4.如图,直线AB和CD相交于点O,OE把$∠AOC$分成两部分,且$∠AOE:∠EOC= 2:3,$
(1)如图1,若$∠BOD= 75^{\circ }$,求$∠BOE$的度数;
(2)如图2,若OF平分$∠BOE,∠BOF= $$∠AOC+12^{\circ }$,求$∠EOF$的度数.

(1)∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,∠BOC=180°−∠BOD=180°−75°=105°,∵∠AOE:∠EOC=2:3,∴∠COE=$\frac{3}{5}$∠AOC=$\frac{3}{5}$×75°=45°,∴∠BOE=∠BOC+∠COE=105°+45°=150°.　(2)∵OF平分∠BOE,∴∠EOF=∠BOF=∠AOC+12°,∴∠FOC+∠COE=∠AOE+∠COE+12°,∴∠FOC=∠AOE+12°,设∠AOE=x°,则∠FOC=(x+12)°,∠COE=$\frac{3}{2}$x°,∵∠AOE+∠EOF+∠BOF=180°,∴x+(x+12+$\frac{3}{2}$x)×2=180,解得x=26,∴∠EOF=∠COE+∠COF=$\frac{3}{2}$x°+x°+12°=77°.

5.如图,点P在CD上,已知$∠BAP+∠APD= 180^{\circ },∠1= ∠2$,试说明:$AE// PF.$

∵∠BAP+∠APD=180°,∠APC+∠APD=180°,∴∠BAP=∠APC,又∠1=∠2,∴∠BAP−∠1=∠APC−∠2,即∠EAP=∠APF,∴AE//PF.

6.将一副三角尺按右图摆放,并标点描线如图所示,然后过点C作CF平分$∠DCE$,交DE于点F.
(1)求证:$CF// AB;$
(2)求$∠EFC$的度数.

(1)∵CF平分∠DCE,且∠DCE=90°,∴∠ECF=45°,∵∠BAC=45°,∴∠BAC=∠ECF,∴CF//AB.　(2)在△FCE中,∵∠FCE+∠E+∠EFC=180°,∴∠EFC=180°−∠FCE−∠E=180°−45°−30°=105°.

7.如图,直线AB,CD相交于点O,$∠AOD= 2∠BOD+60^{\circ }.$
(1)求$∠BOD$的度数;
(2)以O为端点引射线OE,OF,射线OE平分$∠BOD$,且$∠EOF= $$90^{\circ }$,求$∠BOF$的度数.

(1)由邻补角互补,得∠AOD+∠BOD=180°,又∵∠AOD=2∠BOD+60°,∴2∠BOD+60°+∠BOD=180°,解得∠BOD=40°;　(2)如下图所示,由射线OE平分∠BOD,得∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$×40°=20°,∴∠BOF′=∠EOF'+∠BOE=90°+20°=110°,∠BOF=∠EOF−∠BOE=90°−20°=70°,∴∠BOF的度数为110°或70°.