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【典例1】抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴交于A，B两点.如图，直线$y=kx-1$与抛物线交于P，Q两点，且y轴平分线段PQ，求k的值.
答案
解:设 PQ 交 y 轴于 M,作 $PE⊥ y$ 轴于 E,$QF⊥ y$ 轴于F，
$\because MP=MQ,\therefore PE=QF$,
$\therefore x_P+x_Q=0$,
联立 $\begin{cases} y=kx-1,\\ y=x^2-2x-3, \end{cases}$
$\therefore x^2-(2+k)x-2=0$,
$k=-2$.
【典例2】如图，直线$AB:y=x+m$交抛物线$y=x^2-2x-3$于$A,B$两点，且$AB=4\sqrt{2}$，求$m$的值.
答案
解:$\begin{cases} y=x+m,\\ y=x^2-2x-3, \end{cases}$
$⇒ x^2-3x-(3+m)=0.$
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,
$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{2}|x_2-x_1|=4\sqrt{2},$
$21+4m=16,m=-\dfrac{5}{4}.$
$⇒ x^2-3x-(3+m)=0.$
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,
$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{2}|x_2-x_1|=4\sqrt{2},$
$21+4m=16,m=-\dfrac{5}{4}.$
【典例3】如图，抛物线$y=x^2-2x-3$与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为抛物线上一动点.当点P运动到第四象限时，连接AP，BP，直线BP交y轴于点R，过点B作直线$l// AP$，交y轴于点Q，求QR的长度.
答案
解:设 $P(m,m^2-2m-3),A(-1,0).$
AP 的解析式为 $y=(m-3)(x+1).$
$BQ// AP$,
$\therefore BQ$ 的解析式为 $y=(m-3)(x-3),$
$\therefore OQ=9-3m,$
BP 的解析式为 $y=(m+1)(x-3),$
$\therefore OR=3m+3,$
$QR=9-3m+3m+3=12.$
AP 的解析式为 $y=(m-3)(x+1).$
$BQ// AP$,
$\therefore BQ$ 的解析式为 $y=(m-3)(x-3),$
$\therefore OQ=9-3m,$
BP 的解析式为 $y=(m+1)(x-3),$
$\therefore OR=3m+3,$
$QR=9-3m+3m+3=12.$
