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11. 将二次函数$y=x^2 - 4x - 4$的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到的图象对应的二次函数的表达式为$y=x^2 + ax + b$，则$ab$的值为（
A.$-22$
B.$22$
C.$88$
D.$-88$
D
）A.$-22$
B.$22$
C.$88$
D.$-88$
答案
11. D
解析
【分析】
解决本题的核心是运用二次函数图象的平移规律“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”。解题思路如下：第一步，先将给定的二次函数通过配方转化为顶点式，方便平移计算；第二步，按照题目要求的平移顺序对顶点式进行变形；第三步，将平移后的顶点式展开为一般式，对应得到a、b的取值；第四步，计算ab的值即可选出正确选项。
【解析】
首先对原二次函数进行配方，转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 4x - 4\\&=(x^2 - 4x + 4) - 4 - 4\\&=(x - 2)^2 - 8\end{aligned}$
根据平移规则计算：
1. 先向上平移3个单位长度，函数整体加3，得：$y=(x - 2)^2 - 8 + 3=(x - 2)^2 - 5$
2. 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为$x-2$，得：$y=(x - 2 - 2)^2 - 5=(x - 4)^2 - 5$
将平移后的顶点式展开为一般式：
$\begin{aligned}y&=(x - 4)^2 - 5\\&=x^2 - 8x + 16 - 5\\&=x^2 - 8x + 11\end{aligned}$
与$y=x^2 + ax + b$对应可得：$a=-8$，$b=11$，因此$ab=(-8)×11=-88$。
【答案】D
【知识点】二次函数平移规律；二次函数配方；二次函数式转化
【点评】本题重点考查二次函数平移的应用，解题时要注意“左加右减”是针对自变量x的变换，平移时要严格按照题目给定的顺序操作，配方过程要保证恒等变形，避免计算失误。
【难度系数】0.7
解决本题的核心是运用二次函数图象的平移规律“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对函数整体）”。解题思路如下：第一步，先将给定的二次函数通过配方转化为顶点式，方便平移计算；第二步，按照题目要求的平移顺序对顶点式进行变形；第三步，将平移后的顶点式展开为一般式，对应得到a、b的取值；第四步，计算ab的值即可选出正确选项。
【解析】
首先对原二次函数进行配方，转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2 - 4x - 4\\&=(x^2 - 4x + 4) - 4 - 4\\&=(x - 2)^2 - 8\end{aligned}$
根据平移规则计算：
1. 先向上平移3个单位长度，函数整体加3，得：$y=(x - 2)^2 - 8 + 3=(x - 2)^2 - 5$
2. 再向右平移2个单位长度，将自变量x替换为$x-2$，得：$y=(x - 2 - 2)^2 - 5=(x - 4)^2 - 5$
将平移后的顶点式展开为一般式：
$\begin{aligned}y&=(x - 4)^2 - 5\\&=x^2 - 8x + 16 - 5\\&=x^2 - 8x + 11\end{aligned}$
与$y=x^2 + ax + b$对应可得：$a=-8$，$b=11$，因此$ab=(-8)×11=-88$。
【答案】D
【知识点】二次函数平移规律；二次函数配方；二次函数式转化
【点评】本题重点考查二次函数平移的应用，解题时要注意“左加右减”是针对自变量x的变换，平移时要严格按照题目给定的顺序操作，配方过程要保证恒等变形，避免计算失误。
【难度系数】0.7
12.如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴相交于A(-1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（
A.$a＞0$
B.当$x＞-1$时，y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为$(4,0)$
D.$4a+2b+c＞0$
D
）A.$a＞0$
B.当$x＞-1$时，y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为$(4,0)$
D.$4a+2b+c＞0$
答案
12. D
解析
【分析】
解决这道题需结合二次函数的图象性质逐一判断选项：①先由开口方向判断a的符号；②结合开口方向和对称轴判断函数增减性；③利用二次函数与x轴两交点关于对称轴对称的性质求B点坐标；④将特殊x值代入解析式，结合图象判断对应函数值的正负。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 判断选项A：由图象可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，故A错误；
2. 判断选项B：抛物线对称轴为直线$x=1$，且开口向下，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。仅当$-1＜x＜1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞1$时反而减小，故B错误；
3. 判断选项C：二次函数与x轴的两个交点A、B关于对称轴对称，已知A$(-1,0)$，对称轴为$x=1$，则点A到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此点B的横坐标为$1+2=3$，即B$(3,0)$，故C错误；
4. 判断选项D：当$x=2$时，代入二次函数解析式得$y=a×2^2 + b×2 + c=4a+2b+c$，由图象可知，$x=2$时抛物线位于x轴上方，对应函数值$y＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题主要考查二次函数图象与系数、增减性、交点的关系，需要熟练掌握图象特征与性质的对应关系，结合对称性、特殊点代入法即可快速判断。
【难度系数】
0.7
解决这道题需结合二次函数的图象性质逐一判断选项：①先由开口方向判断a的符号；②结合开口方向和对称轴判断函数增减性；③利用二次函数与x轴两交点关于对称轴对称的性质求B点坐标；④将特殊x值代入解析式，结合图象判断对应函数值的正负。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 判断选项A：由图象可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，故A错误；
2. 判断选项B：抛物线对称轴为直线$x=1$，且开口向下，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小。仅当$-1＜x＜1$时$y$随$x$增大而增大，$x＞1$时反而减小，故B错误；
3. 判断选项C：二次函数与x轴的两个交点A、B关于对称轴对称，已知A$(-1,0)$，对称轴为$x=1$，则点A到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此点B的横坐标为$1+2=3$，即B$(3,0)$，故C错误；
4. 判断选项D：当$x=2$时，代入二次函数解析式得$y=a×2^2 + b×2 + c=4a+2b+c$，由图象可知，$x=2$时抛物线位于x轴上方，对应函数值$y＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题主要考查二次函数图象与系数、增减性、交点的关系，需要熟练掌握图象特征与性质的对应关系，结合对称性、特殊点代入法即可快速判断。
【难度系数】
0.7
13. 二次函数 $ y=ax^2+bx $ 与一次函数 $ y=ax+b $ 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（
A
B
C D
C
）A
B
C D
答案
13. C
解析
【分析】
解题时抓住两个函数共有的参数a、b符号一致的特点，按三步逐一排除错误选项：第一步先由二次函数开口方向确定a的正负，对比一次函数斜率是否和a符号一致，排除矛盾选项；第二步利用二次函数$y=ax^2+bx$无常数项，必然过原点的特点，排除不符合的选项；第三步再根据二次函数与x轴的交点或对称轴判断b的符号，对比一次函数与y轴的截距是否和b符号一致，最终确定正确答案。
【解析】
1. 排查参数$a$的符号：二次函数开口方向由$a$决定，一次函数斜率为$a$，二者符号必须一致。
选项D中二次函数开口向上得$a＞0$，但一次函数呈下降趋势，斜率为负即$a＜0$，二者矛盾，排除D。
2. 排查二次函数的特殊点：对$y=ax^2+bx$，当$x=0$时$y=0$，因此二次函数必然过原点$(0,0)$。
选项B中二次函数与y轴交于正半轴，不经过原点，不符合解析式特点，排除B。
3. 排查参数$b$的符号：
选项A中二次函数顶点在原点，说明对称轴$x=-\frac{b}{2a}=0$，得$b=0$；但一次函数与y轴交于正半轴，说明截距$b＞0$，二者矛盾，排除A。
选项C中二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数呈上升趋势，斜率为正，符合$a＞0$的特征；二次函数与x轴的另一个交点在正半轴，即方程$ax^2+bx=0$的非零根$x=-\frac{b}{a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$；一次函数与y轴交于负半轴，截距$b＜0$，二者一致，且两个函数都过公共交点$(-\frac{b}{a},0)$，符合图象特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象与系数关系的典型题型，核心考查数形结合思想，解题的关键是抓住两个函数参数的一致性，结合特殊点、截距、斜率等特征快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时抓住两个函数共有的参数a、b符号一致的特点，按三步逐一排除错误选项：第一步先由二次函数开口方向确定a的正负，对比一次函数斜率是否和a符号一致，排除矛盾选项；第二步利用二次函数$y=ax^2+bx$无常数项，必然过原点的特点，排除不符合的选项；第三步再根据二次函数与x轴的交点或对称轴判断b的符号，对比一次函数与y轴的截距是否和b符号一致，最终确定正确答案。
【解析】
1. 排查参数$a$的符号：二次函数开口方向由$a$决定，一次函数斜率为$a$，二者符号必须一致。
选项D中二次函数开口向上得$a＞0$，但一次函数呈下降趋势，斜率为负即$a＜0$，二者矛盾，排除D。
2. 排查二次函数的特殊点：对$y=ax^2+bx$，当$x=0$时$y=0$，因此二次函数必然过原点$(0,0)$。
选项B中二次函数与y轴交于正半轴，不经过原点，不符合解析式特点，排除B。
3. 排查参数$b$的符号：
选项A中二次函数顶点在原点，说明对称轴$x=-\frac{b}{2a}=0$，得$b=0$；但一次函数与y轴交于正半轴，说明截距$b＞0$，二者矛盾，排除A。
选项C中二次函数开口向上得$a＞0$，一次函数呈上升趋势，斜率为正，符合$a＞0$的特征；二次函数与x轴的另一个交点在正半轴，即方程$ax^2+bx=0$的非零根$x=-\frac{b}{a}＞0$，结合$a＞0$得$b＜0$；一次函数与y轴交于负半轴，截距$b＜0$，二者一致，且两个函数都过公共交点$(-\frac{b}{a},0)$，符合图象特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象与系数关系的典型题型，核心考查数形结合思想，解题的关键是抓住两个函数参数的一致性，结合特殊点、截距、斜率等特征快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
14. NEW 生活情境·跳远比赛 在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度差（跳跃过程中与起跳时重心的高度之差）的变化（如图）。若重心高度差$h$（单位：m）与起跳后时间$t$（单位：s）的函数表达式为$h=-5t^2+3t$，当$t=0.2,0.3,0.5$时，所对应的重心高度差分别记为$h_1,h_2,h_3$，则（
A.$h_1＞h_2＞h_3$
B.$h_1＞h_3＞h_2$
C.$h_2＞h_1＞h_3$
D.$h_2＞h_3＞h_1$
C
）A.$h_1＞h_2＞h_3$
B.$h_1＞h_3＞h_2$
C.$h_2＞h_1＞h_3$
D.$h_2＞h_3＞h_1$
答案
14. C
解析
【分析】
要比较三个时间对应的重心高度差，有两种常见解题思路：一是直接将三个t值代入函数解析式，分别计算出h₁、h₂、h₃的数值再比较大小；二是利用二次函数的图象性质判断，先确定抛物线开口方向和对称轴，开口向下的二次函数，离对称轴越近的点对应的函数值越大，且对称轴处函数值最大，这种方法计算量更小，解题更高效。
【解析】
方法一：代入计算法
将t=0.2、t=0.3、t=0.5分别代入函数表达式$h=-5t^2+3t$：
当$t=0.2$时，$h_1=-5×(0.2)^2+3×0.2=-5×0.04+0.6=0.4$；
当$t=0.3$时，$h_2=-5×(0.3)^2+3×0.3=-5×0.09+0.9=0.45$；
当$t=0.5$时，$h_3=-5×(0.5)^2+3×0.5=-5×0.25+1.5=0.25$；
因此$h_2＞h_1＞h_3$。
方法二：二次函数性质法
对于二次函数$h=-5t^2+3t$，其中$a=-5＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴处函数取得最大值。
对称轴为直线$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-5)}=0.3$，因此$t=0.3$时h最大，即$h_2$最大。
$t=0.2$到对称轴的距离为$|0.2-0.3|=0.1$，$t=0.5$到对称轴的距离为$|0.5-0.3|=0.2$，开口向下的抛物线中，点离对称轴越近函数值越大，因此$h_1＞h_3$。
综上$h_2＞h_1＞h_3$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，函数值大小比较
【点评】
本题结合跳远的生活场景考查二次函数的基础应用，解题方法灵活，既可以直接代数计算求解，也可以利用二次函数的增减性、对称性快速判断，侧重考查对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要比较三个时间对应的重心高度差，有两种常见解题思路：一是直接将三个t值代入函数解析式，分别计算出h₁、h₂、h₃的数值再比较大小；二是利用二次函数的图象性质判断，先确定抛物线开口方向和对称轴，开口向下的二次函数，离对称轴越近的点对应的函数值越大，且对称轴处函数值最大，这种方法计算量更小，解题更高效。
【解析】
方法一：代入计算法
将t=0.2、t=0.3、t=0.5分别代入函数表达式$h=-5t^2+3t$：
当$t=0.2$时，$h_1=-5×(0.2)^2+3×0.2=-5×0.04+0.6=0.4$；
当$t=0.3$时，$h_2=-5×(0.3)^2+3×0.3=-5×0.09+0.9=0.45$；
当$t=0.5$时，$h_3=-5×(0.5)^2+3×0.5=-5×0.25+1.5=0.25$；
因此$h_2＞h_1＞h_3$。
方法二：二次函数性质法
对于二次函数$h=-5t^2+3t$，其中$a=-5＜0$，所以抛物线开口向下，在对称轴处函数取得最大值。
对称轴为直线$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-5)}=0.3$，因此$t=0.3$时h最大，即$h_2$最大。
$t=0.2$到对称轴的距离为$|0.2-0.3|=0.1$，$t=0.5$到对称轴的距离为$|0.5-0.3|=0.2$，开口向下的抛物线中，点离对称轴越近函数值越大，因此$h_1＞h_3$。
综上$h_2＞h_1＞h_3$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，函数值大小比较
【点评】
本题结合跳远的生活场景考查二次函数的基础应用，解题方法灵活，既可以直接代数计算求解，也可以利用二次函数的增减性、对称性快速判断，侧重考查对基础知识点的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
15. A教材经典素材·水黾的运动 在夏天的水塘、溪流中，我们经常能够看到一些快速掠过的身影:看起来很像蜘蛛，有着长长的腿，细细的身子.一旦靠近，它们就会飞速划走，这些昆虫叫水黾.水黾运动形式有两种，一种是滑行，一种是跳跃，水黾在跳跃时，重心呈现抛物线的形状(如图).某只水黾一次跳跃中
竖直高度$y$(单位:cm)与水平距离$x$(单位:cm)的关系可以近似地表示为 $y=-\frac{1}{50}x^2 + \frac{6}{5}x$. 根据这一关系回答下列问题:
(1)这只水黾跳跃的最大竖直高度是多少?
(2)若水面上一只水黾在捕食时，发现目标昆虫在其正前方处的水草上，水平距离20 cm，这只水黾跳起恰好捕食到目标昆虫，则目标昆虫距水面多高?
竖直高度$y$(单位:cm)与水平距离$x$(单位:cm)的关系可以近似地表示为 $y=-\frac{1}{50}x^2 + \frac{6}{5}x$. 根据这一关系回答下列问题:
(1)这只水黾跳跃的最大竖直高度是多少?
(2)若水面上一只水黾在捕食时，发现目标昆虫在其正前方处的水草上，水平距离20 cm，这只水黾跳起恰好捕食到目标昆虫，则目标昆虫距水面多高?
答案
15. 解:(1)抛物线 $y=-\frac{1}{50}x^2+\frac{6}{5}x$ 的对称轴为直线$x=30$.
∵$-\frac{1}{50}＜0$,
∴当$x=30$时,$y$最大,即 $y_{max}=-\frac{1}{50}×30^2+\frac{6}{5}×30=18$.
∴这只水黾跳跃的最大竖直高度是 18 cm. (2)
∵当$x=20$时,$y=-\frac{1}{50}×20^2+\frac{6}{5}×20=16$,
∴目标昆虫距水面 16 cm 高.
∵$-\frac{1}{50}＜0$,
∴当$x=30$时,$y$最大,即 $y_{max}=-\frac{1}{50}×30^2+\frac{6}{5}×30=18$.
∴这只水黾跳跃的最大竖直高度是 18 cm. (2)
∵当$x=20$时,$y=-\frac{1}{50}×20^2+\frac{6}{5}×20=16$,
∴目标昆虫距水面 16 cm 高.
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：(1)求跳跃的最大竖直高度，本质是求给定二次函数的最大值：观察二次函数解析式，二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处的y值即为最大值，可先通过对称轴公式求出顶点横坐标，再代入解析式计算最大y值；(2)已知水平距离求对应高度，直接将x=20代入函数解析式计算出y值即可得到目标昆虫距水面的高度。
【解析】
(1) 对于二次函数 $y=-\frac{1}{50}x^2 + \frac{6}{5}x$，其中 $a=-\frac{1}{50}$，$b=\frac{6}{5}$，
对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{6}{5}}{2×(-\frac{1}{50})}=30$，
∵ $a=-\frac{1}{50}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当 $x=30$ 时，$y$ 取得最大值，
代入得 $y_{max}=-\frac{1}{50}×30^2 + \frac{6}{5}×30=18$（cm）。
(2) 当水平距离为20cm，即$x=20$时，代入函数解析式：
$y=-\frac{1}{50}×20^2 + \frac{6}{5}×20=16$（cm）。
【答案】
(1) 18 cm；
(2) 16 cm
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题以生活中常见的水黾跳跃为情境，将二次函数知识和实际问题结合，考查对二次函数基本性质的掌握程度，解题关键是将实际问题转化为二次函数的相关问题求解，贴合生活实际，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：(1)求跳跃的最大竖直高度，本质是求给定二次函数的最大值：观察二次函数解析式，二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处的y值即为最大值，可先通过对称轴公式求出顶点横坐标，再代入解析式计算最大y值；(2)已知水平距离求对应高度，直接将x=20代入函数解析式计算出y值即可得到目标昆虫距水面的高度。
【解析】
(1) 对于二次函数 $y=-\frac{1}{50}x^2 + \frac{6}{5}x$，其中 $a=-\frac{1}{50}$，$b=\frac{6}{5}$，
对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{6}{5}}{2×(-\frac{1}{50})}=30$，
∵ $a=-\frac{1}{50}＜0$，抛物线开口向下，
∴ 当 $x=30$ 时，$y$ 取得最大值，
代入得 $y_{max}=-\frac{1}{50}×30^2 + \frac{6}{5}×30=18$（cm）。
(2) 当水平距离为20cm，即$x=20$时，代入函数解析式：
$y=-\frac{1}{50}×20^2 + \frac{6}{5}×20=16$（cm）。
【答案】
(1) 18 cm；
(2) 16 cm
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的图象与性质；二次函数的实际应用
【点评】
本题以生活中常见的水黾跳跃为情境，将二次函数知识和实际问题结合，考查对二次函数基本性质的掌握程度，解题关键是将实际问题转化为二次函数的相关问题求解，贴合生活实际，难度较低。
【难度系数】
0.8
16. 新考向·代数推理 已知二次函数 $y=(x-1)^2 -4$。
(1)当$-1≤ x≤4$时,求二次函数的最大值与最小值.
(2)若点$M(3,y_1)$,$N(2n+3,y_2)$在该二次函数的图象上,当$y_1＞y_2$时,求$n$的取值范围.
(1)当$-1≤ x≤4$时,求二次函数的最大值与最小值.
(2)若点$M(3,y_1)$,$N(2n+3,y_2)$在该二次函数的图象上,当$y_1＞y_2$时,求$n$的取值范围.
答案
16. 解:(1)当$x=1$时,函数有最小值,为$-4$;当$x=4$时,函数有最大值,为$(4-1)^2-4=5$.
∴当$-1≤x≤4$时,二次函数的最大值是 5,最小值是$-4$. (2)
∵二次函数 $y=(x-1)^2-4$,
∴该二次函数的图象开口向上,对称轴是直线$x=1$.点$M(3,y_1)$关于对称轴直线$x=1$对称的点$M'$的坐标为$(-1,y_1)$.
∵$y_1＞y_2$,
∴$-1＜2n+3＜3$,解得$-2＜n＜0$.
∴当$-1≤x≤4$时,二次函数的最大值是 5,最小值是$-4$. (2)
∵二次函数 $y=(x-1)^2-4$,
∴该二次函数的图象开口向上,对称轴是直线$x=1$.点$M(3,y_1)$关于对称轴直线$x=1$对称的点$M'$的坐标为$(-1,y_1)$.
∵$y_1＞y_2$,
∴$-1＜2n+3＜3$,解得$-2＜n＜0$.
解析
【分析】
(1) 先识别给定二次函数是顶点式，可直接得到开口方向、对称轴、顶点坐标：开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。求解定区间$[-1,4]$内的最值时，首先判断对称轴在区间内，因此顶点处为最小值点；再结合开口向上的性质，离对称轴越远函数值越大，计算区间两个端点的函数值，比较后得到最大值。
(2) 二次函数开口向上时，函数值越小对应点到对称轴的距离越小。先求出点$M(3,y_1)$关于对称轴$x=1$的对称点$(-1,y_1)$，则$y_1＞y_2$等价于点$N$的横坐标在$-1$和$3$之间，列出关于$n$的不等式求解即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=(x-1)^2 -4$，
$\because a=1＞0$，$\therefore$图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
$\because$对称轴$x=1$在区间$-1≤x≤4$内，
$\therefore$当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-1)^2 -4=0$；
当$x=4$时，$y=(4-1)^2 -4=5$。
$\because 5＞0$，$\therefore$当$x=4$时，函数取得最大值$5$。
(2) $\because$二次函数$y=(x-1)^2 -4$开口向上，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$点$M(3,y_1)$关于对称轴$x=1$对称的点坐标为$(-1,y_1)$。
$\because y_1＞y_2$，开口向上时函数值越小，对应点到对称轴的距离越小，
$\therefore$点$N$的横坐标满足$-1＜2n+3＜3$，
解不等式组：
$\begin{cases}2n+3＞-1 \\2n+3＜3 \end{cases}$，解得$\begin{cases}n＞-2 \\n＜0 \end{cases}$。
【答案】
(1) 最大值为$\boldsymbol{5}$，最小值为$\boldsymbol{-4}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜n＜0}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的对称性
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查二次函数性质的代数推理应用，第一问需要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值点，第二问借助对称性将函数值大小关系转化为横坐标的范围问题，是二次函数的典型基础考法。
【难度系数】
0.7
(1) 先识别给定二次函数是顶点式，可直接得到开口方向、对称轴、顶点坐标：开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。求解定区间$[-1,4]$内的最值时，首先判断对称轴在区间内，因此顶点处为最小值点；再结合开口向上的性质，离对称轴越远函数值越大，计算区间两个端点的函数值，比较后得到最大值。
(2) 二次函数开口向上时，函数值越小对应点到对称轴的距离越小。先求出点$M(3,y_1)$关于对称轴$x=1$的对称点$(-1,y_1)$，则$y_1＞y_2$等价于点$N$的横坐标在$-1$和$3$之间，列出关于$n$的不等式求解即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=(x-1)^2 -4$，
$\because a=1＞0$，$\therefore$图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$。
$\because$对称轴$x=1$在区间$-1≤x≤4$内，
$\therefore$当$x=1$时，函数取得最小值，最小值为$-4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-1)^2 -4=0$；
当$x=4$时，$y=(4-1)^2 -4=5$。
$\because 5＞0$，$\therefore$当$x=4$时，函数取得最大值$5$。
(2) $\because$二次函数$y=(x-1)^2 -4$开口向上，对称轴为直线$x=1$，
$\therefore$点$M(3,y_1)$关于对称轴$x=1$对称的点坐标为$(-1,y_1)$。
$\because y_1＞y_2$，开口向上时函数值越小，对应点到对称轴的距离越小，
$\therefore$点$N$的横坐标满足$-1＜2n+3＜3$，
解不等式组：
$\begin{cases}2n+3＞-1 \\2n+3＜3 \end{cases}$，解得$\begin{cases}n＞-2 \\n＜0 \end{cases}$。
【答案】
(1) 最大值为$\boldsymbol{5}$，最小值为$\boldsymbol{-4}$；
(2) $\boldsymbol{-2＜n＜0}$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数的对称性
3. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题考查二次函数性质的代数推理应用，第一问需要结合开口方向、对称轴与区间的位置关系判断最值点，第二问借助对称性将函数值大小关系转化为横坐标的范围问题，是二次函数的典型基础考法。
【难度系数】
0.7
【拓展设问】 在第(2)问的基础上，若将点M的坐标改为$(2n-1,y_1)$，其他条件不变，则n的取值范围为
$n＜0$
。答案
【拓展设问】 $n＜0$
解析
【分析】解题时首先结合第(2)问给出的二次函数性质：本题二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，要求点M满足对应题干条件时横坐标需小于对称轴的取值，因此只需将点M的横坐标代入对应的不等关系，解关于n的一元一次不等式即可得到结果。
【解析】
由第(2)问条件可知，该二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且点M满足题干条件时横坐标需小于$-1$。
已知点M的坐标为$(2n-1,y_1)$，因此列不等式：
$2n - 1 ＜ -1$
移项合并得：$2n ＜ 0$
系数化为1得：$n ＜ 0$
【答案】
$n ＜ 0$
【知识点】
二次函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数与不等式结合的基础题型，核心是根据二次函数的性质建立参数的不等关系，计算难度较低，只要掌握二次函数对称轴相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
【解析】
由第(2)问条件可知，该二次函数的对称轴为直线$x=-1$，且点M满足题干条件时横坐标需小于$-1$。
已知点M的坐标为$(2n-1,y_1)$，因此列不等式：
$2n - 1 ＜ -1$
移项合并得：$2n ＜ 0$
系数化为1得：$n ＜ 0$
【答案】
$n ＜ 0$
【知识点】
二次函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数与不等式结合的基础题型，核心是根据二次函数的性质建立参数的不等关系，计算难度较低，只要掌握二次函数对称轴相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
