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1. 代数式 $2(x - 1)^2 + 3$ 的意义是： ；
答案
解：x与1的差的平方的2倍与3的和。
解析
【分析】
解这类代数式意义的题目，核心是先明确代数式的运算优先级：先算括号内的运算，再算乘方，其次算乘除，最后算加减。我们按照运算的先后顺序，从最内层的运算开始逐层拆解，每一步运算对应准确的文字描述，最后将各部分描述串联即可，注意表述要避免产生运算顺序的歧义。
【解析】
我们按运算顺序逐步拆解代数式$2(x - 1)^2 + 3$：
1. 括号内的运算$x-1$，表示“x与1的差”；
2. 乘方运算$(x-1)^2$，表示“x与1的差的平方”；
3. 乘法运算$2(x-1)^2$，表示“x与1的差的平方的2倍”；
4. 最后的加法运算，表示上述结果与3的和。
综上即可得到该代数式的文字意义。
【答案】
x与1的差的平方的2倍与3的和。
【知识点】
代数式的意义；四则运算顺序
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对代数式运算顺序的理解和文字转化能力，表述时需严格遵循运算优先级，保证描述准确无歧义。
【难度系数】
0.9
解这类代数式意义的题目，核心是先明确代数式的运算优先级：先算括号内的运算，再算乘方，其次算乘除，最后算加减。我们按照运算的先后顺序，从最内层的运算开始逐层拆解，每一步运算对应准确的文字描述，最后将各部分描述串联即可，注意表述要避免产生运算顺序的歧义。
【解析】
我们按运算顺序逐步拆解代数式$2(x - 1)^2 + 3$：
1. 括号内的运算$x-1$，表示“x与1的差”；
2. 乘方运算$(x-1)^2$，表示“x与1的差的平方”；
3. 乘法运算$2(x-1)^2$，表示“x与1的差的平方的2倍”；
4. 最后的加法运算，表示上述结果与3的和。
综上即可得到该代数式的文字意义。
【答案】
x与1的差的平方的2倍与3的和。
【知识点】
代数式的意义；四则运算顺序
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对代数式运算顺序的理解和文字转化能力，表述时需严格遵循运算优先级，保证描述准确无歧义。
【难度系数】
0.9
2. 对代数式“5x”，我们可以这样解释：
香蕉每千克5元，某人买了x kg，共付款5x元. 请你对“5x”再给出另一个实际生活方面的合理解释：
.
香蕉每千克5元，某人买了x kg，共付款5x元. 请你对“5x”再给出另一个实际生活方面的合理解释：
.
答案
解：铅笔每支5元，某人买了x支铅笔，共付款5x元。
解析
【分析】
解题时首先要明确代数式“5x”的数学含义是5与x的乘积，对应“单位量为5，数量为x，求总数量”的数量关系模型。我们只需要结合生活实际，给5和x赋予合理的现实含义，让两者相乘的结果对应“5x”即可，常见的场景有购物消费、行程、工作量等，描述需通顺符合逻辑。
【解析】
“5x”表示5和x相乘，我们可以选取购物场景举例：
若铅笔每支的价格是5元，某人购买的铅笔数量为x支，根据“总付款=单价×购买数量”，可得总付款金额为5×x=5x元，符合代数式的含义。
【答案】
铅笔每支5元，某人买了x支铅笔，共付款5x元。
【知识点】
1. 代数式的实际意义 2. 用字母表示数
【点评】
本题属于开放性试题，答案不唯一，只要结合生活实际赋予5和x合理的含义，表述符合常理即可，主要考查对代数式所表示的数量关系的理解和联系实际应用的能力。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确代数式“5x”的数学含义是5与x的乘积，对应“单位量为5，数量为x，求总数量”的数量关系模型。我们只需要结合生活实际，给5和x赋予合理的现实含义，让两者相乘的结果对应“5x”即可，常见的场景有购物消费、行程、工作量等，描述需通顺符合逻辑。
【解析】
“5x”表示5和x相乘，我们可以选取购物场景举例：
若铅笔每支的价格是5元，某人购买的铅笔数量为x支，根据“总付款=单价×购买数量”，可得总付款金额为5×x=5x元，符合代数式的含义。
【答案】
铅笔每支5元，某人买了x支铅笔，共付款5x元。
【知识点】
1. 代数式的实际意义 2. 用字母表示数
【点评】
本题属于开放性试题，答案不唯一，只要结合生活实际赋予5和x合理的含义，表述符合常理即可，主要考查对代数式所表示的数量关系的理解和联系实际应用的能力。
【难度系数】
0.9
1. 如图是一个室内篮球场的平面图，尺寸(单位:m)如图所示，场地的宽为a m，长为b m，篮球场与场地边缘的距离都为2 m，则该篮球场的周长用代数式表示为 m. 当a = 19，b = 32时，该篮球场的周长为 m. 
答案
解：
由题意可知，篮球场的水平边长为$(a-4)\ \mathrm{m}$，竖直边长为$(b-4)\ \mathrm{m}$，
则该篮球场的周长为：
$2[(a-4)+(b-4)]=(2a+2b-16)\ \mathrm{m}$
当$a=19$，$b=32$时，
代入得$2×19+2×32-16=86\ \mathrm{m}$
由题意可知，篮球场的水平边长为$(a-4)\ \mathrm{m}$，竖直边长为$(b-4)\ \mathrm{m}$，
则该篮球场的周长为：
$2[(a-4)+(b-4)]=(2a+2b-16)\ \mathrm{m}$
当$a=19$，$b=32$时，
代入得$2×19+2×32-16=86\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题时先确定篮球场的长和宽：观察图形可知，大场地水平方向总宽为a m，篮球场左右两侧距边缘各2m，因此篮球场的水平边长为a减去2个2m，即(a-4)m；大场地竖直方向总长为b m，篮球场上下两侧距边缘各2m，因此篮球场的竖直边长为b减去2个2m，即(b-4)m。再根据长方形周长公式即可推导得出周长的代数式，最后将a、b的数值代入代数式计算，就能得到具体周长。
【解析】
解：由题意得：
篮球场的水平边长为 $ a - 2×2=(a-4)\ \mathrm{m} $，
篮球场的竖直边长为 $ b - 2×2=(b-4)\ \mathrm{m} $，
根据长方形周长公式，篮球场的周长为：
$ 2×[(a-4)+(b-4)]=2a+2b-16\ \mathrm{m} $。
当 $ a=19 $，$ b=32 $ 时，代入代数式得：
$ 2×19 + 2×32 -16=38+64-16=86\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 2a+2b-16 $；$ 86 $
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形周长公式
【点评】
本题结合实际场景考查代数式的应用，解题关键是结合图形准确表示出篮球场的长和宽，注意边缘距离在两侧均存在，避免漏减数值，侧重考查识图能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.8
解题时先确定篮球场的长和宽：观察图形可知，大场地水平方向总宽为a m，篮球场左右两侧距边缘各2m，因此篮球场的水平边长为a减去2个2m，即(a-4)m；大场地竖直方向总长为b m，篮球场上下两侧距边缘各2m，因此篮球场的竖直边长为b减去2个2m，即(b-4)m。再根据长方形周长公式即可推导得出周长的代数式，最后将a、b的数值代入代数式计算，就能得到具体周长。
【解析】
解：由题意得：
篮球场的水平边长为 $ a - 2×2=(a-4)\ \mathrm{m} $，
篮球场的竖直边长为 $ b - 2×2=(b-4)\ \mathrm{m} $，
根据长方形周长公式，篮球场的周长为：
$ 2×[(a-4)+(b-4)]=2a+2b-16\ \mathrm{m} $。
当 $ a=19 $，$ b=32 $ 时，代入代数式得：
$ 2×19 + 2×32 -16=38+64-16=86\ \mathrm{m} $。
【答案】
$ 2a+2b-16 $；$ 86 $
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形周长公式
【点评】
本题结合实际场景考查代数式的应用，解题关键是结合图形准确表示出篮球场的长和宽，注意边缘距离在两侧均存在，避免漏减数值，侧重考查识图能力和基础代数运算能力。
【难度系数】
0.8
2. 求代数式$\frac{m^2 - 2}{n + 1} + \frac{1}{4}n$的值，其中$m = -1, n = -2.$
答案
解：
将$m=-1$，$n=-2$代入代数式：
$\begin{aligned}\frac{m^2 - 2}{n + 1} + \frac{1}{4}n&=\frac{(-1)^2 - 2}{-2 + 1} + \frac{1}{4}×(-2)\\&=\frac{1 - 2}{-1} - \frac{1}{2}\\&=1 - \frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
将$m=-1$，$n=-2$代入代数式：
$\begin{aligned}\frac{m^2 - 2}{n + 1} + \frac{1}{4}n&=\frac{(-1)^2 - 2}{-2 + 1} + \frac{1}{4}×(-2)\\&=\frac{1 - 2}{-1} - \frac{1}{2}\\&=1 - \frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
解析
【分析】
本题属于代数式求值类题目，解题思路如下：首先要将给定的m、n的取值准确代入代数式中，代入负数时注意添加括号避免符号错误；再按照有理数混合运算的顺序计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的部分，逐步运算就能得到正确结果。
【解析】
将$m=-1$，$n=-2$代入代数式：
$\begin{aligned}\frac{m^2 - 2}{n + 1} + \frac{1}{4}n&=\frac{(-1)^2 - 2}{-2 + 1} + \frac{1}{4}×(-2)\\&=\frac{1 - 2}{-1} - \frac{1}{2}\\&=1 - \frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，重点考查数值代入的规范性以及有理数运算中符号的处理，计算时按照运算顺序逐步求解，即可避免出错。
【难度系数】
0.9
本题属于代数式求值类题目，解题思路如下：首先要将给定的m、n的取值准确代入代数式中，代入负数时注意添加括号避免符号错误；再按照有理数混合运算的顺序计算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先计算括号内的部分，逐步运算就能得到正确结果。
【解析】
将$m=-1$，$n=-2$代入代数式：
$\begin{aligned}\frac{m^2 - 2}{n + 1} + \frac{1}{4}n&=\frac{(-1)^2 - 2}{-2 + 1} + \frac{1}{4}×(-2)\\&=\frac{1 - 2}{-1} - \frac{1}{2}\\&=1 - \frac{1}{2}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，重点考查数值代入的规范性以及有理数运算中符号的处理，计算时按照运算顺序逐步求解，即可避免出错。
【难度系数】
0.9
三、两个量的反比例关系
一粮库需要把晾晒场上的1 200 t玉米入库封存,用式子表示入库所需的时间d(单位:天)与入库平均速度v(单位:t/天)的关系,d与v成什么比例关系？
一粮库需要把晾晒场上的1 200 t玉米入库封存,用式子表示入库所需的时间d(单位:天)与入库平均速度v(单位:t/天)的关系,d与v成什么比例关系？
答案
解：
由题意得，入库总玉米质量为1200 t，根据“入库所需时间=入库总质量÷入库平均速度”，可得
$ d = \frac{1200}{v} $。
d与v的乘积为定值1200（不为0），因此d与v成反比例关系。
答：入库所需时间d与入库平均速度v的关系式为$ d=\frac{1200}{v} $，d与v成反比例关系。
由题意得，入库总玉米质量为1200 t，根据“入库所需时间=入库总质量÷入库平均速度”，可得
$ d = \frac{1200}{v} $。
d与v的乘积为定值1200（不为0），因此d与v成反比例关系。
答：入库所需时间d与入库平均速度v的关系式为$ d=\frac{1200}{v} $，d与v成反比例关系。
解析
【分析】
解题时首先从题目提取已知量：玉米总质量为1200t，要找入库时间d和入库平均速度v的关系，先回忆工作时间、工作总量、工作效率的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，代入对应量就能得到d和v的关系式；再回忆反比例关系的判定规则：若两个相关联的量的乘积为非零定值，则这两个量成反比例关系，据此判断d和v的比例关系即可。
【解析】
由题意得，入库总玉米质量为1200 t，根据“入库所需时间=入库总质量÷入库平均速度”的数量关系，可得：
$ d = \frac{1200}{v} $
将式子变形可得$d × v=1200$，即d与v的乘积为定值1200（不为0），符合反比例关系的判定条件，因此d与v成反比例关系。
【答案】
入库所需时间d与入库平均速度v的关系式为$ d=\frac{1200}{v} $，d与v成反比例关系。
【知识点】
列函数关系式、反比例关系判定、工程问题数量关系
【点评】
本题是反比例概念的基础应用题，结合实际仓储入库的场景，既考查了对常见数量关系的掌握，也考查了对反比例关系定义的理解，熟练掌握基础概念和基础数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目提取已知量：玉米总质量为1200t，要找入库时间d和入库平均速度v的关系，先回忆工作时间、工作总量、工作效率的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，代入对应量就能得到d和v的关系式；再回忆反比例关系的判定规则：若两个相关联的量的乘积为非零定值，则这两个量成反比例关系，据此判断d和v的比例关系即可。
【解析】
由题意得，入库总玉米质量为1200 t，根据“入库所需时间=入库总质量÷入库平均速度”的数量关系，可得：
$ d = \frac{1200}{v} $
将式子变形可得$d × v=1200$，即d与v的乘积为定值1200（不为0），符合反比例关系的判定条件，因此d与v成反比例关系。
【答案】
入库所需时间d与入库平均速度v的关系式为$ d=\frac{1200}{v} $，d与v成反比例关系。
【知识点】
列函数关系式、反比例关系判定、工程问题数量关系
【点评】
本题是反比例概念的基础应用题，结合实际仓储入库的场景，既考查了对常见数量关系的掌握，也考查了对反比例关系定义的理解，熟练掌握基础概念和基础数量关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
四、规律探索
如图,用大小相等的小正方形拼成大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼,想一想,按照这样的方法拼成的第n个正方形比第$(n - 1)$个正方形多几个正方形?
观察分析图形,填写下面的表格:
| 拼成第几个正方形 | 需要的小正方形的个数 |
| --- | --- |
| 第1个正方形 | |
| 第2个正方形 | |
| 第3个正方形 |
|
| …… | |
| 第$(n - 1)$个正方形 | |
| 第$n$个正方形 | |
结论:拼成的第$n$个正方形比第$(n - 1)$个正方形多个正方形.
如图,用大小相等的小正方形拼成大正方形,拼第1个正方形需要4个小正方形,拼第2个正方形需要9个小正方形……拼一拼,想一想,按照这样的方法拼成的第n个正方形比第$(n - 1)$个正方形多几个正方形?
观察分析图形,填写下面的表格:
| 拼成第几个正方形 | 需要的小正方形的个数 |
| --- | --- |
| 第1个正方形 | |
| 第2个正方形 | |
| 第3个正方形 |
|| …… | |
| 第$(n - 1)$个正方形 | |
| 第$n$个正方形 | |
结论:拼成的第$n$个正方形比第$(n - 1)$个正方形多个正方形.
答案
解：
填写表格：
拼成第1个正方形需要的小正方形的个数：$4$
拼成第2个正方形需要的小正方形的个数：$9$
拼成第3个正方形需要的小正方形的个数：$16$
……
拼成第$(n-1)$个正方形需要的小正方形的个数：$n^2$
拼成第$n$个正方形需要的小正方形的个数：$(n+1)^2$
计算第$n$个正方形比第$(n-1)$个正方形多的小正方形数量：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - n^2&=n^2+2n+1-n^2\\&=2n+1\end{aligned}$
结论：拼成的第$n$个正方形比第$(n - 1)$个正方形多$\boldsymbol{2n+1}$个正方形。
填写表格：
拼成第1个正方形需要的小正方形的个数：$4$
拼成第2个正方形需要的小正方形的个数：$9$
拼成第3个正方形需要的小正方形的个数：$16$
……
拼成第$(n-1)$个正方形需要的小正方形的个数：$n^2$
拼成第$n$个正方形需要的小正方形的个数：$(n+1)^2$
计算第$n$个正方形比第$(n-1)$个正方形多的小正方形数量：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - n^2&=n^2+2n+1-n^2\\&=2n+1\end{aligned}$
结论：拼成的第$n$个正方形比第$(n - 1)$个正方形多$\boldsymbol{2n+1}$个正方形。
解析
【分析】
我们先从已知的前几个正方形所需小正方形数量找规律：第1个需要4=2²=(1+1)²个，第2个需要9=3²=(2+1)²个，第3个需要16=4²=(3+1)²个，可归纳出第m个正方形需要的小正方形个数是(m+1)²。接下来分别写出第n个和第(n-1)个正方形需要的小正方形数量，用第n个的数量减去第(n-1)个的数量，展开化简即可得到结果。
【解析】
先填写表格：
第1个正方形需要的小正方形个数：$4$
第2个正方形需要的小正方形个数：$9$
第3个正方形需要的小正方形个数：$16$
……
第$(n-1)$个正方形需要的小正方形个数：$[(n-1)+1]^2 = n^2$
第$n$个正方形需要的小正方形个数：$(n+1)^2$
计算第n个正方形比第(n-1)个多的小正方形数量：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - n^2 &= n^2 + 2n + 1 - n^2 \\&= 2n + 1\end{aligned}$
【答案】
表格依次填：$4$；$9$；$16$；$n^2$；$(n+1)^2$；结论：$\boldsymbol{2n+1}$
【知识点】
图形规律探究；完全平方公式；整式的加减
【点评】
本题需要先通过观察特殊情况归纳出通用规律，再通过整式运算推导结论，既考查归纳推理能力，也检验整式运算的熟练度，解题时要注意序号和对应表达式的对应关系，避免因序号混淆出错。
【难度系数】
0.7
我们先从已知的前几个正方形所需小正方形数量找规律：第1个需要4=2²=(1+1)²个，第2个需要9=3²=(2+1)²个，第3个需要16=4²=(3+1)²个，可归纳出第m个正方形需要的小正方形个数是(m+1)²。接下来分别写出第n个和第(n-1)个正方形需要的小正方形数量，用第n个的数量减去第(n-1)个的数量，展开化简即可得到结果。
【解析】
先填写表格：
第1个正方形需要的小正方形个数：$4$
第2个正方形需要的小正方形个数：$9$
第3个正方形需要的小正方形个数：$16$
……
第$(n-1)$个正方形需要的小正方形个数：$[(n-1)+1]^2 = n^2$
第$n$个正方形需要的小正方形个数：$(n+1)^2$
计算第n个正方形比第(n-1)个多的小正方形数量：
$\begin{aligned}(n+1)^2 - n^2 &= n^2 + 2n + 1 - n^2 \\&= 2n + 1\end{aligned}$
【答案】
表格依次填：$4$；$9$；$16$；$n^2$；$(n+1)^2$；结论：$\boldsymbol{2n+1}$
【知识点】
图形规律探究；完全平方公式；整式的加减
【点评】
本题需要先通过观察特殊情况归纳出通用规律，再通过整式运算推导结论，既考查归纳推理能力，也检验整式运算的熟练度，解题时要注意序号和对应表达式的对应关系，避免因序号混淆出错。
【难度系数】
0.7
