7 [2025 陕西]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=20°$,$CD$为边$AB$上的中线,$DE⊥ AC$,则图中与$∠ A$互余的角共有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

7. C

8 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$D$是$AB$的中点.现将$△ BCD$沿$BA$方向平移1 cm,得到$△ EFG$,$FG$交$AC$于点$H$,则$GH$的长为cm.

8. 3

9 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,$CD\bot AB$于点$D$,$∠ BCD$和$∠ BDC$的平分线相交于点$E$,$F$为边$AC$的中点,$CD=CF$,则$∠ ACD+∠ CED$的度数为.

9. $175°$ 【解析】连接 $DF. \because CD⊥ AB, \therefore ∠ ADC=90°$.
$\because F$ 为边 $AC$ 的中点, $\therefore DF$ 是 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 斜边上的中线,
$\therefore DF=AF=CF. \because CD=CF, \therefore DF=CD=CF, \therefore △ CDF$
是等边三角形, $\therefore ∠ ACD=60°. \because$ 在 $△ CDB$ 中, $∠ B=50°$,
$\therefore ∠ BCD+∠ BDC=180°-∠ B=180°-50°=130°. \because ∠ BCD$
和 $∠ BDC$ 的平分线相交于点 $E, \therefore ∠ ECD=\frac{1}{2}∠ BCD$,
$∠ EDC=\frac{1}{2}∠ BDC, \therefore ∠ ECD+∠ EDC=\frac{1}{2}(∠ BCD+$
$∠ BDC)=65°, \therefore$ 在 $△ CDE$ 中, $∠ CED=180°-(∠ ECD+$
$∠ EDC)=180°-65°=115°, \therefore ∠ ACD+∠ CED=60°+115°=175°$.

10 如图,在$△ ABC$中,CD是边AB上的高,BE是边AC上的中线,且$BD=CE$.求证:
(1) 点D在BE的垂直平分线上;
(2) $∠ BEC=3∠ ABE$.

10. (1) 如图,连接 $DE. \because CD$ 是边 $AB$ 上的高, $\therefore ∠ ADC=90°. \because BE$ 是边 $AC$ 上的中线, $\therefore AE=CE, \therefore DE$ 是 $\mathrm{Rt}△ ADC$
斜边上的中线, $\therefore DE=CE=AE. \because BD=CE, \therefore BD=DE$,
$\therefore$ 点 $D$ 在 $BE$ 的垂直平分线上
(2) $\because DE=AE, \therefore ∠ A=∠ ADE. \because BD=DE, \therefore ∠ DBE=∠ DEB. \because ∠ ADE$ 是
$△ DBE$ 的外角, $\therefore ∠ ADE=∠ DBE+∠ DEB=2∠ DBE$,
$\therefore ∠ A=2∠ ABE. \because ∠ BEC$ 是 $△ ABE$ 的外角, $\therefore ∠ BEC=∠ A+∠ ABE, \therefore ∠ BEC=3∠ ABE$

11 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$.
(1) 尺规作图:① 作线段$AC$的垂直平分线$l$,交$AC$于点$O$;② 连接$BO$并延长,在$BO$的延长线上截取$DO$,使得$DO=BO$;③ 连接$DA$,$DC$(保留作图痕迹,标明字母).
(2) 试判断$AD$,$CD$的位置关系,并说明理由.

11. (1) 如图所示
(2) $AD⊥ CD$ 理由:$\because$ 直线 $l$ 垂直平分线段$AC,\therefore AO=CO$. 又$\because$ 在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°,\therefore BO=\frac{1}{2}AC$,即 $BO=AO=CO. \because DO=BO, \therefore DO=AO=CO$,
$\therefore ∠ OAD=∠ ODA,∠ OCD=∠ ODC. \because △ ADC$ 的内角和为
$180°,\therefore ∠ ODA+∠ ODC=\frac{1}{2}× 180°=90°$,即 $∠ ADC=90°$,
$\therefore AD⊥ CD$.