试一试，你一定很棒
在菱形ABCD中，∠B=60°，E在BC边上，F在CD边上.
(1)如图11，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；
(2)如图12，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形.
     

【解析】：
### $(1)$ 证明$BE = DF$
连接$AC$。
因为四边形$ABCD$是菱形，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = BC$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。
因为$E$是$BC$的中点，根据等边三角形三线合一性质，$AE\perp BC$，$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
又因为$\angle AEF = 60^{\circ}$，所以$\angle FEC = 180^{\circ}-\angle AEB-\angle AEF = 180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$AB// CD$，$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\angle BCD = 120^{\circ}$，则$\angle EFC = 180^{\circ}-\angle FEC-\angle ECF = 180^{\circ}-30^{\circ}-120^{\circ}=30^{\circ}$，所以$\angle FEC=\angle EFC$，$EC = FC$。
因为$BE=\frac{1}{2}BC$，$DF = DC - FC$，$BC = DC$，$EC=\frac{1}{2}BC$，所以$BE = DF$。
### $(2)$ 证明$\triangle AEF$是等边三角形
连接$AC$。
因为四边形$ABCD$是菱形，$\angle B = 60^{\circ}$，$AB = BC$，所以$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = AC$，$\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}$。
因为$AB// CD$，所以$\angle ACD=\angle BAC = 60^{\circ}$，即$\angle B=\angle ACF = 60^{\circ}$。
因为$\angle EAF = 60^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle EAC=\angle EAC+\angle CAF$，即$\angle BAE=\angle CAF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle ACF\\AB = AC\\\angle BAE=\angle CAF\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理，$\triangle ABE\cong\triangle ACF$。
所以$AE = AF$，又因为$\angle EAF = 60^{\circ}$，根据有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形，所以$\triangle AEF$是等边三角形。
【答案】：
$(1)$ 连接$AC$，证$\triangle ABC$是等边三角形，利用角度关系得$EC = FC$，结合菱形性质得$BE = DF$；$(2)$ 连接$AC$，证$\triangle ABE\cong\triangle ACF(ASA)$得$AE = AF$，再由$\angle EAF = 60^{\circ}$证得$\triangle AEF$是等边三角形。