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1.如图，在格点中画出与所给的图形的形状相同的图形，使新图形的各顶点仍在格点上。
答案
（答案不唯一）解析
【分析】
要画出与已知图形形状相同的图形，本质是作原图形的相似图形。首先明确相似图形的核心要求：对应角相等，对应边成比例。第一步先分析原图形的结构和各边特征：原图形由下方矩形和上方等腰三角形组成，先数清各边对应的格距（包括斜向边的直角边格数）；第二步选择合适的相似比（本题可选择相似比为2，将原图形各边长度放大为原来的2倍），也可适当调整图形朝向；第三步按照放大后的边长在格点中确定各顶点的位置，依次连线即可，只要保证对应边成比例、对应角相等，顶点都落在格点上即可。
【解析】
1. 分析原图形边长特征：原图形底边长为2个单位格距，左右竖直边各长1个单位格距，上方两条斜边均为直角边为1个单位格距的等腰直角三角形斜边，顶部顶点在底边中点正上方1个单位格距处。
2. 选取相似比为2，即新图形各边长度为原图形的2倍：新底边长为4个单位格距，左右竖直边各长2个单位格距，上方两条斜边为直角边为2个单位格距的等腰直角三角形斜边，顶部顶点在新底边中点正上方2个单位格距处。
3. 在右侧格点图中确定各个顶点的位置，按顺序连接各顶点，即可得到和原图形形状相同的新图形；也可调整图形朝向，只要满足相似条件、顶点均在格点上即可，作图结果不唯一。
【答案】
（答案不唯一）
【知识点】
1.相似图形的定义
2.格点作图
3.相似图形的性质
【点评】
本题考查相似图形概念的实际应用，解题关键是抓住相似图形“形状相同，大小可改变，对应角相等、对应边成比例”的特征，作图时可灵活选取相似比，答案具有开放性。
【难度系数】
0.8
要画出与已知图形形状相同的图形，本质是作原图形的相似图形。首先明确相似图形的核心要求：对应角相等，对应边成比例。第一步先分析原图形的结构和各边特征：原图形由下方矩形和上方等腰三角形组成，先数清各边对应的格距（包括斜向边的直角边格数）；第二步选择合适的相似比（本题可选择相似比为2，将原图形各边长度放大为原来的2倍），也可适当调整图形朝向；第三步按照放大后的边长在格点中确定各顶点的位置，依次连线即可，只要保证对应边成比例、对应角相等，顶点都落在格点上即可。
【解析】
1. 分析原图形边长特征：原图形底边长为2个单位格距，左右竖直边各长1个单位格距，上方两条斜边均为直角边为1个单位格距的等腰直角三角形斜边，顶部顶点在底边中点正上方1个单位格距处。
2. 选取相似比为2，即新图形各边长度为原图形的2倍：新底边长为4个单位格距，左右竖直边各长2个单位格距，上方两条斜边为直角边为2个单位格距的等腰直角三角形斜边，顶部顶点在新底边中点正上方2个单位格距处。
3. 在右侧格点图中确定各个顶点的位置，按顺序连接各顶点，即可得到和原图形形状相同的新图形；也可调整图形朝向，只要满足相似条件、顶点均在格点上即可，作图结果不唯一。
【答案】
（答案不唯一）【知识点】
1.相似图形的定义
2.格点作图
3.相似图形的性质
【点评】
本题考查相似图形概念的实际应用，解题关键是抓住相似图形“形状相同，大小可改变，对应角相等、对应边成比例”的特征，作图时可灵活选取相似比，答案具有开放性。
【难度系数】
0.8
思考 2. 若五边形 $ABCDE ∽$ 五边形 $A'B'C'D'E'$,则各角和各边之间是什么关系？请用符号语言表述。
答案
因为五边形 $ABCDE∽$ 五边形 $A'B'C'D'E'$,
所以$∠ A = ∠ A',∠ B = ∠ B',∠ C = ∠ C',∠ D = ∠ D',∠ E = ∠ E'$,
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}$。
所以$∠ A = ∠ A',∠ B = ∠ B',∠ C = ∠ C',∠ D = ∠ D',∠ E = ∠ E'$,
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}$。
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的基本性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。再根据相似符号的书写规则，相似符号连接的两个多边形顶点顺序是一一对应的，本题中五边形ABCDE与A'B'C'D'E'的对应顶点为A对应A'、B对应B'、C对应C'、D对应D'、E对应E'，最后按照对应关系分别写出相等的对应角和成比例的对应边即可。
【解析】
根据相似多边形的性质可得：
∵五边形$ABCDE ∽$五边形$A'B'C'D'E'$
∴对应角相等：$∠ A = ∠ A',∠ B = ∠ B',∠ C = ∠ C',∠ D = ∠ D',∠ E = ∠ E'$
对应边成比例：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}$
【答案】
因为五边形 $ABCDE∽$ 五边形 $A'B'C'D'E'$,所以$∠ A = ∠ A',∠ B = ∠ B',∠ C = ∠ C',∠ D = ∠ D',∠ E = ∠ E'$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}$。
【知识点】
相似多边形的性质、对应角相等、对应边成比例
【点评】
本题是相似图形的基础考查题，解题核心是准确把握相似符号对应的顶点顺序，避免对应角、对应边匹配错误，熟练掌握相似多边形的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似多边形的基本性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。再根据相似符号的书写规则，相似符号连接的两个多边形顶点顺序是一一对应的，本题中五边形ABCDE与A'B'C'D'E'的对应顶点为A对应A'、B对应B'、C对应C'、D对应D'、E对应E'，最后按照对应关系分别写出相等的对应角和成比例的对应边即可。
【解析】
根据相似多边形的性质可得：
∵五边形$ABCDE ∽$五边形$A'B'C'D'E'$
∴对应角相等：$∠ A = ∠ A',∠ B = ∠ B',∠ C = ∠ C',∠ D = ∠ D',∠ E = ∠ E'$
对应边成比例：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}$
【答案】
因为五边形 $ABCDE∽$ 五边形 $A'B'C'D'E'$,所以$∠ A = ∠ A',∠ B = ∠ B',∠ C = ∠ C',∠ D = ∠ D',∠ E = ∠ E'$,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CD}{C'D'}=\frac{DE}{D'E'}=\frac{EA}{E'A'}$。
【知识点】
相似多边形的性质、对应角相等、对应边成比例
【点评】
本题是相似图形的基础考查题，解题核心是准确把握相似符号对应的顶点顺序，避免对应角、对应边匹配错误，熟练掌握相似多边形的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.如图,四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$,且$∠A=62°,∠B=75°,∠D'=140°,AD=9,A'B'=11,A'D'=6,B'C'=8$。
(1)请直接写出:$∠C=$
(2)求边AB和BC的长。
(1)请直接写出:$∠C=$
$83$
$°$;(2)求边AB和BC的长。
答案
(1)$83°$
(2)$AB=\frac{33}{2},BC=12$。
(2)$AB=\frac{33}{2},BC=12$。
解析
【分析】
本题考查相似四边形的性质应用，解题思路如下：
1. 求∠C：首先根据相似多边形对应角相等，可得∠D=∠D'，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去已知三个角的度数即可求出∠C；
2. 求AB和BC的长：首先根据相似四边形对应边成比例，先确定对应边的比例关系，再代入已知边的长度，列比例式求解即可。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，根据相似多边形对应角相等，得$∠D=∠D'=140°$，
又
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°$；
(2)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，根据相似多边形对应边成比例，得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
将$AD=9$，$A'D'=6$，$A'B'=11$，$B'C'=8$代入比例式：
$\frac{9}{6}=\frac{AB}{11}$，解得$AB=\frac{9×11}{6}=\frac{33}{2}$；
$\frac{9}{6}=\frac{BC}{8}$，解得$BC=\frac{9×8}{6}=12$。
【答案】
(1) $83$
(2) $AB=\frac{33}{2},BC=12$
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题，解题的核心是找准相似图形的对应角和对应边，熟练运用相似多边形的性质结合四边形内角和公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题考查相似四边形的性质应用，解题思路如下：
1. 求∠C：首先根据相似多边形对应角相等，可得∠D=∠D'，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去已知三个角的度数即可求出∠C；
2. 求AB和BC的长：首先根据相似四边形对应边成比例，先确定对应边的比例关系，再代入已知边的长度，列比例式求解即可。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，根据相似多边形对应角相等，得$∠D=∠D'=140°$，
又
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°$；
(2)
∵四边形$ABCD∽$四边形$A'B'C'D'$，根据相似多边形对应边成比例，得$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
将$AD=9$，$A'D'=6$，$A'B'=11$，$B'C'=8$代入比例式：
$\frac{9}{6}=\frac{AB}{11}$，解得$AB=\frac{9×11}{6}=\frac{33}{2}$；
$\frac{9}{6}=\frac{BC}{8}$，解得$BC=\frac{9×8}{6}=12$。
【答案】
(1) $83$
(2) $AB=\frac{33}{2},BC=12$
【知识点】
相似多边形的性质、四边形内角和定理
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题，解题的核心是找准相似图形的对应角和对应边，熟练运用相似多边形的性质结合四边形内角和公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，已知$△ AEO ∽ △ ABC$，$△ AOF ∽ △ ACD$，那么四边形ABCD与四边形AEOF相似吗？请说明你的理由。
答案
四边形ABCD与四边形AEOF相似。理由略。
解析
【分析】
要判断两个四边形是否相似，需依据相似多边形的判定条件：同时满足对应角相等、对应边成比例。我们可以结合已知的两组三角形相似的性质，分别推导两个四边形的对应角关系和对应边的比例关系：首先从两组相似三角形中分别提取相等的角和成比例的边，再将角合并得到四边形的四个对应角相等，将边的比例统一得到四边对应成比例，即可证明相似。
【解析】
四边形ABCD与四边形AEOF相似，理由如下：
1. 由$△ AEO ∽ △ ABC$，根据相似三角形的性质可得：
对应角相等：$∠ E = ∠ ABC$，$∠ 2 = ∠ 1$，$∠ OAE = ∠ CAB$；
对应边成比例：$\frac{AE}{AB}=\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AC}$。
2. 由$△ AOF ∽ △ ACD$，根据相似三角形的性质可得：
对应角相等：$∠ F = ∠ ADC$，$∠ 6 = ∠ 5$，$∠ OAF = ∠ CAD$；
对应边成比例：$\frac{AF}{AD}=\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AC}$。
3. 推导对应角相等：
$∠ EAF = ∠ OAE + ∠ OAF = ∠ CAB + ∠ CAD = ∠ BAD$；
$∠ EOF = ∠ 2 + ∠ 6 = ∠ 1 + ∠ 5 = ∠ BCD$；
结合$∠ E = ∠ ABC$，$∠ F = ∠ ADC$，可得两个四边形的四组对应角全部相等。
4. 推导对应边成比例：
由前面的比例式可得$\frac{AE}{AB}=\frac{OE}{BC}=\frac{OF}{CD}=\frac{AF}{AD}$，即两个四边形的四组对应边成比例，且比例相等。
综上，四边形ABCD和四边形AEOF满足对应角相等、对应边成比例，因此二者相似。
【答案】
四边形ABCD与四边形AEOF相似。
【知识点】
相似三角形的性质；相似多边形的判定
【点评】
本题核心是利用三角形相似的性质推导多边形相似，解题时要注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，需分别验证所有对应角和对应边的关系，不要漏证其中任意一个条件。
【难度系数】
0.7
要判断两个四边形是否相似，需依据相似多边形的判定条件：同时满足对应角相等、对应边成比例。我们可以结合已知的两组三角形相似的性质，分别推导两个四边形的对应角关系和对应边的比例关系：首先从两组相似三角形中分别提取相等的角和成比例的边，再将角合并得到四边形的四个对应角相等，将边的比例统一得到四边对应成比例，即可证明相似。
【解析】
四边形ABCD与四边形AEOF相似，理由如下：
1. 由$△ AEO ∽ △ ABC$，根据相似三角形的性质可得：
对应角相等：$∠ E = ∠ ABC$，$∠ 2 = ∠ 1$，$∠ OAE = ∠ CAB$；
对应边成比例：$\frac{AE}{AB}=\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AC}$。
2. 由$△ AOF ∽ △ ACD$，根据相似三角形的性质可得：
对应角相等：$∠ F = ∠ ADC$，$∠ 6 = ∠ 5$，$∠ OAF = ∠ CAD$；
对应边成比例：$\frac{AF}{AD}=\frac{OF}{CD}=\frac{AO}{AC}$。
3. 推导对应角相等：
$∠ EAF = ∠ OAE + ∠ OAF = ∠ CAB + ∠ CAD = ∠ BAD$；
$∠ EOF = ∠ 2 + ∠ 6 = ∠ 1 + ∠ 5 = ∠ BCD$；
结合$∠ E = ∠ ABC$，$∠ F = ∠ ADC$，可得两个四边形的四组对应角全部相等。
4. 推导对应边成比例：
由前面的比例式可得$\frac{AE}{AB}=\frac{OE}{BC}=\frac{OF}{CD}=\frac{AF}{AD}$，即两个四边形的四组对应边成比例，且比例相等。
综上，四边形ABCD和四边形AEOF满足对应角相等、对应边成比例，因此二者相似。
【答案】
四边形ABCD与四边形AEOF相似。
【知识点】
相似三角形的性质；相似多边形的判定
【点评】
本题核心是利用三角形相似的性质推导多边形相似，解题时要注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，需分别验证所有对应角和对应边的关系，不要漏证其中任意一个条件。
【难度系数】
0.7
思考 3. 两个多边形的对应边成比例，能判定它们相似吗？请说明理由。
答案
不能判定，理由略。
解析
【分析】
要判断仅对应边成比例的两个多边形是否相似，首先回忆相似多边形的判定标准：相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，二者缺一不可。首先确认题目给出的条件是否覆盖全部判定要求，若缺少条件，可通过举符合“对应边成比例但对应角不等”的反例，快速验证结论。
【解析】
解：不能判定两个多边形相似，理由如下：
相似多边形的判定要求为：两个多边形必须同时满足①对应角相等，②对应边成比例，才能判定二者相似，两个条件缺一不可。
本题仅给出两个多边形对应边成比例，缺少“对应角相等”的必要条件，因此无法判定相似。可举反例验证：边长为1的正方形和边长为2的菱形，二者对应边的比均为1:2，满足对应边成比例，但菱形的内角不一定为90°，和正方形的内角不相等，因此这两个图形不相似。
【答案】
不能判定，判定两个多边形相似需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，仅对应边成比例缺少对应角相等的条件，因此无法判定两个多边形相似。
【知识点】
相似多边形的判定
【点评】
本题考查多边形相似的判定条件，需要注意对应角相等和对应边成比例是判定多边形相似的两个必要条件，缺少任意一个都无法判定相似，借助反例验证结论是这类概念辨析题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
要判断仅对应边成比例的两个多边形是否相似，首先回忆相似多边形的判定标准：相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，二者缺一不可。首先确认题目给出的条件是否覆盖全部判定要求，若缺少条件，可通过举符合“对应边成比例但对应角不等”的反例，快速验证结论。
【解析】
解：不能判定两个多边形相似，理由如下：
相似多边形的判定要求为：两个多边形必须同时满足①对应角相等，②对应边成比例，才能判定二者相似，两个条件缺一不可。
本题仅给出两个多边形对应边成比例，缺少“对应角相等”的必要条件，因此无法判定相似。可举反例验证：边长为1的正方形和边长为2的菱形，二者对应边的比均为1:2，满足对应边成比例，但菱形的内角不一定为90°，和正方形的内角不相等，因此这两个图形不相似。
【答案】
不能判定，判定两个多边形相似需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，仅对应边成比例缺少对应角相等的条件，因此无法判定两个多边形相似。
【知识点】
相似多边形的判定
【点评】
本题考查多边形相似的判定条件，需要注意对应角相等和对应边成比例是判定多边形相似的两个必要条件，缺少任意一个都无法判定相似，借助反例验证结论是这类概念辨析题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.7
4. 两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{9}{4}$
A
）。A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{9}{4}$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆相似多边形相似比的定义：相似多边形的相似比等于两个图形对应边的比值，注意要与题目给出对应边的顺序保持一致，避免前后颠倒。解题时先明确两个对应边的数值，将两个边作比后化简即可得到结果。
【解析】
根据相似多边形相似比的定义，相似比为对应边的比值，本题中给出的一组对应边依次为3cm、4.5cm，因此相似比为：
$\frac{3}{4.5}=\frac{3×2}{4.5×2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 比例化简
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查相似比的计算，易错点是容易颠倒对应边的顺序得到错误的比值，解题时注意对应边的先后顺序，准确化简比例即可得分。
【难度系数】
0.85
首先回忆相似多边形相似比的定义：相似多边形的相似比等于两个图形对应边的比值，注意要与题目给出对应边的顺序保持一致，避免前后颠倒。解题时先明确两个对应边的数值，将两个边作比后化简即可得到结果。
【解析】
根据相似多边形相似比的定义，相似比为对应边的比值，本题中给出的一组对应边依次为3cm、4.5cm，因此相似比为：
$\frac{3}{4.5}=\frac{3×2}{4.5×2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似多边形的性质
2. 比例化简
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查相似比的计算，易错点是容易颠倒对应边的顺序得到错误的比值，解题时注意对应边的先后顺序，准确化简比例即可得分。
【难度系数】
0.85
5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形三边长分别是3和4及x,那么x的值(
A.只有1个
B.有2个
C.有2个以上,但有限
D.有无数个
B
)。A.只有1个
B.有2个
C.有2个以上,但有限
D.有无数个
答案
B
解析
【分析】
首先，题目给出的第一个直角三角形仅说明两条边长为6和8，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要先分类讨论第一个直角三角形的三边构成；再结合两个直角三角形相似的性质，即相似三角形对应边成比例，分别计算不同情况下x的取值，最后判断x的可能值个数。思考时要注意避免默认6和8都是直角边，导致漏解。
【解析】
分两种符合条件的情况讨论：
1. 当第一个直角三角形的6和8均为直角边时：
由勾股定理得，该三角形的斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
两个三角形相似，观察得$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$，即相似比为2:1，因此对应斜边$x=\frac{10}{2}=5$，此时3、4、5可构成直角三角形，符合要求。
2. 当第一个直角三角形的斜边为8，直角边为6时：
由勾股定理得，该三角形的另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
相似比为$\frac{8}{4}=\frac{6}{3}=2$，即2:1，因此对应另一条直角边$x=\frac{2\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$，此时$3^2+(\sqrt{7})^2=16=4^2$，可构成直角三角形，符合要求。
直角三角形斜边为最长边，第二个三角形中3＜4，因此3不可能为斜边，无其他符合条件的情况。
综上，x的值共有2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认直角三角形给出的两条边均为直角边，忽略斜边为较长边的情况，解题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形问题，要注意分类讨论，结合相似的对应关系验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出的第一个直角三角形仅说明两条边长为6和8，未明确这两条边是直角边还是斜边，因此需要先分类讨论第一个直角三角形的三边构成；再结合两个直角三角形相似的性质，即相似三角形对应边成比例，分别计算不同情况下x的取值，最后判断x的可能值个数。思考时要注意避免默认6和8都是直角边，导致漏解。
【解析】
分两种符合条件的情况讨论：
1. 当第一个直角三角形的6和8均为直角边时：
由勾股定理得，该三角形的斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$。
两个三角形相似，观察得$\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$，即相似比为2:1，因此对应斜边$x=\frac{10}{2}=5$，此时3、4、5可构成直角三角形，符合要求。
2. 当第一个直角三角形的斜边为8，直角边为6时：
由勾股定理得，该三角形的另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}$。
相似比为$\frac{8}{4}=\frac{6}{3}=2$，即2:1，因此对应另一条直角边$x=\frac{2\sqrt{7}}{2}=\sqrt{7}$，此时$3^2+(\sqrt{7})^2=16=4^2$，可构成直角三角形，符合要求。
直角三角形斜边为最长边，第二个三角形中3＜4，因此3不可能为斜边，无其他符合条件的情况。
综上，x的值共有2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认直角三角形给出的两条边均为直角边，忽略斜边为较长边的情况，解题时遇到未明确直角边、斜边的直角三角形问题，要注意分类讨论，结合相似的对应关系验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
