)$，$B(4,0)$，$A(0,4)$，$E(0,1)$，$D(2\sqrt{2},0)$。$AB$方程为$x+y=4$，设$F(f,4-f)$。$AD$中点$(\sqrt{2},2)$，$k_{AD}=-\sqrt{2}$，则$k_{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。由$E(0,1)$与$F(f,4-f)$得$\frac{3-f}{f}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$f=6-3\sqrt{2}$，故$F(6-3\sqrt{2},3\sqrt{2}-2)$。
求$\sin\angle BFD$：向量$\overrightarrow{FB}=(3\sqrt{2}-2,2-3\sqrt{2})$，$\overrightarrow{FD}=(5\sqrt{2}-6,2-3\sqrt{2})$。计算得$\cos\angle BFD=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则$\sin\angle BFD=\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2}=\frac{1}{3}$。

16. 如图,抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}-4$与$x$轴交于$A$,$B$两点,$P$是以点$C(0,3)$为圆心,$2$为半径的圆上的动点,$Q$是线段$PA$的中点,连接$OQ$,则线段$OQ$的最大值是.

$\frac{7}{2}$

令$y=0$，则$\frac{1}{4}x^2 - 4 = 0$，解得$x = \pm 4$，故$A(-4,0)$，$B(4,0)$。
因为$Q$是$PA$中点，$O$是$AB$中点（$A(-4,0)$，$B(4,0)$，$AB$中点为原点$O$），由三角形中位线定理得$OQ=\frac{1}{2}PB$。
$P$在以$C(0,3)$为圆心，半径$2$的圆上，$B(4,0)$到圆心$C$的距离$CB=\sqrt{(4-0)^2+(0-3)^2}=5$，故$PB$最大值为$CB + 2=5 + 2=7$。
因此$OQ$最大值为$\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。

17. (5分)先化简,再求值:$(\frac{x}{x - 1}-\frac{1}{x^{2}-x})÷\frac{x^{2}+2x + 1}{x^{2}}$,并从$-1$,$0$,$1$,$2$中选择一个合适的数代入求值.

$\frac{2}{3}$

化简过程：
$\begin{aligned}&\left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x^2 - x}\right)÷\frac{x^2 + 2x + 1}{x^2}\\=&\left(\frac{x}{x - 1} - \frac{1}{x(x - 1)}\right)÷\frac{(x + 1)^2}{x^2}\\=&\left(\frac{x^2}{x(x - 1)} - \frac{1}{x(x - 1)}\right)×\frac{x^2}{(x + 1)^2}\\=&\frac{x^2 - 1}{x(x - 1)}×\frac{x^2}{(x + 1)^2}\\=&\frac{(x - 1)(x + 1)}{x(x - 1)}×\frac{x^2}{(x + 1)^2}\\=&\frac{x + 1}{x}×\frac{x^2}{(x + 1)^2}\\=&\frac{x}{x + 1}\end{aligned}$
取值条件：
分母不为0，即$x - 1 \neq 0$，$x(x - 1) \neq 0$，$(x + 1)^2 \neq 0$，$x^2 \neq 0$，解得$x \neq -1, 0, 1$，故选择$x = 2$。
代入求值：
当$x = 2$时，$\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$。