1. 如图,有下列3个条件:①$AB=BC$,②$∠ ABC=90°$,③$∠ ADC=∠ BAD$,从中选取1个作为补充条件,能使$□ ABCD$为矩形的有(填序号).

1. ②③

2. 如图，在$□ ABCD$中，连接$BD$，$E$为线段$AD$的中点，延长$BE$与$CD$的延长线交于点$F$，连接$AF$，$∠ BDF=90°$. 求证：四边形$ABDF$是矩形.

【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore BA// CD. \therefore ∠ BAE=∠ FDE.$
$\because$ 点 $E$ 是 $AD$ 的中点, $\therefore AE=DE.$
又$\because ∠ BEA=∠ FED,$
$\therefore △ BEA≌△ FED(\mathrm{ASA}). \therefore EF=EB.$
又$\because AE=DE,$
$\therefore$ 四边形 $ABDF$ 是平行四边形.
又$\because ∠ BDF=90°,$
$\therefore$ 四边形 $ABDF$ 是矩形.

3. 如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠AOB内一个动点P到这个角两边的距离之和为5,则图中四边形AOBP的周长是 ()

A.5
B.10
C.20
D.无法确定
(第3题)

3. B

4. 新考法 逆向思维法 如图,在矩形ABCD中,M为AD边的中点,P为BC上一点,PE⊥MC于E,PF⊥MB于F,当AB,BC满足条件时,四边形PEMF为矩形.

4. $AB=\frac{1}{2}BC$

5.在数学活动课上,同学们要检验一个四边形门框是否为矩形.可行的测量方案是（）

A.测量对角线是否平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量对角线是否相等

5. C

6. 如图，在$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，$AE⊥ BD$于点E，$DF⊥ AC$于点F，且$AE=DF$.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ EAD$，求$∠ AOE$的度数.

6.(1)【证明】$\because AE⊥ BD,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ AEO=∠ DFO=90°.$
又$\because ∠ AOE=∠ DOF,AE=DF,$
$\therefore △ AEO≌△ DFO. \therefore AO=DO.$
又$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AO=CO=DO=BO. \therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是矩形.
(2)【解】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ BAD=90°.$
又$\because ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ EAD,$
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{3}∠ BAD=90°×\frac{1}{3}=30°.$
$\because ∠ AEB=90°,\therefore ∠ ABE=60°.$
$\because AO=BO,\therefore △ OAB$ 是等边三角形.
$\therefore ∠ AOE=60°.$

7. 新趋势学科内综合 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为$(0,8),(-6,0)$，P为线段AO上一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则使对角线PQ的值最小的点Q的坐标为（）

A.$(-3,4)$
B.$(-4,3)$
C.$(-6,4)$
D.$(-6,3)$

7. C 【点拨】如图,由端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短可知,当$QP⊥ AO$时,$PQ$最短.$\because QP⊥ AO,∠ AOB=90°,\therefore ∠ APQ=∠ AOB=90°,\therefore PQ// BO.$ $\because$ 四边形 $APBQ$ 是平行四边形，$\therefore AP// BQ,AP=BQ,\therefore PO// BQ. \because PO// BQ,PQ// BO,∠ BOP=90°,\therefore$ 四边形 $POBQ$ 是矩形, $\therefore PQ=BO=6,BQ=OP=AP=4,\therefore Q(-6,4).$

8.[2025重庆梁平区期末]如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6.E是CD边上一动点,过点E分别作EF⊥OC于点F,EG⊥OD于点G,连接FG,则FG的最小值为 ()

A.2.4
B.3
C.4.8
D.4

8. A 【点拨】如图,连接 $OE.$ $\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC=8,BD=6,\therefore AC⊥ BD,OC=\frac{1}{2}AC=4,OD=\frac{1}{2}BD=3,\therefore CD=\sqrt{OC^2+OD^2}=5.$ $\because EF⊥ OC,AC⊥ BD,EG⊥ OD,\therefore ∠ OFE=∠ GOF=∠ EGO=90°,\therefore$ 四边形 $EGOF$ 是矩形, $\therefore OE=FG.$ $\because$ 当 $OE⊥ CD$ 时, $OE$ 有最小值，$\therefore$ 此时 $S_{△ COD}=\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}CD· OE,\therefore OE=\frac{OC· OD}{CD}=\frac{4×3}{5}=2.4,\therefore FG$ 的最小值为 2.4,故选 A.
点方法 连接 $OE$,在“变”中找“不变”,即 $FG=OE$,当 $OE⊥ CD$ 时,$OE$ 最小,即 $FG$ 最小.