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1. 如果等腰三角形的一个角等于$68°$，那么它的底角等于（
A.$68°$
B.$56°$
C.$68°$或$56°$
D.$68°$或$66°$
C
）A.$68°$
B.$56°$
C.$68°$或$56°$
D.$68°$或$66°$
答案
1. C
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和为180°。题目中仅给出一个角等于68°，没有明确说明这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算底角的度数，再验证两种情况是否都符合三角形内角和的要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当已知的68°角为等腰三角形的底角时，底角的度数就是68°，此时另一个底角也为68°，顶角为$180°-68°×2=44°$，符合三角形内角和定理；
2. 当已知的68°角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等，底角的度数为：$(180°-68°)÷2=56°$，此时两个底角均为56°，符合三角形内角和定理。
综上，该等腰三角形的底角等于68°或56°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是明确未指明角的类型时要分情况讨论，避免因漏算某一种情况导致错误，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.8
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，同时三角形内角和为180°。题目中仅给出一个角等于68°，没有明确说明这个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算底角的度数，再验证两种情况是否都符合三角形内角和的要求即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当已知的68°角为等腰三角形的底角时，底角的度数就是68°，此时另一个底角也为68°，顶角为$180°-68°×2=44°$，符合三角形内角和定理；
2. 当已知的68°角为等腰三角形的顶角时，根据等腰三角形两底角相等，底角的度数为：$(180°-68°)÷2=56°$，此时两个底角均为56°，符合三角形内角和定理。
综上，该等腰三角形的底角等于68°或56°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是明确未指明角的类型时要分情况讨论，避免因漏算某一种情况导致错误，同时计算后要验证结果是否符合三角形内角和的要求。
【难度系数】
0.8
2. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 $50°$，求此等腰三角形的顶角的度数。
答案
2. 此等腰三角形的顶角的度数为 40°或 140°。
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的特征分类讨论求解，首先明确题目中“另一腰所在直线”说明交点可能在另一腰线段上，也可能在另一腰的延长线上，对应顶角分别为锐角和钝角两种情况：①当顶角为锐角时，腰的垂直平分线与另一腰线段相交，利用直角三角形两锐角互余可直接计算顶角度数；②当顶角为钝角时，腰的垂直平分线与另一腰的延长线相交，先计算出顶角的补角，再求顶角即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$DE$是腰$AB$的垂直平分线，$DE$交腰$AC$于点$E$，交点$E$在线段$AC$上。
已知$∠ AED=50°$，因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$∠ ADE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据直角三角形两锐角互余，得顶角$∠ BAC=90° - 50°=40°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$DE$是腰$AB$的垂直平分线，$DE$交腰$CA$的延长线于点$E$。
已知$∠ AED=50°$，因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$∠ ADE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ EAD=90° - 50°=40°$，
因此顶角$∠ BAC=180° - ∠ EAD=180° - 40°=140°$。
综上，等腰三角形的顶角度数为$40°$或$140°$。
【答案】
$40°$或$140°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“腰所在直线”的表述，仅考虑顶角为锐角的情况，解题时要注意结合几何图形的多种可能性，运用分类讨论思想避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的特征分类讨论求解，首先明确题目中“另一腰所在直线”说明交点可能在另一腰线段上，也可能在另一腰的延长线上，对应顶角分别为锐角和钝角两种情况：①当顶角为锐角时，腰的垂直平分线与另一腰线段相交，利用直角三角形两锐角互余可直接计算顶角度数；②当顶角为钝角时，腰的垂直平分线与另一腰的延长线相交，先计算出顶角的补角，再求顶角即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形的顶角为锐角时：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$DE$是腰$AB$的垂直平分线，$DE$交腰$AC$于点$E$，交点$E$在线段$AC$上。
已知$∠ AED=50°$，因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$∠ ADE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，根据直角三角形两锐角互余，得顶角$∠ BAC=90° - 50°=40°$。
2. 当等腰三角形的顶角为钝角时：
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，$DE$是腰$AB$的垂直平分线，$DE$交腰$CA$的延长线于点$E$。
已知$∠ AED=50°$，因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$∠ ADE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ EAD=90° - 50°=40°$，
因此顶角$∠ BAC=180° - ∠ EAD=180° - 40°=140°$。
综上，等腰三角形的顶角度数为$40°$或$140°$。
【答案】
$40°$或$140°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略“腰所在直线”的表述，仅考虑顶角为锐角的情况，解题时要注意结合几何图形的多种可能性，运用分类讨论思想避免漏解。
【难度系数】
0.6
3. 如图，已知 BD 为$∠ ABC$的平分线，AB = BC，点 P 在 BD 上，PM ⊥ AD 于点 M，PN ⊥ CD 于点 N。试说明：PM = PN。
答案
3. 解：因为 BD 为$∠ABC$的平分线，
所以$∠ABD=∠CBD$。
在$△ABD$和$△CBD$中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD(SAS)$。
所以$∠ADB=∠CDB$。
所以 DB 平分$∠ADC$。
因为点 P 在 DB 上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，
所以$PM=PN$。
所以$∠ABD=∠CBD$。
在$△ABD$和$△CBD$中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD(SAS)$。
所以$∠ADB=∠CDB$。
所以 DB 平分$∠ADC$。
因为点 P 在 DB 上，$PM⊥AD$，$PN⊥CD$，
所以$PM=PN$。
解析
【分析】
要证明PM=PN，可联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知，PM、PN分别是点P到∠ADC两边AD、CD的垂线段，因此只需证明BD平分∠ADC，即证∠ADB=∠CDB。要得到这组角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，题目还给出AB=BC，且BD是两个三角形的公共边，刚好满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后即可得到对应角∠ADB=∠CDB，最后结合角平分线的性质即可推出PM=PN。
【解析】
因为BD为$∠ABC$的平分线，
所以$∠ABD=∠CBD$。
在$△ABD$和$△CBD$中：
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD\mathrm{(SAS)}$。
所以$∠ADB=∠CDB$，即DB平分$∠ADC$。
因为点P在DB上，$PM⊥AD$于点M，$PN⊥CD$于点N，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM=PN$。
【答案】
$PM=PN$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角平分线的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了全等三角形的判定和角平分线的相关性质，解题的核心思路是先通过全等三角形得到等角，确定角平分线后再利用角平分线的性质得到相等的垂线段，熟练掌握相关定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明PM=PN，可联想角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知，PM、PN分别是点P到∠ADC两边AD、CD的垂线段，因此只需证明BD平分∠ADC，即证∠ADB=∠CDB。要得到这组角相等，可通过证明△ABD和△CBD全等实现：已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，题目还给出AB=BC，且BD是两个三角形的公共边，刚好满足SAS全等判定的条件，证得三角形全等后即可得到对应角∠ADB=∠CDB，最后结合角平分线的性质即可推出PM=PN。
【解析】
因为BD为$∠ABC$的平分线，
所以$∠ABD=∠CBD$。
在$△ABD$和$△CBD$中：
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
所以$△ABD≌△CBD\mathrm{(SAS)}$。
所以$∠ADB=∠CDB$，即DB平分$∠ADC$。
因为点P在DB上，$PM⊥AD$于点M，$PN⊥CD$于点N，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$PM=PN$。
【答案】
$PM=PN$
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角平分线的性质
3. 角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了全等三角形的判定和角平分线的相关性质，解题的核心思路是先通过全等三角形得到等角，确定角平分线后再利用角平分线的性质得到相等的垂线段，熟练掌握相关定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F。若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为
14
。答案
4. 14
解析
【分析】
要求△CDM周长的最小值，首先拆分周长：△CDM的周长=CD+CM+DM。其中CD是固定值，我们只需要求出CM+DM的最小值即可。首先根据EF是AC的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得M在EF上时CM=AM，因此可将CM+DM转化为AM+DM，再根据两点之间线段最短，可知当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，最小值为AD的长度。最后结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求出AD的长度，加上CD的长度即可得到周长的最小值。
【解析】
1. 求固定边CD的长度：
已知BC=4，D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 转化动态线段：
因为EF是AC的垂直平分线，M是EF上的动点，根据线段垂直平分线的性质，可得$CM=AM$，因此$CM+DM=AM+DM$。
3. 求CM+DM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$AM+DM$取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 求AD的长度：
△ABC是等腰三角形，D是BC中点，由等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，即AD是△ABC底边BC上的高。
已知△ABC的面积为24，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$24=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入BC=4，
解得$AD=12$。
5. 计算△CDM周长的最小值：
$△ CDM周长最小值=CD+(CM+DM)最小值=2+12=14$。
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题是典型的将军饮马类最短路径问题，解题的核心是利用垂直平分线的性质将两条动态线段的和转化为两个定点之间的距离，再结合几何性质求出最短长度，对学生的转化思维有一定的要求。
【难度系数】
0.7
要求△CDM周长的最小值，首先拆分周长：△CDM的周长=CD+CM+DM。其中CD是固定值，我们只需要求出CM+DM的最小值即可。首先根据EF是AC的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得M在EF上时CM=AM，因此可将CM+DM转化为AM+DM，再根据两点之间线段最短，可知当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，最小值为AD的长度。最后结合等腰三角形的性质和三角形面积公式求出AD的长度，加上CD的长度即可得到周长的最小值。
【解析】
1. 求固定边CD的长度：
已知BC=4，D是BC的中点，因此$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
2. 转化动态线段：
因为EF是AC的垂直平分线，M是EF上的动点，根据线段垂直平分线的性质，可得$CM=AM$，因此$CM+DM=AM+DM$。
3. 求CM+DM的最小值：
根据两点之间线段最短，当A、M、D三点共线时，$AM+DM$取得最小值，最小值为线段AD的长度。
4. 求AD的长度：
△ABC是等腰三角形，D是BC中点，由等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，即AD是△ABC底边BC上的高。
已知△ABC的面积为24，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，得：
$24=\frac{1}{2}× BC× AD$，代入BC=4，
解得$AD=12$。
5. 计算△CDM周长的最小值：
$△ CDM周长最小值=CD+(CM+DM)最小值=2+12=14$。
【答案】
14
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；最短路径问题
【点评】
本题是典型的将军饮马类最短路径问题，解题的核心是利用垂直平分线的性质将两条动态线段的和转化为两个定点之间的距离，再结合几何性质求出最短长度，对学生的转化思维有一定的要求。
【难度系数】
0.7
5. 未来计算机的发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（
）
）答案
5. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形的判定标准：平面内一个图形沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。解题时我们只需要依次对四个选项的图案进行判断，看是否存在这样的直线能让图案折叠后两边完全重合，即可选出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
选项A：眼控的图案沿过图形中心的竖直线折叠，直线左右两侧的眼睛、下方的点状图案都能完全重合，是轴对称图形；
选项B：声控图案内部的折线波形不对称，沿任意直线折叠后两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；
选项C：人脸识别的图案沿任意直线折叠后，两侧的图案都不能完全重合，不是轴对称图形；
选项D：多点触控的手形图案中手指长度不一致，沿任意直线折叠后两侧无法完全重合，不是轴对称图形。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合前沿科技的交互图标考查轴对称图形的相关知识，题型新颖，贴近生活，核心考查对轴对称图形定义的理解与应用。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形的判定标准：平面内一个图形沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。解题时我们只需要依次对四个选项的图案进行判断，看是否存在这样的直线能让图案折叠后两边完全重合，即可选出正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
选项A：眼控的图案沿过图形中心的竖直线折叠，直线左右两侧的眼睛、下方的点状图案都能完全重合，是轴对称图形；
选项B：声控图案内部的折线波形不对称，沿任意直线折叠后两侧都无法完全重合，不是轴对称图形；
选项C：人脸识别的图案沿任意直线折叠后，两侧的图案都不能完全重合，不是轴对称图形；
选项D：多点触控的手形图案中手指长度不一致，沿任意直线折叠后两侧无法完全重合，不是轴对称图形。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合前沿科技的交互图标考查轴对称图形的相关知识，题型新颖，贴近生活，核心考查对轴对称图形定义的理解与应用。
【难度系数】
0.9
6.如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个灰色小正方形，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂灰，使得四个灰色小正方形组成轴对称图形。
答案
6. 解：如图所示。(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们可以按以下步骤思考：①先观察现有3个灰色小正方形的位置，尝试寻找可能的对称轴，常见的有水平直线、竖直直线、沿网格对角线方向的斜直线几类；②确定好对称轴后，找到补涂后能让4个灰色正方形整体沿对称轴对折完全重合的空白小正方形；③三个图分别选择不同的对称轴，就能得到三种不同的符合要求的涂法。
【解析】
首先明确轴对称图形的判定规则：若图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形。
1. 处理图1：可选择竖直方向的直线作为对称轴，找到与现有灰色正方形关于该对称轴对称的空白正方形涂灰，使4个灰色正方形沿这条竖直线对折后完全重合。
2. 处理图2：可选择左上到右下方向的斜直线作为对称轴，找到对应空白正方形涂灰，使整体沿这条斜直线对折后重合。
3. 处理图3：可选择水平方向的直线作为对称轴，找到对应空白正方形涂灰，使整体沿这条水平线对折后重合。
注：答案不唯一，只要涂完后四个灰色正方形组成轴对称图形即可。
【答案】
如图所示。(答案不唯一)
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称的性质
3. 网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称图形概念的理解与应用，需要结合网格特征寻找合适的对称轴，再确定补涂的位置，解题时可以多尝试不同方向的对称轴，即可得到多种符合要求的答案，能有效锻炼空间想象能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆轴对称图形的定义：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。我们可以按以下步骤思考：①先观察现有3个灰色小正方形的位置，尝试寻找可能的对称轴，常见的有水平直线、竖直直线、沿网格对角线方向的斜直线几类；②确定好对称轴后，找到补涂后能让4个灰色正方形整体沿对称轴对折完全重合的空白小正方形；③三个图分别选择不同的对称轴，就能得到三种不同的符合要求的涂法。
【解析】
首先明确轴对称图形的判定规则：若图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形。
1. 处理图1：可选择竖直方向的直线作为对称轴，找到与现有灰色正方形关于该对称轴对称的空白正方形涂灰，使4个灰色正方形沿这条竖直线对折后完全重合。
2. 处理图2：可选择左上到右下方向的斜直线作为对称轴，找到对应空白正方形涂灰，使整体沿这条斜直线对折后重合。
3. 处理图3：可选择水平方向的直线作为对称轴，找到对应空白正方形涂灰，使整体沿这条水平线对折后重合。
注：答案不唯一，只要涂完后四个灰色正方形组成轴对称图形即可。
【答案】
如图所示。(答案不唯一)
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 轴对称的性质
3. 网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称图形概念的理解与应用，需要结合网格特征寻找合适的对称轴，再确定补涂的位置，解题时可以多尝试不同方向的对称轴，即可得到多种符合要求的答案，能有效锻炼空间想象能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
