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8.（教材习题4.2T6变式）在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题：
请同学们选择$x$的一个值，求$5x^3 - (3x^3 + x^2 - 3x) + (x^2 - 3x - 2x^3) + 2026$的值。
甲说：“当$x=0$时，原式$=2026$。”
乙说：“当$x=-2$时，原式$=2026$。”
丙说：“当$x$为任何一个有理数时，原式$=2026$。”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由。
请同学们选择$x$的一个值，求$5x^3 - (3x^3 + x^2 - 3x) + (x^2 - 3x - 2x^3) + 2026$的值。
甲说：“当$x=0$时，原式$=2026$。”
乙说：“当$x=-2$时，原式$=2026$。”
丙说：“当$x$为任何一个有理数时，原式$=2026$。”
这三位同学的说法是否正确？请说明理由。
答案
8. 解:这三位同学的说法都正确.理由如下:
当a等于0或−2时,原式的值都等于2026,
所以甲、乙两位同学的说法都正确.
实际上,$5x^3−(3x^3+x^2−3x)+(x^2−3x−2x^3)+2026=$
$5x^3−3x^3−x^2+3x+x^2−3x−2x^3+2026=2026,$
由此可知,当x为任何一个有理数时,原式的值都为2026.
所以丙同学的说法正确.
当a等于0或−2时,原式的值都等于2026,
所以甲、乙两位同学的说法都正确.
实际上,$5x^3−(3x^3+x^2−3x)+(x^2−3x−2x^3)+2026=$
$5x^3−3x^3−x^2+3x+x^2−3x−2x^3+2026=2026,$
由此可知,当x为任何一个有理数时,原式的值都为2026.
所以丙同学的说法正确.
解析
【分析】
要判断三位同学的说法是否正确，无需分别代入x的值计算，先对整式进行化简即可：第一步按照去括号法则去掉原式中的所有括号，第二步合并同类项，观察化简后的结果是否含有x，若结果为常数，说明原式的值与x的取值无关，即可验证三位同学的说法是否成立。
【解析】
对原式进行化简：
$\begin{aligned}&5x^3 - (3x^3 + x^2 - 3x) + (x^2 - 3x - 2x^3) + 2026\\=&5x^3 - 3x^3 - x^2 + 3x + x^2 - 3x - 2x^3 + 2026\\=&(5x^3 - 3x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (3x - 3x) + 2026\\=&0+0+0+2026\\=&2026\end{aligned}$
化简后结果为常数2026，和x的取值无关：
当x=0时，原式值为2026，甲的说法正确；
当x=-2时，原式值为2026，乙的说法正确；
当x为任意有理数时，原式值均为2026，丙的说法正确。
【答案】
三位同学的说法都正确，原式化简后结果为2026，与x的取值无关，因此x取任意有理数时原式的值均为2026。
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，核心是通过去括号、合并同类项化简整式，避免直接代入计算的繁琐，可快速判断代数式的值与未知数取值的关系。
【难度系数】
0.8
要判断三位同学的说法是否正确，无需分别代入x的值计算，先对整式进行化简即可：第一步按照去括号法则去掉原式中的所有括号，第二步合并同类项，观察化简后的结果是否含有x，若结果为常数，说明原式的值与x的取值无关，即可验证三位同学的说法是否成立。
【解析】
对原式进行化简：
$\begin{aligned}&5x^3 - (3x^3 + x^2 - 3x) + (x^2 - 3x - 2x^3) + 2026\\=&5x^3 - 3x^3 - x^2 + 3x + x^2 - 3x - 2x^3 + 2026\\=&(5x^3 - 3x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (3x - 3x) + 2026\\=&0+0+0+2026\\=&2026\end{aligned}$
化简后结果为常数2026，和x的取值无关：
当x=0时，原式值为2026，甲的说法正确；
当x=-2时，原式值为2026，乙的说法正确；
当x为任意有理数时，原式值均为2026，丙的说法正确。
【答案】
三位同学的说法都正确，原式化简后结果为2026，与x的取值无关，因此x取任意有理数时原式的值均为2026。
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式化简求值的基础题型，核心是通过去括号、合并同类项化简整式，避免直接代入计算的繁琐，可快速判断代数式的值与未知数取值的关系。
【难度系数】
0.8
1. (2025伊犁州期中)已知$a - b = 3$，则代数式$2(a - b)^2 + 3(a - b)$的值为 （）
A.15
B.27
C.30
D.33
A.15
B.27
C.30
D.33
答案
B
解析
【分析】
本题可采用整体代入法求解，观察所求代数式发现两项均含有因式$(a-b)$，题目已经直接给出$a-b=3$，无需分别求解$a$、$b$的数值，只需将$a-b=3$整体代入代数式，再按照有理数的运算顺序（先乘方、再乘法、最后加法）计算即可得到结果。
【解析】
已知$a - b = 3$，将其整体代入代数式$2(a - b)^2 + 3(a - b)$中：
首先计算乘方：$(a-b)^2=3^2=9$
再分别计算乘法项：$2×9=18$，$3×3=9$
最后计算加法：$18+9=27$
因此代数式的值为27，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整体代入求值、有理数混合运算、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题核心是识别出可整体代入的相同部分，避免无意义地求解单个字母的值，运算时注意遵守有理数的运算顺序，防止因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.85
本题可采用整体代入法求解，观察所求代数式发现两项均含有因式$(a-b)$，题目已经直接给出$a-b=3$，无需分别求解$a$、$b$的数值，只需将$a-b=3$整体代入代数式，再按照有理数的运算顺序（先乘方、再乘法、最后加法）计算即可得到结果。
【解析】
已知$a - b = 3$，将其整体代入代数式$2(a - b)^2 + 3(a - b)$中：
首先计算乘方：$(a-b)^2=3^2=9$
再分别计算乘法项：$2×9=18$，$3×3=9$
最后计算加法：$18+9=27$
因此代数式的值为27，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整体代入求值、有理数混合运算、代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题核心是识别出可整体代入的相同部分，避免无意义地求解单个字母的值，运算时注意遵守有理数的运算顺序，防止因运算顺序错误导致结果出错。
【难度系数】
0.85
2. (2025和田地区期末)如果$a^2 + 3b = 5$，那么$2a^2 + 6b -7$的值为。
答案
解：
$\because a^2 + 3b = 5$
$\therefore 2a^2 + 6b -7$
$=2(a^2 + 3b) -7$
$=2×5 -7$
$=10-7$
$=3$
$\because a^2 + 3b = 5$
$\therefore 2a^2 + 6b -7$
$=2(a^2 + 3b) -7$
$=2×5 -7$
$=10-7$
$=3$
解析
【分析】
本题是代数式求值类问题，解题时先观察已知等式和待求代数式的结构特征：待求式中$2a^2+6b$可变形为$2(a^2+3b)$，正好是已知条件中$a^2+3b$的2倍，因此不需要单独求解a、b的值，直接采用整体代入的方法就能快速算出结果。
【解析】
解：
$\because a^2 + 3b = 5$
$\therefore 2a^2 + 6b -7$
$=2(a^2 + 3b) -7$
$=2×5 -7$
$=10-7$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
整体代入法，代数式求值，整式变形
【点评】
本题是整式求值的常考基础题型，核心考查整体思想的应用，解题关键是发现待求代数式与已知条件之间的倍数关系，通过整体代入可避免复杂计算，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题是代数式求值类问题，解题时先观察已知等式和待求代数式的结构特征：待求式中$2a^2+6b$可变形为$2(a^2+3b)$，正好是已知条件中$a^2+3b$的2倍，因此不需要单独求解a、b的值，直接采用整体代入的方法就能快速算出结果。
【解析】
解：
$\because a^2 + 3b = 5$
$\therefore 2a^2 + 6b -7$
$=2(a^2 + 3b) -7$
$=2×5 -7$
$=10-7$
$=3$
【答案】
3
【知识点】
整体代入法，代数式求值，整式变形
【点评】
本题是整式求值的常考基础题型，核心考查整体思想的应用，解题关键是发现待求代数式与已知条件之间的倍数关系，通过整体代入可避免复杂计算，大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
