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探究2：若二次三项式$2x^2 + bx -5$可分解为$(2x -1)(x +5)$，求$b$的值。
答案
探究2 b=9。
解析
【分析】
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系解题。首先，因式分解的结果是两个整式的乘积，将这个乘积展开后得到的多项式应该和原式完全相等，两个多项式相等时对应同类项的系数相等，因此我们只需要把右侧的$(2x-1)(x+5)$展开，找到一次项的系数，就能得到$b$的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(2x -1)(x +5)$：
$\begin{aligned}(2x -1)(x +5) &= 2x· x + 2x×5 -1· x -1×5 \\&= 2x^2 + 10x -x -5 \\&= 2x^2 +9x -5\end{aligned}$
由题意可知$2x^2 + bx -5 = 2x^2 +9x -5$，两个多项式相等则对应同类项的系数相等，因此一次项系数$b=9$。
【答案】
$b=9$
【知识点】
多项式乘法运算、因式分解与整式乘法的互逆性、多项式相等的条件
【点评】
本题是典型的利用互逆运算求解参数的题目，解题核心是明确因式分解是整式乘法的逆运算，分解后的乘积展开后与原式完全相同，通过对应系数匹配即可求出未知参数，计算时注意多项式乘法的符号不要出错。
【难度系数】
0.85
本题可利用因式分解与整式乘法的互逆关系解题。首先，因式分解的结果是两个整式的乘积，将这个乘积展开后得到的多项式应该和原式完全相等，两个多项式相等时对应同类项的系数相等，因此我们只需要把右侧的$(2x-1)(x+5)$展开，找到一次项的系数，就能得到$b$的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(2x -1)(x +5)$：
$\begin{aligned}(2x -1)(x +5) &= 2x· x + 2x×5 -1· x -1×5 \\&= 2x^2 + 10x -x -5 \\&= 2x^2 +9x -5\end{aligned}$
由题意可知$2x^2 + bx -5 = 2x^2 +9x -5$，两个多项式相等则对应同类项的系数相等，因此一次项系数$b=9$。
【答案】
$b=9$
【知识点】
多项式乘法运算、因式分解与整式乘法的互逆性、多项式相等的条件
【点评】
本题是典型的利用互逆运算求解参数的题目，解题核心是明确因式分解是整式乘法的逆运算，分解后的乘积展开后与原式完全相同，通过对应系数匹配即可求出未知参数，计算时注意多项式乘法的符号不要出错。
【难度系数】
0.85
探究3：已知二次三项式$2x^2 +5x -k$有一个因式是$2x -3$，求另一个因式以及k的值。
答案
探究3 另一个因式为$x+4$，k的值为12。
解析
【分析】
二次三项式分解后是两个一次因式的乘积，已知其中一个一次因式为$2x-3$，原式二次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数应为1（保证两个因式相乘后二次项为$2x^2$）。我们可以设另一个因式为$x+a$，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将两个因式相乘展开后，和原式的对应项系数相等，即可列方程求出a和k的值。
【解析】
解：设另一个因式为$x+a$，由题意得：
$2x^2 + 5x - k = (2x - 3)(x + a)$
展开等式右边的整式乘法：
$(2x - 3)(x + a) = 2x^2 + 2ax - 3x - 3a = 2x^2 + (2a - 3)x - 3a$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
① 一次项系数：$2a - 3 = 5$
解得：$2a = 8$，$a = 4$
② 常数项：$-3a = -k$
将$a=4$代入得：$-3×4 = -k$，解得$k = 12$
因此另一个因式为$x+4$。
【答案】
另一个因式为$x+4$，k的值为12。
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 待定系数法
3. 多项式相等性质
【点评】
本题是因式分解相关的典型基础题型，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，通过设未知因式、利用对应系数相等列方程的方法求解，能很好地检验学生对整式乘法运算和待定系数法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
二次三项式分解后是两个一次因式的乘积，已知其中一个一次因式为$2x-3$，原式二次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数应为1（保证两个因式相乘后二次项为$2x^2$）。我们可以设另一个因式为$x+a$，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将两个因式相乘展开后，和原式的对应项系数相等，即可列方程求出a和k的值。
【解析】
解：设另一个因式为$x+a$，由题意得：
$2x^2 + 5x - k = (2x - 3)(x + a)$
展开等式右边的整式乘法：
$(2x - 3)(x + a) = 2x^2 + 2ax - 3x - 3a = 2x^2 + (2a - 3)x - 3a$
根据多项式相等时对应项系数相等，可得：
① 一次项系数：$2a - 3 = 5$
解得：$2a = 8$，$a = 4$
② 常数项：$-3a = -k$
将$a=4$代入得：$-3×4 = -k$，解得$k = 12$
因此另一个因式为$x+4$。
【答案】
另一个因式为$x+4$，k的值为12。
【知识点】
1. 整式乘法运算
2. 待定系数法
3. 多项式相等性质
【点评】
本题是因式分解相关的典型基础题型，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，通过设未知因式、利用对应系数相等列方程的方法求解，能很好地检验学生对整式乘法运算和待定系数法的掌握程度。
【难度系数】
0.7
1. 下列各数能整除$(-8)^{2027}+(-8)^{2026}$的是（
A.3
B.5
C.7
D.9
C
）A.3
B.5
C.7
D.9
答案
1. C
解析
【分析】
观察所求算式是两个底数相同、指数相邻的幂相加的形式，可优先运用提公因式法对算式进行因式分解，提取次数更低的公因式$(-8)^{2026}$，再对剩余部分化简，最后判断化简结果能被哪个选项中的数整除即可。
【解析】
对$(-8)^{2027}+(-8)^{2026}$因式分解：
$\begin{aligned}(-8)^{2027}+(-8)^{2026}&=(-8)^{2026}×(-8) + (-8)^{2026}×1\\&=(-8)^{2026}×(-8+1)\\&=(-8)^{2026}×(-7)\\&=7×8^{2026}\end{aligned}$
因为$8^{2026}$是整数，所以$7×8^{2026}$是7的倍数，能被7整除。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；有理数乘方的性质
【点评】
本题考查因式分解在整除判断问题中的应用，通过提取公因式可以将高次幂的复杂运算转化为简单的乘法形式，从而快速判断整除性，解题的关键是准确找到公因式，注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
观察所求算式是两个底数相同、指数相邻的幂相加的形式，可优先运用提公因式法对算式进行因式分解，提取次数更低的公因式$(-8)^{2026}$，再对剩余部分化简，最后判断化简结果能被哪个选项中的数整除即可。
【解析】
对$(-8)^{2027}+(-8)^{2026}$因式分解：
$\begin{aligned}(-8)^{2027}+(-8)^{2026}&=(-8)^{2026}×(-8) + (-8)^{2026}×1\\&=(-8)^{2026}×(-8+1)\\&=(-8)^{2026}×(-7)\\&=7×8^{2026}\end{aligned}$
因为$8^{2026}$是整数，所以$7×8^{2026}$是7的倍数，能被7整除。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；有理数乘方的性质
【点评】
本题考查因式分解在整除判断问题中的应用，通过提取公因式可以将高次幂的复杂运算转化为简单的乘法形式，从而快速判断整除性，解题的关键是准确找到公因式，注意符号的处理。
【难度系数】
0.7
2. 利用因式分解简便计算$57×99+44×99-99$正确的是（
A.$99×(57+44)=99×101=9\ 999$
B.$99×(57+44-1)=99×100=9\ 900$
C.$99×(57+44+1)=99×102=10\ 098$
D.$99×(57+44-99)=99×2=198$
B
）A.$99×(57+44)=99×101=9\ 999$
B.$99×(57+44-1)=99×100=9\ 900$
C.$99×(57+44+1)=99×102=10\ 098$
D.$99×(57+44-99)=99×2=198$
答案
2. B
解析
【分析】
这道题考查利用提取公因式法进行简便运算，解题时首先观察算式的结构，发现三项中都含有公因数99，注意最后一项的-99可以转化为-99×1的形式，提取公因式99后，只需将剩下的系数相加减，再计算乘积即可简化运算，避免分别计算乘法再加减的复杂计算。
【解析】
观察算式$57×99+44×99-99$，可将最后一项$-99$变形为$-99×1$，此时三项的公因式为99。
根据提取公因式的规则，提取公因式99后可得：
原式$=99×57 + 99×44 + 99×(-1)=99×(57+44-1)$
先计算括号内的运算：$57+44-1=100$
再计算乘法：$99×100=9900$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式法；因式分解的应用
【点评】
本题是利用因式分解简化运算的基础题，易错点是容易忽略原式最后一项-99对应的系数为-1，提取公因式后漏写减1，导致计算结果错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查利用提取公因式法进行简便运算，解题时首先观察算式的结构，发现三项中都含有公因数99，注意最后一项的-99可以转化为-99×1的形式，提取公因式99后，只需将剩下的系数相加减，再计算乘积即可简化运算，避免分别计算乘法再加减的复杂计算。
【解析】
观察算式$57×99+44×99-99$，可将最后一项$-99$变形为$-99×1$，此时三项的公因式为99。
根据提取公因式的规则，提取公因式99后可得：
原式$=99×57 + 99×44 + 99×(-1)=99×(57+44-1)$
先计算括号内的运算：$57+44-1=100$
再计算乘法：$99×100=9900$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式法；因式分解的应用
【点评】
本题是利用因式分解简化运算的基础题，易错点是容易忽略原式最后一项-99对应的系数为-1，提取公因式后漏写减1，导致计算结果错误。
【难度系数】
0.8
3. 把$x^2+5x+c$因式分解，得$(x+2)(x+3)$，则$c$的值为
6
。答案
3. 6
解析
【分析】
解题思路：因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，已知因式分解的结果，我们可以将右边的两个一次多项式相乘展开，再和原式对比，根据对应项系数相等即可求出c的值。具体步骤为：先利用多项式乘多项式的法则计算$(x+2)(x+3)$，再将展开后的结果与$x^2+5x+c$的常数项作对应，即可得到c的取值。
【解析】
首先展开因式分解的结果：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 + 3x + 2x + 6\\&=x^2 +5x +6\end{aligned}$
由题意可知$x^2 +5x +c = (x+2)(x+3) = x^2 +5x +6$
两个多项式相等时对应项系数相等，因此常数项$c=6$。
【答案】
6
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性，多项式乘多项式法则
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题思路：因式分解与整式乘法是互逆的变形过程，已知因式分解的结果，我们可以将右边的两个一次多项式相乘展开，再和原式对比，根据对应项系数相等即可求出c的值。具体步骤为：先利用多项式乘多项式的法则计算$(x+2)(x+3)$，再将展开后的结果与$x^2+5x+c$的常数项作对应，即可得到c的取值。
【解析】
首先展开因式分解的结果：
根据多项式乘多项式法则$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$，可得：
$\begin{aligned}(x+2)(x+3)&=x· x + x·3 + 2· x + 2×3\\&=x^2 + 3x + 2x + 6\\&=x^2 +5x +6\end{aligned}$
由题意可知$x^2 +5x +c = (x+2)(x+3) = x^2 +5x +6$
两个多项式相等时对应项系数相等，因此常数项$c=6$。
【答案】
6
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆性，多项式乘多项式法则
【点评】
本题考查因式分解和整式乘法的互逆关系，属于基础题型，熟练掌握多项式乘法的运算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.9
