1.如图，该图案可以看作由其中一个菱形至少经过次旋转得到的，旋转角的大小是。

$\boldsymbol{5}$；$\boldsymbol{60°}$（或$60°、120°、180°、240°、300°$）

解：观察图形可知，该图案共由6个完全相同的菱形围绕公共中心构成。
周角为$360°$，相邻两个菱形绕公共中心的最小旋转夹角为 $ 360° ÷ 6 = 60° $。
除去作为初始图形的1个菱形，剩余5个菱形均可通过旋转得到，因此该图案可以看作由其中一个菱形至少经过5次旋转得到，旋转角的大小是$60°$（或$60°$的正整数倍）。

2.如图，$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$37°$后得到$△ A'B'C$.若$A'B'⊥ AC$于点$D$,则$∠ A=$.

$\boldsymbol{53°}$

解：
由旋转的性质可知：
∠A = ∠A'，旋转角∠ACA' = 37°。
因为A'B'⊥AC，所以∠A'DC = 90°。
在Rt△A'DC中，∠A' = 90° - ∠ACA' = 90° - 37° = 53°。
因此∠A = ∠A' = 53°。

3.如图,在$4×4$的正方形网格中,$△ MPN$绕某一点旋转某一角度得到$△ M'P'N'$,则旋转中心可能是点.

解：根据旋转的性质，旋转中心到各组对应点的距离相等。
分别验证点A、B、C、D到对应点N与N'、P与P'、M与M'的距离：
1. 点A到点N、N'的距离不相等，不符合要求；
2. 点B到点M与M'、P与P'、N与N'的距离分别相等，符合旋转中心的性质；
3. 点C到点M、M'的距离不相等，不符合要求；
4. 点D到点P、P'的距离不相等，不符合要求。
因此旋转中心可能是点$\boldsymbol{B}$。

4.利用旋转可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形网格纸中，有图示直角三角形（顶点都在格点上），请选择不同的旋转中心，以$90°$为旋转角进行四次旋转变换，在以下两张网格纸中画出设计图案。

解：
方案1（绘制在左侧第一张网格）：
选取原直角三角形的直角顶点作为旋转中心，将已知直角三角形绕该点按顺时针方向旋转90°，得到第1个变换后的三角形；将所得新三角形继续绕同一点顺时针旋转90°，得到第2个变换后的三角形；重复上述操作完成第3次、第4次90°旋转变换，第4次变换后三角形与初始原三角形重合，最终得到由4个全等直角三角形环绕旋转中心组成的风车形中心对称图案。
方案2（绘制在右侧第二张网格）：
选取原直角三角形斜边的左端点格点作为旋转中心，将已知直角三角形绕该点按逆时针方向旋转90°，依次完成四次90°旋转变换，第4次变换后三角形与初始原三角形重合，最终得到以该点为公共顶点、四个直角三角形依次垂直排布的中心对称图案。
（注：图案设计为开放形式，只要两个图案选取不同旋转中心，每次旋转角为90°，完成四次旋转变换得到对称图案均符合要求）

5. 提升题 如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△DAE逆时针旋转得到的图形.
（1）旋转中心是点，旋转角度是，∠EDM=；
（2）若∠EDF = 45°，求△BEF 的周长.

解：
(1) 旋转中心是点$\boldsymbol{D}$，旋转角度是$\boldsymbol{90°}$，$∠ EDM=\boldsymbol{90°}$；
(2) 由旋转的性质可得：$DE=DM$，$AE=CM$，$∠ EDM=∠ ADC=90°$。
$\because ∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ FDM=∠ EDM-∠ EDF=90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ EDF=∠ FDM$。
在$△ EDF$和$△ MDF$中：
$\begin{cases}DE=DM \\∠ EDF=∠ MDF \\DF=DF\end{cases}$
$\therefore △ EDF ≌ △ MDF \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EF=FM$。
又$\because FM=FC+CM$，且$CM=AE$，
$\therefore EF=FC+AE$。
$△ BEF$的周长为：
$BE+EF+BF=BE+AE+FC+BF=(BE+AE)+(BF+FC)=AB+BC$。
$\because$ 正方形$ABCD$的边长为$1$，即$AB=BC=1$，
$\therefore △ BEF$的周长为$1+1=2$。
答：$△ BEF$的周长为$2$。