24. 已知：如图,在正方形$ABCD$中,点$E在边CD$上,$AQ\perp BE于点Q$,$DP\perp AQ于点P$。
(1)求证：$AP= BQ$；
(2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于$PQ$的长。

(1)证明见解析；(2)

【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle BAD=90^{\circ}$。
因为$AQ\perp BE$，$DP\perp AQ$，所以$\angle AQB = \angle APD=90^{\circ}$。
$\angle BAQ+\angle DAP = 90^{\circ}$，$\angle ADP+\angle DAP=90^{\circ}$，所以$\angle BAQ=\angle ADP$。
在$\triangle ABQ$和$\triangle DAP$中，$\begin{cases}\angle AQB=\angle DPA\\\angle BAQ = \angle ADP\\AB=DA\end{cases}$，所以$\triangle ABQ\cong\triangle DAP(AAS)$，因此$AP = BQ$。
(2) 由(1)知$AP = BQ$，$AQ = DP$。
因为$AQ=AP + PQ$，所以$DP=AP + PQ$，即$DP-AP=PQ$；
因为$AQ=BQ + PQ$，所以$AQ-BQ=PQ$；
因为$DP=BQ + PQ$，所以$DP-BQ=PQ$；
因为$AQ=AP + PQ$，所以$AQ-AP=PQ$。
【答案】：(1)证明见解析；(2)$AQ - BQ$，$AQ - AP$，$DP - AP$，$DP - BQ$

25. 某校为了美化校园,准备在一块长32米、宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计。现在有两位学生各设计了一种方案(如图)。根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少时使得图中的草坪面积为540平方米。

图1中道路的宽为，图2中道路的宽为。

【解析】：
方案一（图1：四周等宽道路）
设道路宽为$ x $米。
长方形场地长32米、宽20米，道路在四周，草坪为中间长方形，其长为$ 32 - 2x $米，宽为$ 20 - 2x $米。
草坪面积为540平方米，列方程：
$(32 - 2x)(20 - 2x) = 540$
展开并化简：
$4x^2 - 104x + 640 = 540 \implies x^2 - 26x + 25 = 0$
解得$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 25 $（$ x=25 $超出场地宽度，舍去）。
故道路宽为1米。
方案二（图2：十字形道路）
设道路宽为$ x $米。
十字形道路包括一条长32米、宽$ x $米的横向道路和一条长20米、宽$ x $米的纵向道路，重叠部分为边长$ x $的正方形（面积重复计算需减去）。
草坪面积=场地面积-道路面积，列方程：
$32 × 20 - (32x + 20x - x^2) = 540$
化简：
$640 - (52x - x^2) = 540 \implies x^2 - 52x + 100 = 0$
解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 50 $（$ x=50 $超出场地尺寸，舍去）。
故道路宽为2米。
【答案】：1米，2米

26. 如图,$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle A= 120^{\circ }$。
(1)用直尺和圆规作$AB$的垂直平分线,分别交$BC$、$AB于点M$、$N$(保留作图痕迹,不写作法)。
(2)猜想$CM与BM$之间有何数量关系,并证明你的猜想。

(1)
(2) 猜想$CM与BM$之间的数量关系为。证明：连接$AM$。因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。因为$MN$是$AB$的垂直平分线，所以$BM = AM$。则$\angle B=\angle BAM = 30^{\circ}$，所以$\angle MAC=\angle BAC-\angle BAM=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。在$Rt\triangle ACM$中，$\angle C = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，设$AM = BM=x$，则$CM = 2AM$，所以$CM = 2BM$。

1. （1）作图步骤：
分别以$A$、$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧分别相交于两点。
过这两点作直线，与$AB$交于$N$，与$BC$交于$M$，直线$MN$即为$AB$的垂直平分线（作图痕迹略）。
2. （2）
解：$CM = 2BM$。
证明：
连接$AM$。
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}$，且$\angle B=\angle C$，所以$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因为$MN$是$AB$的垂直平分线，所以$BM = AM$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
则$\angle B=\angle BAM = 30^{\circ}$，所以$\angle MAC=\angle BAC-\angle BAM=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ACM$中，$\angle C = 30^{\circ}$，根据直角三角形中$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，设$AM = BM=x$，则$CM = 2AM$（在$Rt\triangle ACM$中，$\angle C = 30^{\circ}$，$\angle C$所对的边是$AM$，斜边是$CM$）。
所以$CM = 2BM$。
综上，（1）完成作图；（2）$CM = 2BM$。

27. 阅读材料：
如果$x_{1}$,$x_{2}是一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0$的两根,那么有$x_{1}+x_{2}= -\frac {b}{a}$,$x_{1}x_{2}= \frac {c}{a}$。这是一元二次方程根与系数的关系,我们可以利用它来解题。
例：$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}+6x-3= 0$的两根,求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值。
解：$\because x_{1}+x_{2}= -6$,$x_{1}x_{2}= -3$,
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}= (-6)^{2}-2×(-3)= 42$。
请你根据以上解法解答下题：
已知$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}-4x+2= 0$的两根,求：
(1)$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}$的值；
(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$的值。

【解析】：
（1）已知方程$x^{2}-4x + 2 = 0$，根据根与系数的关系，可得$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=2$。
$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{2}=2$。
（2）$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=4^{2}-4×2=16 - 8=8$。
【答案】：(1)2；(2)8