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三、解答题(共52分)
8.(16分)(2025·厦门期末)某公司内设四个部门,2025年各部门人数及相应的每人所创年利润如表所示,求该公司2025年平均每人所创年利润.
8.(16分)(2025·厦门期末)某公司内设四个部门,2025年各部门人数及相应的每人所创年利润如表所示,求该公司2025年平均每人所创年利润.
答案
解:该公司 2025 年平均每人所创年利润为
$\frac{36×1+27×6+16×8+20×11}{1+6+8+11}=21$(万元).
答:该公司 2025 年平均每人所创年利润为 21 万元.
$\frac{36×1+27×6+16×8+20×11}{1+6+8+11}=21$(万元).
答:该公司 2025 年平均每人所创年利润为 21 万元.
解析
【分析】
要求该公司平均每人所创年利润，属于加权平均数的应用问题。由于不同部门的人数不同，人数是每个部门利润对应的权重，不能直接将四个部门的每人所创年利润相加除以4求平均值。正确思路是：先计算公司所有员工创造的年总利润，即每个部门的人数乘以该部门每人所创年利润，再将各部门的利润相加；再计算公司总人数，即四个部门人数之和；最后用年总利润除以总人数，即可得到平均每人所创年利润。
【解析】
首先计算公司年总利润：
$36×1 + 27×6 + 16×8 + 20×11 = 36 + 162 + 128 + 220 = 546$（万元）
再计算公司总人数：
$1 + 6 + 8 + 11 = 26$（人）
则平均每人所创年利润为：
$\frac{546}{26} = 21$（万元）
【答案】
21万元
【知识点】
加权平均数；有理数混合运算
【点评】
本题考查平均数在实际问题中的应用，解题的关键是明确权重对平均数的影响，避免误算为四个利润值的算术平均数，掌握加权平均数的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要求该公司平均每人所创年利润，属于加权平均数的应用问题。由于不同部门的人数不同，人数是每个部门利润对应的权重，不能直接将四个部门的每人所创年利润相加除以4求平均值。正确思路是：先计算公司所有员工创造的年总利润，即每个部门的人数乘以该部门每人所创年利润，再将各部门的利润相加；再计算公司总人数，即四个部门人数之和；最后用年总利润除以总人数，即可得到平均每人所创年利润。
【解析】
首先计算公司年总利润：
$36×1 + 27×6 + 16×8 + 20×11 = 36 + 162 + 128 + 220 = 546$（万元）
再计算公司总人数：
$1 + 6 + 8 + 11 = 26$（人）
则平均每人所创年利润为：
$\frac{546}{26} = 21$（万元）
【答案】
21万元
【知识点】
加权平均数；有理数混合运算
【点评】
本题考查平均数在实际问题中的应用，解题的关键是明确权重对平均数的影响，避免误算为四个利润值的算术平均数，掌握加权平均数的计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
9.(18分)(2025·河南)为加强对青少年学生的宪法法治教育,普及宪法法治知识,教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动.某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对测试得分(10分为满分,9分或9分以上为优秀)进行整理、描述、分析,部分信息如下.
得分统计表
得分统计图
根据以上信息,回答下列问题.
(1)表格中的$a=$
(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好?请说明理由.
得分统计表
得分统计图
根据以上信息,回答下列问题.
(1)表格中的$a=$
7.5
, $b=$8
, $c=$22%
.(2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好?请说明理由.
答案
(1)7.5 8 22%
(2)解:七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好,理由:七年级测试成绩的优秀率高于八年级.(答案不唯一,合理即可)
(2)解:七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好,理由:七年级测试成绩的优秀率高于八年级.(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
（1）求解a、b、c的值：首先明确中位数的定义，当数据个数为偶数时，中位数是排序后中间两个数的平均数，七、八年级各抽取50名学生，因此中位数为第25、26个得分的平均数，据此可计算a（七年级中位数）和b（八年级中位数）；c为七年级优秀率，优秀标准为9分及以上，用七年级9分及以上人数除以总抽取人数50，换算为百分数即可得到c。
（2）判断哪个年级掌握情况更好，可从优秀率、中位数、平均数等统计量角度出发，选取七年级表现更优的统计量作为理由即可。
【解析】
(1) ①七年级抽取50名学生，将得分从小到大排序后，中位数为第25、26名得分的平均数，结合数据可知第25名得7分，第26名得8分，因此$a=\frac{7+8}{2}=7.5$；
②八年级抽取50名学生，将得分从小到大排序后，第25、26名得分均为8分，因此中位数$b=8$；
③优秀为9分或9分以上，七年级9分及以上共11人，因此优秀率$c=\frac{11}{50}×100\%=22\%$。
(2) 选择七年级作为掌握情况更好的年级，可通过对比两个年级的优秀率判断：七年级优秀率为22%，高于八年级的优秀率，说明七年级高分学生占比更高，因此掌握情况更好，也可从中位数、平均分等其他统计量角度说明，合理即可。
【答案】
(1) $7.5$；$8$；$22\%$
(2) 七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由：七年级测试成绩的优秀率高于八年级（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
中位数计算；百分率计算；统计量应用
【点评】
本题结合真实活动背景考查统计相关知识，侧重对基础统计量的理解和应用能力的考查，解题时明确各统计量的含义，结合数据特征合理分析即可。
【难度系数】
0.8
（1）求解a、b、c的值：首先明确中位数的定义，当数据个数为偶数时，中位数是排序后中间两个数的平均数，七、八年级各抽取50名学生，因此中位数为第25、26个得分的平均数，据此可计算a（七年级中位数）和b（八年级中位数）；c为七年级优秀率，优秀标准为9分及以上，用七年级9分及以上人数除以总抽取人数50，换算为百分数即可得到c。
（2）判断哪个年级掌握情况更好，可从优秀率、中位数、平均数等统计量角度出发，选取七年级表现更优的统计量作为理由即可。
【解析】
(1) ①七年级抽取50名学生，将得分从小到大排序后，中位数为第25、26名得分的平均数，结合数据可知第25名得7分，第26名得8分，因此$a=\frac{7+8}{2}=7.5$；
②八年级抽取50名学生，将得分从小到大排序后，第25、26名得分均为8分，因此中位数$b=8$；
③优秀为9分或9分以上，七年级9分及以上共11人，因此优秀率$c=\frac{11}{50}×100\%=22\%$。
(2) 选择七年级作为掌握情况更好的年级，可通过对比两个年级的优秀率判断：七年级优秀率为22%，高于八年级的优秀率，说明七年级高分学生占比更高，因此掌握情况更好，也可从中位数、平均分等其他统计量角度说明，合理即可。
【答案】
(1) $7.5$；$8$；$22\%$
(2) 七年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由：七年级测试成绩的优秀率高于八年级（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
中位数计算；百分率计算；统计量应用
【点评】
本题结合真实活动背景考查统计相关知识，侧重对基础统计量的理解和应用能力的考查，解题时明确各统计量的含义，结合数据特征合理分析即可。
【难度系数】
0.8
10.(18分)(2025·宿迁宿城区期末)学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计表和统计图.
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)a=
(2)该调查统计数据的中位数是
(3)若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)a=
17
，b=20
；(2)该调查统计数据的中位数是
2次
，众数是2次
；(3)若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
答案
(1)17 20
(2)2次 2次
(3)解:$4000×\frac{3}{50}=240$.
答:估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数为 240.
(2)2次 2次
(3)解:$4000×\frac{3}{50}=240$.
答:估计该校学生在一周内借阅图书“4 次及以上”的人数为 240.
解析
【分析】
解题的核心是先求出被调查的总人数，再逐步推导各问题：①第(1)问：结合“借阅0次”的人数和对应百分比求出总调查人数，用总人数减去其余借阅次数的人数得a，用“借阅3次”的人数除以总人数算出对应百分比得b；②第(2)问：根据中位数、众数的定义，结合总人数确定排序后中间位置的数和出现次数最多的数即可；③第(3)问：用样本中“4次及以上”的人数占比乘全校总人数，即可估计总体的对应人数。
【解析】
(1) 被调查的总人数为 $7 ÷ 14\% = 50$ 人
$a = 50 - 7 - 13 - 10 - 3 = 17$
借阅3次的人数占比为 $\frac{10}{50} × 100\% = 20\%$，故 $b=20$
(2) 共50个数据，中位数为从小到大排序后第25、26个数据的平均数：
借阅0次、1次的累计人数为 $7+13=20$ 人，借阅2次的有17人，因此第21~37个数据均为2次，第25、26个数据都是2次，故中位数是2次；
借阅2次的人数最多，共17人，故众数是2次。
(3) 样本中一周内借阅图书“4次及以上”的人数占比为 $\frac{3}{50}$，则全校对应人数为：
$4000 × \frac{3}{50} = 240$（人）
答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为240。
【答案】
(1) 17；20
(2) 2次；2次
(3) 240人
【知识点】
扇形统计图；中位数与众数；样本估计总体
【点评】
本题是统计类常规题型，考查统计图表信息提取、统计量计算以及用样本估计总体的统计思想，解题关键是先准确计算出调查总人数，再结合相关定义逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先求出被调查的总人数，再逐步推导各问题：①第(1)问：结合“借阅0次”的人数和对应百分比求出总调查人数，用总人数减去其余借阅次数的人数得a，用“借阅3次”的人数除以总人数算出对应百分比得b；②第(2)问：根据中位数、众数的定义，结合总人数确定排序后中间位置的数和出现次数最多的数即可；③第(3)问：用样本中“4次及以上”的人数占比乘全校总人数，即可估计总体的对应人数。
【解析】
(1) 被调查的总人数为 $7 ÷ 14\% = 50$ 人
$a = 50 - 7 - 13 - 10 - 3 = 17$
借阅3次的人数占比为 $\frac{10}{50} × 100\% = 20\%$，故 $b=20$
(2) 共50个数据，中位数为从小到大排序后第25、26个数据的平均数：
借阅0次、1次的累计人数为 $7+13=20$ 人，借阅2次的有17人，因此第21~37个数据均为2次，第25、26个数据都是2次，故中位数是2次；
借阅2次的人数最多，共17人，故众数是2次。
(3) 样本中一周内借阅图书“4次及以上”的人数占比为 $\frac{3}{50}$，则全校对应人数为：
$4000 × \frac{3}{50} = 240$（人）
答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为240。
【答案】
(1) 17；20
(2) 2次；2次
(3) 240人
【知识点】
扇形统计图；中位数与众数；样本估计总体
【点评】
本题是统计类常规题型，考查统计图表信息提取、统计量计算以及用样本估计总体的统计思想，解题关键是先准确计算出调查总人数，再结合相关定义逐步推导即可。
【难度系数】
0.8
