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1. 一块矩形田地的面积为$864\ \mathrm{m}^2$，它的长与宽共$60\ \mathrm{m}$，则它的长比宽多（）
A.$15\ \mathrm{m}$
B.$12\ \mathrm{m}$
C.$20\ \mathrm{m}$
D.$6\ \mathrm{m}$
A.$15\ \mathrm{m}$
B.$12\ \mathrm{m}$
C.$20\ \mathrm{m}$
D.$6\ \mathrm{m}$
答案
B
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题核心是找准题目中的等量关系：①矩形的长与宽之和为60m；②矩形面积=长×宽=864m²。我们可以先设长为未知数，利用长宽和的关系表示出宽，再代入面积公式列一元二次方程求解，得到长、宽的具体数值后计算差值即可；也可利用完全平方公式的变形直接计算长宽差，简化运算过程。
【解析】
方法一（一元二次方程法）：
设矩形的长为$ x\ \mathrm{m} $，则宽为$ (60-x)\ \mathrm{m} $，根据矩形面积公式列方程：
$x(60-x)=864$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 60x + 864 = 0$
计算判别式$ \Delta = (-60)^2 - 4×1×864 = 3600 - 3456 = 144 $，代入求根公式得：
$x = \frac{60\pm\sqrt{144}}{2} = \frac{60\pm12}{2}$
解得$ x_1=36 $，$ x_2=24 $。
因为矩形长大于宽，故长为$ 36\ \mathrm{m} $，宽为$ 24\ \mathrm{m} $，则长比宽多$ 36-24=12\ \mathrm{m} $。
方法二（完全平方公式变形法）：
设长为$ a\ \mathrm{m} $，宽为$ b\ \mathrm{m} $，由题可知$ a+b=60 $，$ ab=864 $。
根据完全平方公式变形：$ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab $，代入数值：
$(a-b)^2=60^2 - 4×864=3600-3456=144$
因为$ a＞b $，所以$ a-b=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、完全平方公式变形
【点评】
本题是方程在几何问题中的基础应用，既可以通过常规列方程的方法求解，也可以利用代数公式变形简化计算，主要考查学生提取等量关系、解方程以及公式运用的能力。
【难度系数】
0.8
本题属于一元二次方程的实际应用类问题，解题核心是找准题目中的等量关系：①矩形的长与宽之和为60m；②矩形面积=长×宽=864m²。我们可以先设长为未知数，利用长宽和的关系表示出宽，再代入面积公式列一元二次方程求解，得到长、宽的具体数值后计算差值即可；也可利用完全平方公式的变形直接计算长宽差，简化运算过程。
【解析】
方法一（一元二次方程法）：
设矩形的长为$ x\ \mathrm{m} $，则宽为$ (60-x)\ \mathrm{m} $，根据矩形面积公式列方程：
$x(60-x)=864$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 60x + 864 = 0$
计算判别式$ \Delta = (-60)^2 - 4×1×864 = 3600 - 3456 = 144 $，代入求根公式得：
$x = \frac{60\pm\sqrt{144}}{2} = \frac{60\pm12}{2}$
解得$ x_1=36 $，$ x_2=24 $。
因为矩形长大于宽，故长为$ 36\ \mathrm{m} $，宽为$ 24\ \mathrm{m} $，则长比宽多$ 36-24=12\ \mathrm{m} $。
方法二（完全平方公式变形法）：
设长为$ a\ \mathrm{m} $，宽为$ b\ \mathrm{m} $，由题可知$ a+b=60 $，$ ab=864 $。
根据完全平方公式变形：$ (a-b)^2=(a+b)^2-4ab $，代入数值：
$(a-b)^2=60^2 - 4×864=3600-3456=144$
因为$ a＞b $，所以$ a-b=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算、完全平方公式变形
【点评】
本题是方程在几何问题中的基础应用，既可以通过常规列方程的方法求解，也可以利用代数公式变形简化计算，主要考查学生提取等量关系、解方程以及公式运用的能力。
【难度系数】
0.8
2. 有一个矩形门，它的高比宽多6尺8寸，对角线长为1丈（1丈=10尺，1尺=10寸）.若设矩形门宽为x尺，则根据题意可列方程为 （）
A.$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
B.$x^2+(x-6.8)^2=10^2$
C.$x(x+6.8)=10^2$
D.$x(x-6.8)=10^2$
A.$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
B.$x^2+(x-6.8)^2=10^2$
C.$x(x+6.8)=10^2$
D.$x(x-6.8)=10^2$
答案
A
解析
【分析】
本题是利用一元二次方程解决几何实际问题，解题思路可按三步梳理：第一步先统一单位，把题目中的寸、丈都换算为尺，方便后续计算；第二步结合矩形的性质找等量关系：矩形的四个角都是直角，因此宽、高、对角线恰好构成直角三角形，满足勾股定理，即两条直角边（宽、高）的平方和等于斜边（对角线）的平方；第三步根据题设的未知数表示出高的长度，代入勾股定理即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
首先进行单位换算：
6尺8寸$=6+8÷10=6.8$尺，1丈$=10$尺。
设矩形门宽为$x$尺，由“高比宽多6尺8寸”可得，高为$(x+6.8)$尺。
因为矩形的内角为直角，所以门的宽、高、对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是先统一单位，再结合几何性质找到正确的等量关系，只要掌握勾股定理的应用就能快速求解，是方程与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题是利用一元二次方程解决几何实际问题，解题思路可按三步梳理：第一步先统一单位，把题目中的寸、丈都换算为尺，方便后续计算；第二步结合矩形的性质找等量关系：矩形的四个角都是直角，因此宽、高、对角线恰好构成直角三角形，满足勾股定理，即两条直角边（宽、高）的平方和等于斜边（对角线）的平方；第三步根据题设的未知数表示出高的长度，代入勾股定理即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
首先进行单位换算：
6尺8寸$=6+8÷10=6.8$尺，1丈$=10$尺。
设矩形门宽为$x$尺，由“高比宽多6尺8寸”可得，高为$(x+6.8)$尺。
因为矩形的内角为直角，所以门的宽、高、对角线构成直角三角形，对角线为斜边，根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2+(x+6.8)^2=10^2$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；单位换算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是先统一单位，再结合几何性质找到正确的等量关系，只要掌握勾股定理的应用就能快速求解，是方程与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，有一块长32 m，宽20 m的矩形试验田，准备沿平行于两边的方向铺设三条等宽的小道.设小道的宽为x m，剩余田地的面积为574 m².根据题意，可列方程.
答案
解：
利用平移的方法，将剩余田地拼接为一个新矩形，该矩形的长为$(32-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20-2x)\ \mathrm{m}$，
因此可列方程：$\boldsymbol{(32 - x)(20 - 2x) = 574}$。
利用平移的方法，将剩余田地拼接为一个新矩形，该矩形的长为$(32-x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20-2x)\ \mathrm{m}$，
因此可列方程：$\boldsymbol{(32 - x)(20 - 2x) = 574}$。
解析
【分析】
这是一道矩形面积结合一元二次方程的实际应用题，我们可以用平移法简化计算：由于小道等宽且平行于矩形两边，将所有小道平移到试验田边缘后，剩余田地可拼接为一个完整的新矩形，只需确定新矩形的长和宽，再结合剩余面积的等量关系就能列出方程。观察图形可知：竖直方向有1条宽为x m的小道，因此新矩形的长等于原试验田长减去小道宽度；水平方向有2条宽为x m的小道，因此新矩形的宽等于原试验田宽减去2倍的小道宽度，最后根据矩形面积公式即可列等式。
【解析】
利用平移法将剩余田地拼接为新矩形：
1. 竖直小道共1条，宽为x m，因此新矩形的长为$(32-x)\ \mathrm{m}$
2. 水平小道共2条，每条宽为x m，因此新矩形的宽为$(20-2x)\ \mathrm{m}$
3. 已知剩余田地面积为$574\ \mathrm{m^2}$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(32 - x)(20 - 2x) = 574$
【答案】
$\boldsymbol{(32 - x)(20 - 2x) = 574}$
【知识点】
一元二次方程应用，平移的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是面积类实际问题的典型考法，平移法的使用避免了直接计算小道面积时重叠区域重复扣除的问题，解题核心是准确判断平移后新矩形的长、宽与原矩形参数、小道宽度的对应关系。
【难度系数】
0.7
这是一道矩形面积结合一元二次方程的实际应用题，我们可以用平移法简化计算：由于小道等宽且平行于矩形两边，将所有小道平移到试验田边缘后，剩余田地可拼接为一个完整的新矩形，只需确定新矩形的长和宽，再结合剩余面积的等量关系就能列出方程。观察图形可知：竖直方向有1条宽为x m的小道，因此新矩形的长等于原试验田长减去小道宽度；水平方向有2条宽为x m的小道，因此新矩形的宽等于原试验田宽减去2倍的小道宽度，最后根据矩形面积公式即可列等式。
【解析】
利用平移法将剩余田地拼接为新矩形：
1. 竖直小道共1条，宽为x m，因此新矩形的长为$(32-x)\ \mathrm{m}$
2. 水平小道共2条，每条宽为x m，因此新矩形的宽为$(20-2x)\ \mathrm{m}$
3. 已知剩余田地面积为$574\ \mathrm{m^2}$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(32 - x)(20 - 2x) = 574$
【答案】
$\boldsymbol{(32 - x)(20 - 2x) = 574}$
【知识点】
一元二次方程应用，平移的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是面积类实际问题的典型考法，平移法的使用避免了直接计算小道面积时重叠区域重复扣除的问题，解题核心是准确判断平移后新矩形的长、宽与原矩形参数、小道宽度的对应关系。
【难度系数】
0.7
4. 用一根长22 cm的铁丝围成面积是30 cm²的矩形.设矩形的一边长是x cm,根据题意,可列方程.
答案
解：
矩形的周长为22 cm，一边长是x cm，则另一边长为$(\dfrac{22}{2}-x)=(11-x)$cm。
根据矩形面积公式，可列方程：
$x(11-x)=30$
矩形的周长为22 cm，一边长是x cm，则另一边长为$(\dfrac{22}{2}-x)=(11-x)$cm。
根据矩形面积公式，可列方程：
$x(11-x)=30$
解析
【分析】
解题时首先明确铁丝长度就是矩形的周长，已知一边长为x cm，我们需要先根据矩形周长公式推导出邻边的长度表达式：矩形周长=2×(长+宽)，因此长与宽的和为周长的一半即11 cm，所以另一边长为(11-x)cm。再结合题目给出的矩形面积为30 cm²，利用矩形面积=长×宽的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
已知矩形的周长为22 cm，一边长是x cm，
则矩形的另一边长为：$\dfrac{22}{2}-x=11-x$（cm），
根据矩形面积公式$S=长×宽$，结合面积为30 cm²，可列方程：
$x(11-x)=30$
【答案】
$x(11-x)=30$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形周长公式、矩形面积公式
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，核心是结合几何图形的性质找到等量关系，解题的关键是正确用含未知数的代数式表示出矩形的未知边长，再代入面积公式建立等式。
【难度系数】
0.85
解题时首先明确铁丝长度就是矩形的周长，已知一边长为x cm，我们需要先根据矩形周长公式推导出邻边的长度表达式：矩形周长=2×(长+宽)，因此长与宽的和为周长的一半即11 cm，所以另一边长为(11-x)cm。再结合题目给出的矩形面积为30 cm²，利用矩形面积=长×宽的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
已知矩形的周长为22 cm，一边长是x cm，
则矩形的另一边长为：$\dfrac{22}{2}-x=11-x$（cm），
根据矩形面积公式$S=长×宽$，结合面积为30 cm²，可列方程：
$x(11-x)=30$
【答案】
$x(11-x)=30$
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形周长公式、矩形面积公式
【点评】
本题是列方程解实际问题的基础题型，核心是结合几何图形的性质找到等量关系，解题的关键是正确用含未知数的代数式表示出矩形的未知边长，再代入面积公式建立等式。
【难度系数】
0.85
5. 如图，用一段长为a m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙的长度不限）.若矩形菜园的面积为8 m²，则a的最小值是（）
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
D
解析
【分析】
我们可以先设垂直于墙的矩形边长为x m，结合篱笆总长为a m，可表示出平行于墙的边长为(a-2x)m；再根据矩形面积为8 m²列出等式，将等式整理为关于x的一元二次方程，由于边长x为正实数，因此该一元二次方程必有正实根，利用根的判别式Δ≥0即可求出a的取值范围，进而得到a的最小值。
【解析】
设垂直于墙的矩形菜园的边长为x m（x＞0），则平行于墙的边长为(a - 2x) m，且a-2x＞0。
根据矩形面积公式可得：
$x(a - 2x) = 8$
整理为关于x的一元二次方程：
$2x^2 - ax + 8 = 0$
∵x为正数，即该方程存在正实根
∴根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×2×8 ≥ 0$
即$a^2 ≥ 64$
又
∵a为篱笆长度，是正数
∴$a ≥ 8$
当a=8时，方程的解为$x=2$，此时平行于墙的边长为$8 - 2×2 = 4$m，符合实际意义，因此a的最小值为8。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类的最值问题，解题的关键是合理设未知数，根据面积等量关系建立方程，再结合方程有实根的条件求解，最后要注意验证所得结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
我们可以先设垂直于墙的矩形边长为x m，结合篱笆总长为a m，可表示出平行于墙的边长为(a-2x)m；再根据矩形面积为8 m²列出等式，将等式整理为关于x的一元二次方程，由于边长x为正实数，因此该一元二次方程必有正实根，利用根的判别式Δ≥0即可求出a的取值范围，进而得到a的最小值。
【解析】
设垂直于墙的矩形菜园的边长为x m（x＞0），则平行于墙的边长为(a - 2x) m，且a-2x＞0。
根据矩形面积公式可得：
$x(a - 2x) = 8$
整理为关于x的一元二次方程：
$2x^2 - ax + 8 = 0$
∵x为正数，即该方程存在正实根
∴根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4×2×8 ≥ 0$
即$a^2 ≥ 64$
又
∵a为篱笆长度，是正数
∴$a ≥ 8$
当a=8时，方程的解为$x=2$，此时平行于墙的边长为$8 - 2×2 = 4$m，符合实际意义，因此a的最小值为8。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程应用，根的判别式，矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类的最值问题，解题的关键是合理设未知数，根据面积等量关系建立方程，再结合方程有实根的条件求解，最后要注意验证所得结果是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.6
