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例1 计算：
(1)$(-2)^4$；
(2)$-3^4$；
(3)$(\dfrac{4}{5})^3$。
【反思】①乘方是一种运算，是特殊的乘法（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果；②因为$a^n$表示$n$个$a$相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算。
(1)$(-2)^4$；
(2)$-3^4$；
(3)$(\dfrac{4}{5})^3$。
【反思】①乘方是一种运算，是特殊的乘法（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果；②因为$a^n$表示$n$个$a$相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算。
答案
(1)原式=$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$。
(2)原式=$-(3×3×3×3)=-81$。
(3)原式=$\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}=\dfrac{64}{125}$。
(2)原式=$-(3×3×3×3)=-81$。
(3)原式=$\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}=\dfrac{64}{125}$。
解析
【分析】
解决本题首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，解题时先准确识别每个乘方的底数：①$(-2)^4$的底数是-2，代表4个-2相乘；②$-3^4$的底数是3，代表4个3相乘的相反数；③$(\dfrac{4}{5})^3$的底数是$\dfrac{4}{5}$，代表3个$\dfrac{4}{5}$相乘，再将乘方转化为有理数乘法计算即可，计算时注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$(-2)^4$表示4个-2相乘：
原式=$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$
(2) $-3^4$表示3的4次方的相反数，先计算3的4次方：
原式=$-(3×3×3×3)=-81$
(3) $(\dfrac{4}{5})^3$表示3个$\dfrac{4}{5}$相乘：
原式=$\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}=\dfrac{4×4×4}{5×5×5}=\dfrac{64}{125}$
【答案】
(1)$16$；(2)$-81$；(3)$\dfrac{64}{125}$
【知识点】
乘方的意义、有理数乘方运算、有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查对乘方定义的理解，重点需要区分底数是否带括号的情况，避免出现符号运算错误，掌握乘方转乘法的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确乘方的意义：$a^n$表示n个a相乘，解题时先准确识别每个乘方的底数：①$(-2)^4$的底数是-2，代表4个-2相乘；②$-3^4$的底数是3，代表4个3相乘的相反数；③$(\dfrac{4}{5})^3$的底数是$\dfrac{4}{5}$，代表3个$\dfrac{4}{5}$相乘，再将乘方转化为有理数乘法计算即可，计算时注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$(-2)^4$表示4个-2相乘：
原式=$(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$
(2) $-3^4$表示3的4次方的相反数，先计算3的4次方：
原式=$-(3×3×3×3)=-81$
(3) $(\dfrac{4}{5})^3$表示3个$\dfrac{4}{5}$相乘：
原式=$\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}×\dfrac{4}{5}=\dfrac{4×4×4}{5×5×5}=\dfrac{64}{125}$
【答案】
(1)$16$；(2)$-81$；(3)$\dfrac{64}{125}$
【知识点】
乘方的意义、有理数乘方运算、有理数乘法运算
【点评】
本题是乘方运算的基础题型，核心考查对乘方定义的理解，重点需要区分底数是否带括号的情况，避免出现符号运算错误，掌握乘方转乘法的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
例2 太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为（
A.$1.5×10^{8}$
B.$15×10^{7}$
C.$1.5×10^{7}$
D.$0.15×10^{9}$
【反思】用科学记数法表示，关键是确定$a$和10的指数。确定10的指数有两种方法。方法1：把已知数的小数点向左移动几位（保留一位整数位数），就乘10的几次方；方法2：查出已知数的整数部分的位数，整数部分的位数减去1，就等于10的指数。
A
）A.$1.5×10^{8}$
B.$15×10^{7}$
C.$1.5×10^{7}$
D.$0.15×10^{9}$
【反思】用科学记数法表示，关键是确定$a$和10的指数。确定10的指数有两种方法。方法1：把已知数的小数点向左移动几位（保留一位整数位数），就乘10的几次方；方法2：查出已知数的整数部分的位数，整数部分的位数减去1，就等于10的指数。
答案
A
解析
【分析】
这道题考查科学记数法的表示方法，解题时首先要明确科学记数法的标准形式是$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。我们可以分两步解题：第一步先确定$a$的取值，把原数的小数点向左移动，直到只剩一位非零整数，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向左移动的位数就是$n$，也可以用原数的整数位数减1得到$n$，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将150000000的小数点向左移动8位，得到$a=1.5$，符合$1≤1.5＜10$的要求。
2. 确定$n$的值：小数点向左移动了8位，所以$n=8$；也可以通过整数位数计算：150000000的整数部分共9位，所以$n=9-1=8$。
因此150000000用科学记数法表示为$1.5×10^8$。
验证其余选项：B选项$a=15$不满足$1≤|a|＜10$，C选项指数为7对应数值为15000000与原数不符，D选项$a=0.15$不满足$1≤|a|＜10$，均错误。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，掌握$a$的取值范围和$n$的计算方法即可快速作答，注意不要混淆指数的计算规则。
【难度系数】
0.9
这道题考查科学记数法的表示方法，解题时首先要明确科学记数法的标准形式是$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为正整数。我们可以分两步解题：第一步先确定$a$的取值，把原数的小数点向左移动，直到只剩一位非零整数，得到的数就是$a$；第二步确定$n$的值，小数点向左移动的位数就是$n$，也可以用原数的整数位数减1得到$n$，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将150000000的小数点向左移动8位，得到$a=1.5$，符合$1≤1.5＜10$的要求。
2. 确定$n$的值：小数点向左移动了8位，所以$n=8$；也可以通过整数位数计算：150000000的整数部分共9位，所以$n=9-1=8$。
因此150000000用科学记数法表示为$1.5×10^8$。
验证其余选项：B选项$a=15$不满足$1≤|a|＜10$，C选项指数为7对应数值为15000000与原数不符，D选项$a=0.15$不满足$1≤|a|＜10$，均错误。
【答案】
A
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，掌握$a$的取值范围和$n$的计算方法即可快速作答，注意不要混淆指数的计算规则。
【难度系数】
0.9
例3 计算:
(1)$7+(-15)-2×(-9)$;
(2)$-0.25^2÷(-\dfrac{1}{2})^3×(-1)^{2027}+(-2)^2×(-3)^2$;
(3)$2×[5+(-2)^3]-(-|-4|)÷\dfrac{1}{2}$。
【反思】学好有理数的混合运算需过四关:符号关、转化关、运算顺序关和运算律关。在计算的过程中,要注意根据运算的法则,先确定符号,再算绝对值;要注意根据算式的特点,适时地化减为加、化除为乘、化带分数为假分数、化小数为分数等。
(1)$7+(-15)-2×(-9)$;
(2)$-0.25^2÷(-\dfrac{1}{2})^3×(-1)^{2027}+(-2)^2×(-3)^2$;
(3)$2×[5+(-2)^3]-(-|-4|)÷\dfrac{1}{2}$。
【反思】学好有理数的混合运算需过四关:符号关、转化关、运算顺序关和运算律关。在计算的过程中,要注意根据运算的法则,先确定符号,再算绝对值;要注意根据算式的特点,适时地化减为加、化除为乘、化带分数为假分数、化小数为分数等。
答案
(1)原式=$7-15+18=10$。
(2)原式=$-(\dfrac{1}{4})^2÷(-\dfrac{1}{8})×(-1)+4×9$
$=-\dfrac{1}{16}×8×1+4×9$
$=-\dfrac{1}{2}+36=35\dfrac{1}{2}$。
(3)原式=$2×(5-8)-(-4÷\dfrac{1}{2})=-6-(-8)=2$。
(2)原式=$-(\dfrac{1}{4})^2÷(-\dfrac{1}{8})×(-1)+4×9$
$=-\dfrac{1}{16}×8×1+4×9$
$=-\dfrac{1}{2}+36=35\dfrac{1}{2}$。
(3)原式=$2×(5-8)-(-4÷\dfrac{1}{2})=-6-(-8)=2$。
解析
【分析】
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内运算”的顺序，计算时首先要准确判断每一步的符号，再计算绝对值，遇到除法可转化为乘法简化计算。
(1) 题无乘方，先算乘法，再按从左到右顺序算加减即可，注意负负得正的符号规则；
(2) 题先计算所有乘方项，再把除法转化为乘法，先算乘除部分，最后算加减部分，注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正；
(3) 题先算乘方和绝对值，再算括号内运算，接着算乘除，最后算加减，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 先计算乘法：$2×(-9)=-18$，减去负数等于加它的相反数，因此
原式=$7-15+18$
=$-8+18$
=$10$
(2) 先计算各乘方项：$-0.25^2=-(\frac{1}{4})^2=-\frac{1}{16}$，$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，$(-1)^{2027}=-1$，$(-2)^2=4$，$(-3)^2=9$，再将除法转化为乘法，因此
原式=$-\frac{1}{16}÷(-\frac{1}{8})×(-1)+4×9$
=$-\frac{1}{16}×8×1+36$
=$-\frac{1}{2}+36$
=$35\frac{1}{2}$
(3) 先计算乘方和绝对值：$(-2)^3=-8$，$|-4|=4$，再算括号内运算，因此
原式=$2×(5-8)-(-4)÷\frac{1}{2}$
=$2×(-3)+4×2$
=$-6+8$
=$2$
【答案】
(1)$10$；(2)$35\dfrac{1}{2}$；(3)$2$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，计算时要严格遵循运算顺序，尤其要注意负数乘方、去括号时的符号判断，避免因符号失误丢分，熟练掌握运算规则后可大幅提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内运算”的顺序，计算时首先要准确判断每一步的符号，再计算绝对值，遇到除法可转化为乘法简化计算。
(1) 题无乘方，先算乘法，再按从左到右顺序算加减即可，注意负负得正的符号规则；
(2) 题先计算所有乘方项，再把除法转化为乘法，先算乘除部分，最后算加减部分，注意负数的奇次幂为负、偶次幂为正；
(3) 题先算乘方和绝对值，再算括号内运算，接着算乘除，最后算加减，注意去括号时的符号变化。
【解析】
(1) 先计算乘法：$2×(-9)=-18$，减去负数等于加它的相反数，因此
原式=$7-15+18$
=$-8+18$
=$10$
(2) 先计算各乘方项：$-0.25^2=-(\frac{1}{4})^2=-\frac{1}{16}$，$(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}$，$(-1)^{2027}=-1$，$(-2)^2=4$，$(-3)^2=9$，再将除法转化为乘法，因此
原式=$-\frac{1}{16}÷(-\frac{1}{8})×(-1)+4×9$
=$-\frac{1}{16}×8×1+36$
=$-\frac{1}{2}+36$
=$35\frac{1}{2}$
(3) 先计算乘方和绝对值：$(-2)^3=-8$，$|-4|=4$，再算括号内运算，因此
原式=$2×(5-8)-(-4)÷\frac{1}{2}$
=$2×(-3)+4×2$
=$-6+8$
=$2$
【答案】
(1)$10$；(2)$35\dfrac{1}{2}$；(3)$2$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值化简
【点评】
本题重点考察有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，计算时要严格遵循运算顺序，尤其要注意负数乘方、去括号时的符号判断，避免因符号失误丢分，熟练掌握运算规则后可大幅提升计算准确率。
【难度系数】
0.7
1. $-5^8$表示（
A.8个-5相乘
B.5个-8相乘
C.8个5相乘的相反数
D.5个8相乘的相反数
C
）A.8个-5相乘
B.5个-8相乘
C.8个5相乘的相反数
D.5个8相乘的相反数
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数乘方的定义和运算优先级，注意区分负号是否在乘方的括号内：没有括号时，负号不属于乘方的底数，要先计算乘方，再添加负号。首先回忆$a^n$的意义是n个a相乘，由此先判断$5^8$的含义，再分析带负号后的意义，最后逐一匹配选项即可。
【解析】
根据有理数乘方的运算规则，无括号时乘方运算优先级高于负号，因此先计算$5^8$，再取相反数：
1. $5^8$的意义是8个5相乘，因此$-5^8$表示8个5相乘的相反数。
2. 逐一分析选项：
A选项：8个-5相乘应写作$(-5)^8$，不符合题意；
B选项：5个-8相乘应写作$(-8)^5$，不符合题意；
C选项：8个5相乘的相反数即为$-5^8$，符合题意；
D选项：5个8相乘的相反数应写作$-8^5$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数运算顺序
【点评】
本题的易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的含义，要注意$(-a)^n$表示n个-a相乘，$-a^n$表示n个a相乘的相反数，做题时需仔细观察负号是否在括号内，避免因看错底数出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确有理数乘方的定义和运算优先级，注意区分负号是否在乘方的括号内：没有括号时，负号不属于乘方的底数，要先计算乘方，再添加负号。首先回忆$a^n$的意义是n个a相乘，由此先判断$5^8$的含义，再分析带负号后的意义，最后逐一匹配选项即可。
【解析】
根据有理数乘方的运算规则，无括号时乘方运算优先级高于负号，因此先计算$5^8$，再取相反数：
1. $5^8$的意义是8个5相乘，因此$-5^8$表示8个5相乘的相反数。
2. 逐一分析选项：
A选项：8个-5相乘应写作$(-5)^8$，不符合题意；
B选项：5个-8相乘应写作$(-8)^5$，不符合题意；
C选项：8个5相乘的相反数即为$-5^8$，符合题意；
D选项：5个8相乘的相反数应写作$-8^5$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；有理数运算顺序
【点评】
本题的易错点是混淆带括号和不带括号的乘方的含义，要注意$(-a)^n$表示n个-a相乘，$-a^n$表示n个a相乘的相反数，做题时需仔细观察负号是否在括号内，避免因看错底数出错。
【难度系数】
0.7
2. 地球绕太阳运转，每小时经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为（
A.$11×10^4$
B.$0.11×10^7$
C.$1.1×10^6$
D.$1.1×10^5$
D
）A.$11×10^4$
B.$0.11×10^7$
C.$1.1×10^6$
D.$1.1×10^5$
答案
D
解析
【分析】
要解决科学记数法的表示问题，首先要明确科学记数法的规范形式：$a×10^n$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时第一步先确定符合取值范围的$a$的值，第二步根据原数的大小确定$n$的值，再对应匹配选项即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将110000调整为满足$1≤ a＜10$的数，可得$a=1.1$；
2. 确定$n$的值：观察原数110000，将小数点从原数末尾向左移动5位可得到1.1，因此$n=5$；
综上，110000用科学记数法表示为$1.1×10^5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，掌握$a$的取值要求和$n$的确定方法是解题的核心，属于基础概念考查题型。
【难度系数】
0.9
要解决科学记数法的表示问题，首先要明确科学记数法的规范形式：$a×10^n$，其中需满足$1≤|a|＜10$，$n$为整数。解题时第一步先确定符合取值范围的$a$的值，第二步根据原数的大小确定$n$的值，再对应匹配选项即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中要求$1≤|a|＜10$，$n$为整数。
1. 确定$a$的值：将110000调整为满足$1≤ a＜10$的数，可得$a=1.1$；
2. 确定$n$的值：观察原数110000，将小数点从原数末尾向左移动5位可得到1.1，因此$n=5$；
综上，110000用科学记数法表示为$1.1×10^5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题考查科学记数法的基础应用，掌握$a$的取值要求和$n$的确定方法是解题的核心，属于基础概念考查题型。
【难度系数】
0.9
3. 定义一种新运算 $a*b=a^2 - 2ab$，则 $5*(-3)$ 的值为（
A.40
B.45
C.50
D.55
D
）A.40
B.45
C.50
D.55
答案
D
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路分两步：第一步先明确新运算的规则，本题中$a*b$表示第一个数的平方减去这两个数乘积的2倍；第二步确定所求式子中对应新运算里$a$和$b$的取值，即$a=5$，$b=-3$，将数值代入规则后按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘法，最后加减）计算即可，计算时要注意负数参与乘法运算的符号判断。
【解析】
根据新运算规则$a*b=a^2 - 2ab$，计算$5*(-3)$时，取$a=5$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}5*(-3)&=5^2 - 2×5×(-3)\\&=25 - (-30)\\&=25+30\\&=55\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的计算准确度，解题的关键是找准对应参数，代入数值时注意符号不要出错，严格按照运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题思路分两步：第一步先明确新运算的规则，本题中$a*b$表示第一个数的平方减去这两个数乘积的2倍；第二步确定所求式子中对应新运算里$a$和$b$的取值，即$a=5$，$b=-3$，将数值代入规则后按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘法，最后加减）计算即可，计算时要注意负数参与乘法运算的符号判断。
【解析】
根据新运算规则$a*b=a^2 - 2ab$，计算$5*(-3)$时，取$a=5$，$b=-3$，代入得：
$\begin{aligned}5*(-3)&=5^2 - 2×5×(-3)\\&=25 - (-30)\\&=25+30\\&=55\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查对新运算规则的理解能力和有理数运算的计算准确度，解题的关键是找准对应参数，代入数值时注意符号不要出错，严格按照运算顺序计算即可。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算结果正确的有 (
①$-2^2 ÷ (-2)^3 = 1$；②$-5 ÷ \frac{1}{3} × \frac{3}{5} = -25$；
③$-18 ÷ 6 ÷ 2 = -6$；④$-1^3 - (-1)^2 = -2$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)①$-2^2 ÷ (-2)^3 = 1$；②$-5 ÷ \frac{1}{3} × \frac{3}{5} = -25$；
③$-18 ÷ 6 ÷ 2 = -6$；④$-1^3 - (-1)^2 = -2$。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需逐个验证4个式子的计算是否正确，要牢记有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；同时要注意带负号的乘方的符号判定，比如$-a^n$和$(-a)^n$的结果区别，避免符号和运算顺序出错。
【解析】
我们逐个计算每个式子：
① 先算乘方：$-2^2=-4$，$(-2)^3=-8$，再算除法：$-4÷(-8)=\frac{1}{2}≠1$，故①错误；
② 同级运算从左到右计算：$-5÷\frac{1}{3}×\frac{3}{5}=-5×3×\frac{3}{5}=-9≠-25$，故②错误；
③ 同级运算从左到右计算：$-18÷6÷2=-3÷2=-\frac{3}{2}≠-6$，故③错误；
④ 先算乘方：$-1^3=-1$，$(-1)^2=1$，再算加减：$-1 - 1=-2$，故④正确。
综上，只有1个计算结果正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查运算顺序的掌握和符号的处理，答题时要特别注意区分负号在乘方中的位置，同级运算严格按照从左到右的顺序计算，避免因运算规则不熟练导致失分。
【难度系数】
0.6
本题考查有理数的混合运算，解题时需逐个验证4个式子的计算是否正确，要牢记有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；同时要注意带负号的乘方的符号判定，比如$-a^n$和$(-a)^n$的结果区别，避免符号和运算顺序出错。
【解析】
我们逐个计算每个式子：
① 先算乘方：$-2^2=-4$，$(-2)^3=-8$，再算除法：$-4÷(-8)=\frac{1}{2}≠1$，故①错误；
② 同级运算从左到右计算：$-5÷\frac{1}{3}×\frac{3}{5}=-5×3×\frac{3}{5}=-9≠-25$，故②错误；
③ 同级运算从左到右计算：$-18÷6÷2=-3÷2=-\frac{3}{2}≠-6$，故③错误；
④ 先算乘方：$-1^3=-1$，$(-1)^2=1$，再算加减：$-1 - 1=-2$，故④正确。
综上，只有1个计算结果正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查运算顺序的掌握和符号的处理，答题时要特别注意区分负号在乘方中的位置，同级运算严格按照从左到右的顺序计算，避免因运算规则不熟练导致失分。
【难度系数】
0.6
