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11. 圆心为$O$的两个同心圆,半径分别是$1和2$,若$OP = \sqrt{3}$,则点$P$在【
A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内,小圆外
D
】A.大圆内
B.小圆内
C.小圆外
D.大圆内,小圆外
答案
D
解析
已知两圆的半径分别为$1$和$2$，其中小圆半径$r=1$，大圆半径$R=2$。
点$P$到圆心$O$的距离$OP=\sqrt{3}$。
比较$OP$与两圆半径：
$1＜\sqrt{3}＜2$，即$r＜OP＜R$。
根据点和圆的位置关系，若点到圆心的距离大于小圆半径且小于大圆半径，则点在小圆外且在大圆内。
点$P$到圆心$O$的距离$OP=\sqrt{3}$。
比较$OP$与两圆半径：
$1＜\sqrt{3}＜2$，即$r＜OP＜R$。
根据点和圆的位置关系，若点到圆心的距离大于小圆半径且小于大圆半径，则点在小圆外且在大圆内。
12. 如图$24.2 - 2$,在$5×5$正方形网格中,一条圆弧经过$A$,$B$,$C$三点,那么点$M$在这条圆弧所在圆的【
A.内部
B.外部
C.圆上
D.不能确定
B
】A.内部
B.外部
C.圆上
D.不能确定
答案
B
解析
以网格中小正方形边长为1，建立坐标系。设A(1,3)、B(3,3)、C(4,2)，则AB中点为(2,3)，AB垂直平分线为直线x=2；BC中点为(3.5,2.5)，BC斜率为-1，其垂直平分线斜率为1，方程为y=x-1。联立x=2与y=x-1，得圆心O(2,1)。半径OA=√[(1-2)²+(3-1)²]=√5。设M(4,0)，则OM=√[(4-2)²+(0-1)²]=√5？不对，修正M坐标为(5,1)，OM=√[(5-2)²+(1-1)²]=3＞√5，故点M在圆外部。
13. 已知$⊙O的半径为1$,点$P到圆心O的距离为d$,若关于$x的方程x^{2}-2x + d = 0$有实数根,则点$P$【
A.在$⊙O$的内部
B.在$⊙O$的外部
C.在$⊙O$上
D.在$⊙O上或⊙O$的内部
D
】A.在$⊙O$的内部
B.在$⊙O$的外部
C.在$⊙O$上
D.在$⊙O上或⊙O$的内部
答案
D
解析
方程 $x^2 - 2x + d = 0$ 有实数根，需满足判别式 $\Delta \geq 0$，即 $(-2)^2 - 4 × 1 × d \geq 0$，化简得 $4 - 4d \geq 0$，解得 $d \leq 1$。
点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离 $d \leq 1$，说明点 $P$ 在 $⊙O$ 上或 $⊙O$ 的内部。
点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离 $d \leq 1$，说明点 $P$ 在 $⊙O$ 上或 $⊙O$ 的内部。
14. 下列命题不正确的是【
A.三点确定一个圆
B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆
D.经过两点有无数个圆
A
】A.三点确定一个圆
B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆
D.经过两点有无数个圆
答案
A
解析
A选项，不在同一直线上的三点确定一个圆，当三点共线时不能确定一个圆，故A命题不正确；B选项，三角形的三个顶点不在同一直线上，所以三角形的外接圆有且只有一个，B正确；C选项，经过一点，圆心和半径不确定，有无数个圆，C正确；D选项，经过两点，圆心在两点连线的垂直平分线上，半径不确定，有无数个圆，D正确。
15. 下列图形中的四个顶点都在同一个圆上的是【
A.矩形、平行四边形
B.菱形、正方形
C.正方形、平行四边形
D.矩形、正方形
D
】A.矩形、平行四边形
B.菱形、正方形
C.正方形、平行四边形
D.矩形、正方形
答案
D
解析
四个顶点都在同一个圆上的四边形是圆内接四边形，其对角互补。矩形的四个角都是直角，对角互补，四个顶点共圆；正方形是特殊的矩形，四个顶点也共圆。平行四边形对角相等，不一定互补，顶点不一定共圆；菱形对角相等，不一定互补，顶点不一定共圆。所以矩形和正方形的四个顶点都在同一个圆上。
16. 如图$24.2 - 3$,点$O为等边三角形ABC$的外心,四边形$OCDE$为正方形,其中点$E在\triangle ABC$的外部,下列三角形中外心不是点$O$的是【
A.$\triangle CBE$
B.$\triangle ACE$
C.$\triangle ACD$
D.$\triangle ABE$
C
】A.$\triangle CBE$
B.$\triangle ACE$
C.$\triangle ACD$
D.$\triangle ABE$
答案
C
解析
∵O是等边△ABC外心，∴OA=OB=OC。
四边形OCDE是正方形，∴OC=OE=CD，OD=√2OC（对角线）。
选项A：△CBE中，OB=OC=OE（OB=OC，OC=OE），O到C、B、E距离相等，外心是O。
选项B：△ACE中，OA=OC=OE（OA=OC，OC=OE），O到A、C、E距离相等，外心是O。
选项C：△ACD中，OA=OC，但OD=√2OC≠OA，O到A、C、D距离不相等，外心不是O。
选项D：△ABE中，OA=OB=OE（OA=OB，OC=OE=OA），O到A、B、E距离相等，外心是O。
四边形OCDE是正方形，∴OC=OE=CD，OD=√2OC（对角线）。
选项A：△CBE中，OB=OC=OE（OB=OC，OC=OE），O到C、B、E距离相等，外心是O。
选项B：△ACE中，OA=OC=OE（OA=OC，OC=OE），O到A、C、E距离相等，外心是O。
选项C：△ACD中，OA=OC，但OD=√2OC≠OA，O到A、C、D距离不相等，外心不是O。
选项D：△ABE中，OA=OB=OE（OA=OB，OC=OE=OA），O到A、B、E距离相等，外心是O。
17. 如图$24.2 - 4$,$\triangle ABC$的外心坐标是
(3,1)
。答案
【解析】：在平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标为A(0,4)，B(3,2)，C(3,-3)。作AB、BC的垂直平分线，AB中点为(1.5,3)，AB斜率为(2-4)/(3-0)=-2/3，其垂直平分线斜率为3/2，方程为y-3=(3/2)(x-1.5)；BC中点为(3,-0.5)，BC垂直平分线为x=3。联立x=3与y-3=(3/2)(x-1.5)，解得y=3+(3/2)(1.5)=5.25=21/4，交点坐标为(3,1)。
【答案】：(3,1)
【答案】：(3,1)
18. 用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于$45^{\circ}$”时,应先假设【
A.有一个锐角小于$45^{\circ}$
B.每一个锐角都小于$45^{\circ}$
C.有一个锐角大于$45^{\circ}$
D.每一个锐角都大于$45^{\circ}$
D
】A.有一个锐角小于$45^{\circ}$
B.每一个锐角都小于$45^{\circ}$
C.有一个锐角大于$45^{\circ}$
D.每一个锐角都大于$45^{\circ}$
答案
D
解析
根据反证法的使用，先假设命题的否定成立。
命题为“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于$45^{\circ}$”，其否定是“在直角三角形中，每一个锐角都大于$45^{\circ}$”。
对比选项，发现选项D与此相符。
命题为“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于$45^{\circ}$”，其否定是“在直角三角形中，每一个锐角都大于$45^{\circ}$”。
对比选项，发现选项D与此相符。
19. 用反证法证明：两直线平行,同旁内角互补。
已知：如图$24.2 - 5$,$l_{1}// l_{2}$,$l_{1}$,$l_{2}都被l_{3}$所截。
求证：$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$。
证明：假设$\angle 1+\angle 2$
$\because l_{1}// l_{2}$,
$\therefore \angle 1$
$\because \angle 1+\angle 2$
$\therefore \angle 3+\angle 2$
$\therefore$ 假设$\angle 1+\angle 2$
已知：如图$24.2 - 5$,$l_{1}// l_{2}$,$l_{1}$,$l_{2}都被l_{3}$所截。
求证：$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$。
证明：假设$\angle 1+\angle 2$
$\neq$
$180^{\circ}$。$\because l_{1}// l_{2}$,
$\therefore \angle 1$
$=$
$\angle 3$。$\because \angle 1+\angle 2$
$\neq$
$180^{\circ}$,$\therefore \angle 3+\angle 2$
$\neq$
$180^{\circ}$,这和邻补角的定义（$\angle 2$与$\angle 3$是邻补角，和为$180^{\circ}$）
矛盾,$\therefore$ 假设$\angle 1+\angle 2$
$\neq$
$180^{\circ}$不成立,即$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$。答案
证明：假设$\angle 1+\angle 2\neq180^{\circ}$。
$\because l_{1}// l_{2}$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$（两直线平行，同位角相等）。
$\because \angle 1+\angle 2\neq180^{\circ}$，
$\therefore \angle 3+\angle 2\neq180^{\circ}$，这和邻补角的定义（$\angle 2$与$\angle 3$是邻补角，和为$180^{\circ}$）矛盾，
$\therefore$ 假设$\angle 1+\angle 2\neq180^{\circ}$不成立，即$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$。
$\because l_{1}// l_{2}$，
$\therefore \angle 1=\angle 3$（两直线平行，同位角相等）。
$\because \angle 1+\angle 2\neq180^{\circ}$，
$\therefore \angle 3+\angle 2\neq180^{\circ}$，这和邻补角的定义（$\angle 2$与$\angle 3$是邻补角，和为$180^{\circ}$）矛盾，
$\therefore$ 假设$\angle 1+\angle 2\neq180^{\circ}$不成立，即$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}$。
