1.(分类讨论思想)已知$\triangle ABC$是等腰三角形。若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\triangle ABC$的顶角度数为。

1. $40^{\circ}$或$100^{\circ}$

当$\angle A$为顶角时，顶角度数为$40^{\circ}$；
当$\angle A$为底角时，顶角为$180^{\circ}-2×40^{\circ}=100^{\circ}$。
故$\triangle ABC$的顶角度数为$40^{\circ}$或$100^{\circ}$。

2.(2024·常熟期中)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，以点$A$为圆心，$AC$长为半径作弧，交$AB$于点$D$。若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\angle DCB$的度数为。

2. $20^{\circ}$

解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle A=40^{\circ}$，
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle A=50^{\circ}$。
由作图知$AC=AD$，
$\therefore \triangle ACD$是等腰三角形，$\angle ACD=\angle ADC$。
$\because \angle A+\angle ACD+\angle ADC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ACD=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$。
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$。
故答案为$20^{\circ}$。

3.（2023·苏州）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线。以点$A$为圆心，$AD$长为半径作弧，与$AB$，$AC$分别交于点$E$，$F$，连接$DE$，$DF$。
（1）求证：$\triangle ADE \cong \triangle ADF$；
（2）若$\angle BAC = 80^{\circ}$，求$\angle BDE$的度数。

3. （1）$\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore \angle EAD = \angle FAD$.由作图，得$AE = AF$.在$\triangle ADE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AE = AF, \\\angle EAD = \angle FAD,\\AD = AD\end{cases}\therefore \triangle ADE\cong \triangle ADF(SAS)$ （2）$\because AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\angle BAC = 80^{\circ},\therefore \angle EAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$.由作图，得$AE = AD.\therefore \angle AED = \angle ADE = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}.\because AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore AD\perp BC$，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ},\therefore \angle BDE = 90^{\circ} - \angle ADE = 20^{\circ}$

（1）证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD．
由作图，得AE=AF．
在△ADE和△ADF中，
$\begin{cases} AE=AF, \\ \angle EAD=\angle FAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△ADE≌△ADF（SAS）．
（2）解：
∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}\angle BAC=40°$．
由作图，得AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=$\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$．
∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDE=90°-∠ADE=20°．

4. 如图，$D$为$\triangle ABC$内一点，$CD$平分$\angle ACB$，$BE \perp CD$，垂足为$D$，交$AC$于点$E$，$\angle A = \angle ABE$。若$AC = 10$，$BC = 6$，则$BD$的长为()

A.5
B.3
C.4
D.2

4. D

证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠BCD．
∵BE⊥CD，
∴∠CDE=∠CDB=90°．
在△CDE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ECD=∠BCD,\\ CD=CD,\\ ∠CDE=∠CDB,\end{array}\right.$
∴△CDE≌△CDB(ASA)．
∴CE=CB=6，DE=BD．
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4．
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BE=4．
∵BE=DE+BD=2BD，
∴BD=$\frac{1}{2}$BE=2．
答案：D

5.(分类讨论思想)如图，$\angle AOB = 80^{\circ}$，$C$是边$OB$上的一个定点，点$P$在角的另一边$OA$上运动，当$\angle OCP$的度数为时，$\triangle COP$是等腰三角形。

5. $80^{\circ}$或$20^{\circ}$或$50^{\circ}$

解：
在$\triangle COP$中，$\angle AOB=80°$，即$\angle COP=80°$。
情况1：当$OC=OP$时，
$\angle OCP=\angle OPC=\frac{180°-80°}{2}=50°$；
情况2：当$CO=CP$时，
$\angle OPC=\angle COP=80°$，
$\angle OCP=180°-80°-80°=20°$；
情况3：当$PO=PC$时，
$\angle OCP=\angle COP=80°$。
综上，$\angle OCP$的度数为$80°$或$20°$或$50°$。
$80°$或$20°$或$50°$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，且$AD$为$BC$上的中线。求证：$\triangle ABC$为等腰三角形。

6. 方法一：如图①，延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$CE.\because AD$为$BC$上的中线，$\therefore BD = CD$.在$\triangle ABD$和$\triangle ECD$中，$\begin{cases}AD = ED, \\\angle ADB = \angle EDC,\\BD = CD\end{cases}\therefore \triangle ABD\cong \triangle ECD(SAS)$，$\therefore \angle BAD = \angle E$，$AB = EC$.又$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD = \angle CAD$，$\therefore \angle CAD = \angle E$，$\therefore AC = EC$，$\therefore AB = AC$，$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形 方法二：如图②，过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F.\because AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，$\therefore DE = DF$，$\angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ}.\because AD$为$BC$上的中线，$\therefore BD = CD$.在$Rt\triangle DEB$和$Rt\triangle DFC$中，$\begin{cases}BD = CD, \\DE = DF\end{cases}\therefore Rt\triangle DEB\cong Rt\triangle DFC(HL)$，$\therefore \angle B = \angle C$，$\therefore AB = AC$，$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形