1. 一元二次方程 $x^2 = 3x$ 的根为.

解：移项，得$x^2 - 3x = 0$，
因式分解，得$x(x - 3) = 0$，
则$x = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
$x_1 = 0$，$x_2 = 3$

2. 一元二次方程 $9x^2 - 144 = 0$ 的根是.

解：$9x^2 - 144 = 0$
$9x^2 = 144$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$
根是$x_1 = 4$，$x_2 = -4$

3. 一元二次方程 $(x - 3)^2 + x - 3 = 0$ 的根是.

解：$(x - 3)^2 + (x - 3) = 0$
$(x - 3)(x - 3 + 1) = 0$
$(x - 3)(x - 2) = 0$
$x - 3 = 0$或$x - 2 = 0$
$x_1 = 3$，$x_2 = 2$
$x_1 = 3$，$x_2 = 2$

4. 已知方程 $2x^2 + bx + c = 0$ 可分解因式为 $2(x - 3)(x + 1) = 0$,则 $b = $,$c = $.

解：因为方程$2x^2 + bx + c = 0$可分解因式为$2(x - 3)(x + 1) = 0$，
将$2(x - 3)(x + 1)$展开：
$\begin{aligned}2(x - 3)(x + 1)&=2[(x× x)+x×1 - 3× x - 3×1]\\&=2(x^2 + x - 3x - 3)\\&=2(x^2 - 2x - 3)\\&=2x^2 - 4x - 6\end{aligned}$
所以$2x^2 + bx + c = 2x^2 - 4x - 6$，
则$b = -4$，$c = -6$。
故答案为：$-4$，$-6$。

5. 用因式分解法解下列方程.
(1) $x^2 = x$；
(2) $4x^2 + 8x = -4$；
(3) $(x + 4)^2 = (3x + 8)^2$；
(4) $x(x - 7) = 8(7 - x)$.

(1)解：移项得$x^2 - x = 0$，因式分解得$x(x - 1)=0$，则$x=0$或$x - 1=0$，解得$x_1=0$，$x_2=1$。
(2)解：移项得$4x^2 + 8x + 4 = 0$，化简得$x^2 + 2x + 1 = 0$，因式分解得$(x + 1)^2=0$，解得$x_1=x_2=-1$。
(3)解：移项得$(x + 4)^2 - (3x + 8)^2 = 0$，因式分解得$[(x + 4)+(3x + 8)][(x + 4)-(3x + 8)]=0$，即$(4x + 12)(-2x - 4)=0$，则$4x + 12=0$或$-2x - 4=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-2$。
(4)解：移项得$x(x - 7) + 8(x - 7)=0$，因式分解得$(x - 7)(x + 8)=0$，则$x - 7=0$或$x + 8=0$，解得$x_1=7$，$x_2=-8$。

6. 用合适的方法解下列方程.
(1) $(x + 2)^2 - 25 = 0$；
(2) $x^2 + 6x - 1 = 0$；
(3) $2x^2 = 5x + 3$.

(1)解：$(x + 2)^2 - 25 = 0$
$(x + 2)^2 = 25$
$x + 2 = \pm 5$
$x + 2 = 5$或$x + 2 = -5$
$x_1 = 3$，$x_2 = -7$
(2)解：$x^2 + 6x - 1 = 0$
$x^2 + 6x = 1$
$x^2 + 6x + 9 = 1 + 9$
$(x + 3)^2 = 10$
$x + 3 = \pm \sqrt{10}$
$x_1 = -3 + \sqrt{10}$，$x_2 = -3 - \sqrt{10}$
(3)解：$2x^2 = 5x + 3$
$2x^2 - 5x - 3 = 0$
$(2x + 1)(x - 3) = 0$
$2x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$
$x_1 = -\frac{1}{2}$，$x_2 = 3$

7. 阅读下面的材料,回答问题.
解方程：$x^4 - 4x^2 - 5 = 0$.
解：令 $y = x^2$,则 $y^2 = x^4$.
原方程化为 $y^2 - 4y - 5 = 0$,
解得 $y_1 = 5$,$y_2 = -1$.
当 $y = 5$ 时,$x^2 = 5$,$\therefore x = \pm \sqrt{5}$；
当 $y = -1$ 时,$x^2 = -1$,
此方程无实数根.
$\therefore$ 原方程的解为 $x_1 = \sqrt{5}$,$x_2 = -\sqrt{5}$.
仿照上述方法解方程：
$(x^2 + 1)^2 - 4(x^2 + 1) - 5 = 0$.

【解析】：
本题要求仿照给定的解方程的方法，解一元二次方程。给定的方法是通过令$y = x^2$进行换元，将四次方程转化为二次方程进行求解。对于本题，可以通过令$y = x^2 + 1$进行换元，将原方程化为关于$y$的一元二次方程，然后求解。
【答案】：
解：
令$y = x^2 + 1$，则原方程化为$y^2 - 4y - 5 = 0$。
因式分解得：$(y - 5)(y + 1) = 0$。
解得：$y_1 = 5$，$y_2 = -1$。
当$y = 5$时，$x^2 + 1 = 5$，即$x^2 = 4$，解得$x = \pm 2$。
当$y = -1$时，$x^2 + 1 = -1$，即$x^2 = -2$，此方程无实数根。
$\therefore$原方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -2$。