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10.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（
C
）答案
10.C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
1. 先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高，高必须满足两个特征：①一个端点是三角形的顶点；②与对应的边垂直。
2. 明确题目要求：作最长边上的高，首先确定三角形最长边为长度12的边（即图中左侧的长斜边），因此需要从这条最长边所对的顶点（三角形右下角的顶点），向最长边作垂线段。
3. 逐一排查选项：排除不符合高的定义、不是对应最长边的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：图中的垂线段上端不是三角形的顶点，不符合三角形高的定义，错误。
选项B：图中的垂线段是从三角形右上角顶点向底边的延长线作的垂线，是底边上的高，不是最长边上的高，错误。
选项C：图中的垂线段是从最长边所对的右下角顶点，向最长边作的垂线，符合最长边上高的要求，正确。
选项D：图中的垂线段没有垂直于最长边，不符合高的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义、钝角三角形的高
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的掌握，要注意作某条边上的高时，既要保证高从该边的对顶点出发，也要保证高与该边垂直，易错点是混淆高对应的底边，或忽略高的顶点要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
1. 先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高，高必须满足两个特征：①一个端点是三角形的顶点；②与对应的边垂直。
2. 明确题目要求：作最长边上的高，首先确定三角形最长边为长度12的边（即图中左侧的长斜边），因此需要从这条最长边所对的顶点（三角形右下角的顶点），向最长边作垂线段。
3. 逐一排查选项：排除不符合高的定义、不是对应最长边的选项，即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：图中的垂线段上端不是三角形的顶点，不符合三角形高的定义，错误。
选项B：图中的垂线段是从三角形右上角顶点向底边的延长线作的垂线，是底边上的高，不是最长边上的高，错误。
选项C：图中的垂线段是从最长边所对的右下角顶点，向最长边作的垂线，符合最长边上高的要求，正确。
选项D：图中的垂线段没有垂直于最长边，不符合高的要求，错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义、钝角三角形的高
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的掌握，要注意作某条边上的高时，既要保证高从该边的对顶点出发，也要保证高与该边垂直，易错点是混淆高对应的底边，或忽略高的顶点要求。
【难度系数】
0.7
11. 下列说法正确的是 （
A.若 $ a ＞ b $，则 $ a^2 ＞ b^2 $
B.若 $ a ＞ b $，则 $ a - 2 ＜ b - 2 $
C.若 $ a ＞ b, c ≠ 0 $，则 $ ac ＞ bc $
D.若 $ ac^2 ＞ bc^2 $，则 $ a ＞ b $
D
）A.若 $ a ＞ b $，则 $ a^2 ＞ b^2 $
B.若 $ a ＞ b $，则 $ a - 2 ＜ b - 2 $
C.若 $ a ＞ b, c ≠ 0 $，则 $ ac ＞ bc $
D.若 $ ac^2 ＞ bc^2 $，则 $ a ＞ b $
答案
11.D
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路为：逐一分析每个选项，结合不等式的基本性质判断，遇到无法直接判断的可通过举反例验证是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：可举反例，取a=1，b=-2，满足a＞b，但$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2 ＜ b^2$，因此A错误；
B选项：根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变。若a＞b，两边同时减2，可得$a-2 ＞ b-2$，因此B错误；
C选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若c为负数，当a＞b时，$ac ＜ bc$，因此C错误；
D选项：已知$ac^2 ＞ bc^2$，可得$c≠0$，因此$c^2$一定是正数，根据不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，两边同时除以$c^2$，可得$a ＞ b$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质、命题真假判断
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，解题的关键是牢记不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，遇到含参数的乘除运算时，要先判断参数的正负性，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题思路为：逐一分析每个选项，结合不等式的基本性质判断，遇到无法直接判断的可通过举反例验证是否成立，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：可举反例，取a=1，b=-2，满足a＞b，但$a^2=1$，$b^2=4$，此时$a^2 ＜ b^2$，因此A错误；
B选项：根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变。若a＞b，两边同时减2，可得$a-2 ＞ b-2$，因此B错误；
C选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若c为负数，当a＞b时，$ac ＜ bc$，因此C错误；
D选项：已知$ac^2 ＞ bc^2$，可得$c≠0$，因此$c^2$一定是正数，根据不等式的基本性质2：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，两边同时除以$c^2$，可得$a ＞ b$，因此D正确。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质、命题真假判断
【点评】
本题是不等式性质的基础考查题，解题的关键是牢记不等式两边同乘负数时不等号方向要改变，遇到含参数的乘除运算时，要先判断参数的正负性，也可通过举反例快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
12.某公园“六一”儿童节期间举行读书游园活动，成人票和儿童票均有较大折扣.张凯、李利都随他们的家人参加了本次活动.王斌也想去，就去问张凯、李利买门票花了多少钱.张凯说他家去了3个大人和4个小孩，共花了38元钱；李利说他家去了4个大人和2个小孩，共花了44元钱.王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮他计算一下，需准备
34
元钱买门票.答案
12.34
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先确定两个未知量，即成人票单价和儿童票单价；其次根据张凯、李利两家的购票总花费，分别找到对应的等量关系，列出两个方程组成方程组；然后求解方程组得到两种票的单价；最后将王斌家的大人、小孩数量代入计算总费用即可。
【解析】
设每张成人票为$x$元，每张儿童票为$y$元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 38 \quad \mathrm{①} \\4x + 2y = 44 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
利用加减消元法解方程组：
将②式两边同时乘2，得$8x + 4y = 88 \quad \mathrm{③}$
用③式减去①式消去$y$：
$(8x + 4y) - (3x + 4y) = 88 - 38$
化简得$5x = 50$，解得$x = 10$
把$x=10$代入②式：$4×10 + 2y = 44$，解得$y=2$
王斌家所需门票费用为：$3x + 2y = 3×10 + 2×2 = 34$（元）
【答案】
34
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组，消元法
【点评】
本题是常见的生活消费类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系建立方程组，计算过程简单，既可以用常规消元法求解，也可以通过观察式子特点用整体代换的方式直接求目标值，有助于锻炼逻辑思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先确定两个未知量，即成人票单价和儿童票单价；其次根据张凯、李利两家的购票总花费，分别找到对应的等量关系，列出两个方程组成方程组；然后求解方程组得到两种票的单价；最后将王斌家的大人、小孩数量代入计算总费用即可。
【解析】
设每张成人票为$x$元，每张儿童票为$y$元，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x + 4y = 38 \quad \mathrm{①} \\4x + 2y = 44 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
利用加减消元法解方程组：
将②式两边同时乘2，得$8x + 4y = 88 \quad \mathrm{③}$
用③式减去①式消去$y$：
$(8x + 4y) - (3x + 4y) = 88 - 38$
化简得$5x = 50$，解得$x = 10$
把$x=10$代入②式：$4×10 + 2y = 44$，解得$y=2$
王斌家所需门票费用为：$3x + 2y = 3×10 + 2×2 = 34$（元）
【答案】
34
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组，消元法
【点评】
本题是常见的生活消费类应用题，解题核心是准确提取题干中的等量关系建立方程组，计算过程简单，既可以用常规消元法求解，也可以通过观察式子特点用整体代换的方式直接求目标值，有助于锻炼逻辑思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
13.将4个数$a,b,c,d$排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成$\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，上述记号就叫作2阶行列式.若$\begin{vmatrix}2x+1&4x\\x+2&2x-1\end{vmatrix}=-9$，则$x=$ ______ .
答案
13.1
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的2阶行列式的新运算规则：$ad-bc$，再将行列式中对应的a、b、c、d代入运算规则，即可得到关于x的一元一次方程，接下来通过整式乘法展开、合并同类项、移项求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(2x+1)(2x-1) - 4x(x+2) = -9$
第一步展开整式：
先计算$(2x+1)(2x-1)=4x^2 - 1$，再计算$4x(x+2)=4x^2 + 8x$，代入等式得：
$4x^2 - 1 - (4x^2 + 8x) = -9$
第二步去括号、合并同类项：
$4x^2 - 1 - 4x^2 - 8x = -9$
化简得：$-1 - 8x = -9$
第三步解方程：
移项得：$-8x = -9 + 1$
即$-8x = -8$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，整式乘法，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义运算题型，核心是将陌生的新运算转化为已学的整式运算、解方程问题，计算时需注意去括号的符号规则，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的2阶行列式的新运算规则：$ad-bc$，再将行列式中对应的a、b、c、d代入运算规则，即可得到关于x的一元一次方程，接下来通过整式乘法展开、合并同类项、移项求解方程即可得到x的值。
【解析】
根据二阶行列式的定义可得：
$(2x+1)(2x-1) - 4x(x+2) = -9$
第一步展开整式：
先计算$(2x+1)(2x-1)=4x^2 - 1$，再计算$4x(x+2)=4x^2 + 8x$，代入等式得：
$4x^2 - 1 - (4x^2 + 8x) = -9$
第二步去括号、合并同类项：
$4x^2 - 1 - 4x^2 - 8x = -9$
化简得：$-1 - 8x = -9$
第三步解方程：
移项得：$-8x = -9 + 1$
即$-8x = -8$
系数化为1得：$x=1$
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，整式乘法，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义运算题型，核心是将陌生的新运算转化为已学的整式运算、解方程问题，计算时需注意去括号的符号规则，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
14.如图4,把三角形ABC向右平移4格,再向上平移2格,得到三角形$A'B'C'$(点$A',B',C'$分别对应点$A,B,C$).
(1)请画出平移后的图形,并标明对应字母;
(2)连接$A'B$,已知$∠ABA'=104°$,求$∠B'A'B$的度数.
(1)请画出平移后的图形,并标明对应字母;
(2)连接$A'B$,已知$∠ABA'=104°$,求$∠B'A'B$的度数.
答案
14.(1)略
(2)$∠ B'A'B=104°$
(2)$∠ B'A'B=104°$
解析
【分析】
(1) 平移作图首先要确定图形的关键点，本题先找到三角形ABC的三个顶点A、B、C，按照平移要求，将每个点先向右数4格，再向上数2格，得到三个对应点后顺次连接，即可画出平移后的图形。
(2) 求角度可利用平移的性质推导：平移后对应线段互相平行，可得AB与A'B'平行，再结合平行线的内错角相等的性质，就能求出∠B'A'B的度数。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别将点A、B、C向右平移4格，再向上平移2格，得到对应点A'、B'、C'；
② 顺次连接A'、B'、C'，标注对应字母，得到的三角形A'B'C'即为平移后的图形。
(2) 根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，因此$AB// A'B'$。
由“两直线平行，内错角相等”可得$∠ B'A'B=∠ ABA'$。
已知$∠ ABA'=104°$，所以$∠ B'A'B=104°$。
【答案】
(1) 略
(2) $104°$
【知识点】
平移作图，平移的性质，平行线的性质
【点评】
本题考查平移的作图方法和平移性质的应用，掌握平移的基本特征，结合平行线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 平移作图首先要确定图形的关键点，本题先找到三角形ABC的三个顶点A、B、C，按照平移要求，将每个点先向右数4格，再向上数2格，得到三个对应点后顺次连接，即可画出平移后的图形。
(2) 求角度可利用平移的性质推导：平移后对应线段互相平行，可得AB与A'B'平行，再结合平行线的内错角相等的性质，就能求出∠B'A'B的度数。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 分别将点A、B、C向右平移4格，再向上平移2格，得到对应点A'、B'、C'；
② 顺次连接A'、B'、C'，标注对应字母，得到的三角形A'B'C'即为平移后的图形。
(2) 根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等，因此$AB// A'B'$。
由“两直线平行，内错角相等”可得$∠ B'A'B=∠ ABA'$。
已知$∠ ABA'=104°$，所以$∠ B'A'B=104°$。
【答案】
(1) 略
(2) $104°$
【知识点】
平移作图，平移的性质，平行线的性质
【点评】
本题考查平移的作图方法和平移性质的应用，掌握平移的基本特征，结合平行线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
15.某校准备组织师生共300人参加一项公益活动，学校联系租车公司提供车辆，该公司现有A,B两种座位数不同的车型，如果租用3辆A型车和3辆B型车，那么空余15个座位；如果租用5辆A型车和1辆B型车，那么有15个人没座位.
(1)求A,B两种车型各有多少个座位；
(2)如果最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，那么两种车型的车各租用了多少辆？
(1)求A,B两种车型各有多少个座位；
(2)如果最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，那么两种车型的车各租用了多少辆？
答案
15.(1)每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位.
(2)租用A型车4辆，B型车2辆.
(2)租用A型车4辆，B型车2辆.
解析
【分析】
第(1)问有两个未知量：A型车座位数、B型车座位数，可通过题中给出的两种租车情况找等量关系，列二元一次方程组求解。第(2)问设两种车型的租用数量为未知数，根据“座位恰好坐满”列二元一次方程，再结合“租用了两种车型”即未知数均为正整数的限制，求方程的正整数解即可。
【解析】
(1) 解：设每辆A型车有$ x $个座位，每辆B型车有$ y $个座位。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 3y = 300 + 15 \\5x + y = 300 - 15\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}x + y = 105 ① \\5x + y = 285 ②\end{cases}$
用②-①消去$ y $，得：$ 4x = 180 $，解得$ x = 45 $。
将$ x = 45 $代入①，得：$ 45 + y = 105 $，解得$ y = 60 $。
(2) 解：设租用A型车$ a $辆，B型车$ b $辆（$ a,b $均为正整数）。
根据座位恰好坐满可得：$ 45a + 60b = 300 $，
两边同时除以15化简得：$ 3a + 4b = 20 $。
变形得$ a = \frac{20 - 4b}{3} $，结合$ a,b $为正整数，对$ b $试值：
当$ b=1 $时，$ a=\frac{16}{3} $，不是整数，舍去；
当$ b=2 $时，$ a=\frac{12}{3}=4 $，符合要求；
当$ b≥3 $时，$ a $不是正整数或为0，不符合租用两种车型的要求。
因此唯一符合条件的解为$ a=4,b=2 $。
【答案】
(1) 每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位；
(2) 租用A型车4辆，B型车2辆。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题是方程实际应用的常见题型，解题核心是准确梳理题干中的等量关系列方程，第二问需要结合未知数的实际意义筛选正整数解，能够很好地考察学生的方程建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问有两个未知量：A型车座位数、B型车座位数，可通过题中给出的两种租车情况找等量关系，列二元一次方程组求解。第(2)问设两种车型的租用数量为未知数，根据“座位恰好坐满”列二元一次方程，再结合“租用了两种车型”即未知数均为正整数的限制，求方程的正整数解即可。
【解析】
(1) 解：设每辆A型车有$ x $个座位，每辆B型车有$ y $个座位。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 3y = 300 + 15 \\5x + y = 300 - 15\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}x + y = 105 ① \\5x + y = 285 ②\end{cases}$
用②-①消去$ y $，得：$ 4x = 180 $，解得$ x = 45 $。
将$ x = 45 $代入①，得：$ 45 + y = 105 $，解得$ y = 60 $。
(2) 解：设租用A型车$ a $辆，B型车$ b $辆（$ a,b $均为正整数）。
根据座位恰好坐满可得：$ 45a + 60b = 300 $，
两边同时除以15化简得：$ 3a + 4b = 20 $。
变形得$ a = \frac{20 - 4b}{3} $，结合$ a,b $为正整数，对$ b $试值：
当$ b=1 $时，$ a=\frac{16}{3} $，不是整数，舍去；
当$ b=2 $时，$ a=\frac{12}{3}=4 $，符合要求；
当$ b≥3 $时，$ a $不是正整数或为0，不符合租用两种车型的要求。
因此唯一符合条件的解为$ a=4,b=2 $。
【答案】
(1) 每辆A型车有45个座位，每辆B型车有60个座位；
(2) 租用A型车4辆，B型车2辆。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题是方程实际应用的常见题型，解题核心是准确梳理题干中的等量关系列方程，第二问需要结合未知数的实际意义筛选正整数解，能够很好地考察学生的方程建模能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
