22. (10 分)如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,$AC$是$\odot O$的直径,过 $OA$上的点 $P$作 $PD\perp AC$,交 $CB$的延长线于点 $D$,交 $AB$于点 $E$,点 $F$为 $DE$的中点,连接 $BF$.
(1) 求证:$BF$与$\odot O$相切.
(2) 若$AP = OP$,$\cos A = \frac{4}{5}$,$AP = 4$,求 $BF$的长.

(1) 证明见解析；(2) BF=13/2。

(1) 连接OB。
∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠ABD=90°。
∵F为DE中点，∴在Rt△DBE中，BF=DF=EF，∴∠FBD=∠D。
∵PD⊥AC，∴∠APD=90°，∴∠A+∠AEP=90°。
∵∠AEP=∠BED，∠BED+∠D=90°，∴∠A=∠D，∴∠FBD=∠A。
∵OA=OB，∴∠OBA=∠A，∴∠OBA=∠FBD。
∵∠ABC=90°，即∠OBA+∠OBC=90°，∴∠FBD+∠OBC=90°，即∠OBF=90°。
∵OB是半径，∴BF与⊙O相切。
(2) ∵AP=OP=4，∴OA=AP+OP=8，AC=2OA=16。
在Rt△ABC中，cosA=AB/AC=4/5，∴AB=16×4/5=64/5，sinA=3/5。
在Rt△APE中，cosA=AP/AE=4/5，AP=4，∴AE=5，PE=AE·sinA=5×3/5=3。
∵∠ABD=90°，∠D=∠A，∴在Rt△DBE中，sinD=BE/DE=sinA=3/5。
∵BE=AB-AE=64/5 - 5=39/5，∴DE=BE/(3/5)=13。
∵F为DE中点，∴BF=DE/2=13/2。