9. 如图所示,若 $AB// CD$,$AP$,$CP$ 分别平分 $\angle BAC$ 和 $\angle ACD$,$PE\perp AC$ 于点 $E$,且 $PE = 3\ cm$,求 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离.

过点 $P$ 作 $PF \perp AB$ 于 $F$，作 $PG \perp CD$ 于 $G$。
由于 $AP$ 平分 $\angle BAC$，$CP$ 平分 $\angle ACD$，且 $PE \perp AC$，根据角平分线的性质，有 $PF = PE = 3 cm$，$PG = PE = 3 cm$。
由于 $AB // CD$，根据平行线间的距离定义，$AB$ 与 $CD$ 之间的距离等于 $PF + PG$。
$PF + PG = 3 cm + 3 cm = 6 cm$。
故 $AB$ 与 $CD$ 之间的距离为 $6 cm$。

10. 如图所示,如果 $D$ 为 $\triangle ABC$ 内一点,其中 $BD$ 平分 $\angle ABC$,且 $AD = CD$,求证：$\angle BAD = \angle BCD$.

证明：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵AD=CD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠DAE=∠DCF，即∠BAD=∠BCD。

11. 如图所示,已知在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ABC = 60^{\circ}$,$\angle ACB = 40^{\circ}$,$BD$ 平分 $\angle ABC$,$CD$ 平分 $\angle ACB$.
(1)如图①所示,$\angle BDC = $$^{\circ}$；
(2)如图②所示,连接 $AD$,过点 $D$ 作 $DE\perp AB$,$DE = 2$,$AC = 8$,求 $\triangle ADC$ 的面积.

(1)130；(2)8

(1)在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠A=180°-60°-40°=80°。
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC/2=30°；
∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠ACB/2=20°。
在△BDC中，∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°。
(2)∵D是∠ABC和∠ACB平分线的交点，∴D为△ABC的内心，内心到三边距离相等。
过D作DF⊥AC于F，∵DE⊥AB，DE=2，且AD平分∠BAC（内心性质），∴DF=DE=2。
△ADC的面积=1/2×AC×DF=1/2×8×2=8。