【例2】 如图所示,在△ABC中,AB= AC,D,A,E三点都在直线m上,并且有∠BDA= ∠AEC= ∠BAC= α,其中α为任意锐角或钝角. 求证：DE= BD+CE.

证明：
∵∠BDA=α，
∴在△ABD中，∠ABD+∠BAD=180°-α（三角形内角和定理）．
∵D，A，E在直线m上，
∴∠DAE=180°，
又∠BAC=α，
∴∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC=180°-α．
∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠CAE（等量代换），
∴∠ABD=∠CAE（等式性质）．
在△ABD和△CAE中，
∠ADB=∠CEA=α（已知），
∠ABD=∠CAE（已证），
AB=CA（已知），
∴△ABD≌△CAE（AAS）．
∴AD=CE，BD=AE（全等三角形对应边相等）．
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD（等量代换），
即DE=BD+CE．

【练习4】 如图所示,已知AC= BC,点D是BC上一点,∠ADE= ∠C.

(1)如图①所示,若∠ADE= ∠C= 90°,∠DBE= 135°,求证：
①∠EDB= ∠A；②DA= DE.
(2)如图②所示,当∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时,总有DA= DE成立? (提示：等腰三角形的两个底角相等)

(1)①∵∠C=90°，∴在Rt△ADC中，∠A+∠ADC=90°.
∵点D在BC上，∠ADE=90°，∴∠ADC+∠EDB=180°-∠ADE=90°.
∴∠A+∠ADC=∠ADC+∠EDB，∴∠EDB=∠A.
②过点E作EF⊥BC，交CB延长线于F，则∠F=90°=∠C.
∵∠DBE=135°，∴∠EBF=180°-135°=45°，∴△EBF为等腰直角三角形，EF=BF.
设CD=m，DB=n，AC=BC=m+n.设EF=BF=k，则DF=DB+BF=n+k.
由①知∠EDB=∠A，又∠C=∠F=90°，∴△ADC≌△DEF(AAS)（∵∠A=∠EDF，∠C=∠F，AC=DF=m+n=n+k⇒k=m=CD=EF）.
∴DA=DE.
(2)∠DBE=90°+∠C/2（或2∠DBE-∠C=180°）.