1. 某工程需要在规定时间内完成,若甲工程队单独做,则恰好如期完成；若乙工程队单独做,则多用 3 天才能完成。现在甲、乙两队合作 2 天,剩下的由乙队单独做,恰好如期完成,求规定天数。如果设规定天数为 x 天,那么下面所列方程中错误的是()
A.$\frac{2}{x}+\frac{x}{x + 3}= 1$
B.$\frac{2}{x}= \frac{3}{x + 3}$
C.$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x + 3})×2+\frac{x - 2}{x + 3}= 1$
D.$\frac{1}{x}+\frac{x}{x + 3}= 1$

D

设规定天数为 $x$ 天。
甲队单独完成工程需要 $x$ 天，所以甲队的工作效率是 $\frac{1}{x}$；
乙队单独完成工程需要 $x+3$ 天，所以乙队的工作效率是 $\frac{1}{x+3}$。
根据题意，甲、乙两队合作了 2 天，剩下的由乙队单独完成，恰好如期完成。即：
甲、乙两队合作 2 天完成的工作量是 $2(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3})$；
乙队单独完成剩下的工作量是 $\frac{x-2}{x+3}$。
因此，整个工程的工作量是这两部分之和，即：
$2(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}) + \frac{x-2}{x+3} = 1$，
对选项进行判断：
A. $\frac{2}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$ （正确，因为 $\frac{x}{x+3}$ 表示乙队在整个规定时间内单独完成的工作量，与甲队合作 2 天的工作量相加等于整个工程）；
B. 由 $2(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 3}) + \frac{x - 2}{x + 3} = 1$可得$\frac{2}{x} = \frac{3}{x + 3}$，所以B正确；
C. $(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}) × 2 + \frac{x-2}{x+3} = 1$ （正确，与标准方程一致）；
D. $\frac{1}{x} + \frac{x}{x+3} = 1$ （错误，因为 $\frac{1}{x}$ 只表示甲队 1 天的工作量，与乙队在整个规定时间内单独完成的工作量相加不等于整个工程）。

2. 为抢修一段 120 米的铁路,施工队每天施工效率比原计划提高 1 倍,结果提前 4 天开通了列车。设原计划每天修 x 米,所列方程正确的是()
A.$\frac{120}{x}+4= \frac{120}{2x}$
B.$\frac{120}{2x}= \frac{120}{x}-4$
C.$\frac{120}{x}= \frac{120}{x + 1}-4$
D.$\frac{120}{x}-4= \frac{120}{x + 1}$

B

设原计划每天修$x$米，则原计划完成天数为$\frac{120}{x}$天。
实际效率为每天$2x$米，完成天数为$\frac{120}{2x}$天。
根据题意，实际天数比原计划少4天，即：
$\frac{120}{x} - 4 = \frac{120}{2x}$
整理得：$\frac{120}{2x} = \frac{120}{x} - 4$

3. (2024·山东)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产 100 件,改造后生产 600 件的时间与改造前生产 400 件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为()
A.200
B.300
C.400
D.500

B

设改造后每天生产$x$件，则改造前每天生产$x - 100$件。
根据题意，得$\frac{600}{x} = \frac{400}{x - 100}$，
方程两边同乘$x(x - 100)$去分母得：
$600(x - 100) = 400x$，
展开得：
$600x - 60000 = 400x$，
移项、合并同类项得：
$200x = 60000$，
解得：
$x = 300$。
检验：当$x = 300$时，$x(x - 100)=300×(300 - 100)=60000\neq 0$，
所以$x = 300$是原分式方程的解，且符合题意。

4. (2025·绵阳)甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的 1.5 倍,两人各加工 600 个这种零件,甲比乙少用 5 天。求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？

设乙每天加工$x$个零件，则甲每天加工$1.5x$个零件。
根据题意，得$\dfrac{600}{x}-\dfrac{600}{1.5x}=5$
方程两边同乘$1.5x$，得$600×1.5 - 600 = 5×1.5x$
$900 - 600 = 7.5x$
$300 = 7.5x$
解得$x = 40$
检验：当$x = 40$时，$1.5x = 60\neq0$，所以$x = 40$是原分式方程的解。
则甲每天加工$1.5x = 1.5×40 = 60$个。
答：甲每天加工60个零件，乙每天加工40个零件。

5. 为保障蔬菜基地种植用水,需要修建灌溉水渠.
(1)计划修建灌溉水渠 600m,甲施工队施工 5 天后,增加施工人员,每天比原来多修建 20m,再施工 2 天完成任务,求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠的长度.
(2)因基地面积扩大,现还需修建另一条 1800m 的灌溉水渠,为早日完成任务,决定派乙施工队与甲施工队同时开工,合作修建这条水渠,直至完工.甲施工队按(1)中增加人员后的修建速度进行施工.乙施工队修建 360m 后,通过技术更新,每天比原来多修建 20%,灌溉水渠完工时,两施工队修建的长度恰好相同。求乙施工队原来每天修建灌溉水渠的长度.

(1)设甲施工队原来每天修建$x$m，则增加人员后每天修建$(x + 20)$m。
由题意，得$5x + 2(x + 20) = 600$，
$5x + 2x+40 = 600$，
$7x = 560$，
解得$x = 80$。
所以$x + 20 = 100$。
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠$100$m。
(2)设乙施工队原来每天修建$y$m。
甲施工队的速度是$100$m/天，乙施工队修建$360$m后，每天修建$[1 + 20\%]y = 1.2y$m。
乙施工队修建的长度为$360 + ( \frac{1800}{2× \frac{360}{y}+( \frac{1800 - 2× 360}{1.2y})}- \frac{360}{y})×1.2y=900$（因为两队修建长度相同，总长$1800$m，所以乙队修$900$m ），
可列方程：$\frac{360}{y}+\frac{900 - 360}{1.2y}=\frac{900}{100}$，
$\frac{360}{y}+\frac{540}{1.2y}=9$，
方程两边同时乘$1.2y$得：$432 + 540 = 10.8y$，
$10.8y=972$，
解得$y = 90$。
经检验，$y = 90$是原方程的根。
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠$90$m。

6. 小颖家准备装修房子,若请甲、乙两个装修公司合作,则需 6 周完成,需花费工钱 5.2 万元；若先请甲公司单独做 4 周后,剩下的请乙公司来做,则还需 9 周才能完成,需花费工钱 4.8 万元.若只请一个公司单独完成,从节约开支的角度来考虑,小颖家应该选甲公司还是乙公司？

设甲公司每周的工作效率为 $x$（工作总量为1），乙公司每周的工作效率为 $y$。
根据题意，甲、乙两个公司合作6周完成，即：
$6(x + y) = 1$，
甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司做9周完成，即：
$4x + 9y = 1$，
解方程组：
$\begin{cases}6(x + y) = 1,\\4x + 9y = 1.\end{cases}$
通过消元法或代入法解得：
$\begin{cases}x = \frac{1}{10},\\y = \frac{1}{15}.\end{cases}$
所以甲公司单独完成需要 $1 ÷ \frac{1}{10} = 10$ 周，乙公司单独完成需要 $1 ÷ \frac{1}{15} = 15$ 周。
设甲公司每周的工钱为 $m$ 万元，乙公司每周的工钱为 $n$ 万元。
根据题意，甲、乙两个公司合作6周需花费工钱5.2万元，即：
$6(m + n) = 5.2$，
甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司做9周需花费工钱4.8万元，即：
$4m + 9n = 4.8$，
解方程组：
$\begin{cases}6(m + n) = 5.2,\\4m + 9n = 4.8.\end{cases}$
通过消元法或代入法解得：
$\begin{cases}m = \frac{3}{5},\\n= \frac{4}{15}.\end{cases}$
所以甲公司单独完成需要的工钱为 $10 × \frac{3}{5} = 6$ 万元，乙公司单独完成需要的工钱为 $15 × \frac{4}{15} = 4$ 万元。
从节约开支的角度来考虑，乙公司需要的工钱更少，所以应该选择乙公司。